数学中考试题汇编-位似图像
位似(5个考点)(题型专练+易错精练)(教师版) 2024-2025学年九年级数学下册(人教版)
专题27.3 位似（5个考点）【考点1 位似图形的识别】【考点2 位似图形性质】【考点3 位似图形的点坐标】【考点4 判定位似中心】【考点5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【考点1 位似图形的识别】1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是（）A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF3．如图，线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，则图中与△AOB位似的三角形是（）．A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF与△COD【答案】D【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可．【详解】解：∵AB∥CD∴△AOB∽△DOC，∵AB∥EF∴△AOB∽△FOE，∵AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE．故选：D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（）A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似【答案】B【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是线段AC、BD的中点，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△ABO与△CDO位似，故C不符合题意；∵M是边AB的中点，∴OM是△ABC的中位线，∴OM∥BC，同理可得MN∥BD，ON∥AB，∴△AMO∽△ABC，△AMN∽△ABD，∴△AMO与△ABC位似，△AMN与△ABD位似，故A、D不符合题意；∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点，∴△AMN与△BCO不位似，故B符合题意．故选B．5．下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．6．如图是与△ABC位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可．【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．7．下列语句中，不正确的是（）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．8．下列每组的两个图形，是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形；而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形故选D.【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键.【考点2 位似图形性质】9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1【答案】B【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA:OD =1:2，∴△ABC 与△DEF 的位似比是1:2．∴△ABC 与△DEF 的相似比为1:2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1:4，故选：B ．10．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE EA =32，则S 四边形EFGH S 四边形ABCD 等于（ ）A ．94B ．925C ．32D ．3511．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4:9，则OA:OD 为（）A．4:9B．2:3C．2:1D．3:112．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OD:OA=2:3，则△DEF与△ABC的周长之比为（）．A．2:3B．4:9C．9:4D．3:2【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关13．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若O B′:B′B=3:2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（ ）A．3:5B．4:9C．4:25D．9:2514．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是A．1:1B．1:2C．1:4D．1:915．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA:A A′=1:2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：9D．4：9【答案】C【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到△ABC和△A′B′C′的相似比是解题的关键．根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，相似比为OA:O A′=1:3,再根据相似三角形的性质得△ABC和△A′B′C′的面积之比即为相似比的平方．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，OA:A A′=1:2，∴OA:O A′=1:3，∴S△ABC :S△A′B′C′=12:32=1:9，故选：C．16．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD，若OA′OA =OB′OB=OC′OC=OD′OD=14，则四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积比为（）A．1:2B．1:4C．1:8D．1:1617．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA:OD=1:2，S△ABC =3，那么S△DEF=（）A．6B．9C．12D．18【答案】C18．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，AC:DF=2:3，若OC=8，则CF的长为（）A．12B．8C．6D．419．如图，点O是两个位似图形的位似中心，若O A′=A′A，则△ABC与△A′B′C′的周长之比等于．20．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:AD=3:2，则△ABC与△DEF的面积比为．【答案】9:25【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵OA:AD=3:2，∴OA:OD=3:5，∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC与△DEF的位似比为3:5，∴△ABC与△DEF的相似比为3:5，∴△ABC与△DEF的面积比为9:25，故答案为：9:25．【考点3 位似图形的点坐标】21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,3)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2:1的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．(2,4)B．(6,8)C．(4,2)D．(6,6)【答案】D【分析】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2:1的位似图形是△A′B′C′，且C(3,3)，∴C′(2×3,2×3)，即C′(6,6)，故选：D．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A′上，A A′=2OA．若点B的坐标为(2,1)，则点B′的坐标为（）A．(4,2)B．(6,3)C．(8,4)D．(1,0.5)【答案】B【分析】本题考查的是位似变换．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点为位似中心的位似图形，A A′=2OA，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，∵点B的坐标为(2,1)，∴点B′的横坐标为2×3=6，点B′的纵坐标为1×3=3，∴点B′的坐标为(6,3)，故选：B．23．如图，△AOB与△A1O B1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为12，若点B的坐标为(−1，3)，则点B1的坐标为（ ）A．(2，−6)B．(1，−6)C．(−1，6)D．(−6，2)24．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1:2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是（）A．(3,3)B．(4,4)C．(5,5)D．(6,6)25．如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将△ABC在第一象限内放大2倍得到△AB1C1，再将1△AB1C1绕着原点逆时针旋转90°，得到的△A2B2C2，若点C、C1、C2是对应点，则C2的坐标是（）1A ．(−5,2)B ．(−6,3)C ．(6,−4)D ．(−6,4)【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A 2B 2C 2即为所求．观察图象可知：C 2(−6,4)故选D ．26．已知关于原点位似的两个图形中，一组对应点的坐标为(2,4)和(−1,x )，则x 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．12D ．−12【答案】A【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．27．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1:3，则点D的坐标为（）A．(−1,−2)B．−2,−2C．(−2,−1)D．−2,−328．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(−3,−1)，(−1,−2)．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是(6,2)，则点B′的坐标是．【答案】(2,4)【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为−2，根据位似图形的性质即29．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为．【答案】(−2,2)或(2,−2)/(2,−2)或(−2,2)【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：由题意得：A的坐标为(−1×2,1×2)或(−1×(−2),1×(−2))，∴A的坐标为(−2,2)或(2,−2)，故答案为：(−2,2)或(2,−2)．30．如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A′的坐标为(5,−2)，则点A的坐标为．【答案】(−10,4)【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可．【详解】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A′(5,−2)，且原图形与位似图形是异侧，∴点A的坐标是(5×(−2),−2×(−2))，即点A的坐标是(−10,4)．故答案为：(−10,4)．31．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【答案】(2，1)【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．故答案为：(2，1)．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．【考点4 判定位似中心】32．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形，对应点C和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标是（）A．(0,2)B．(0,2.5)C．(0,3)D．(0,4)∵∴GF//CD，CD=4，GF=∴∠PCD=∠PFG，∠DPC=∴△PFG∽△PCD，∴CD=PD，33．把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（）A．D点B．E点C．F点D．G点【答案】C【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．【详解】解：如图，连接A A′、BB′、CC′，交于点F，由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，故选：C34．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是（）A．点O B．点P C．点Q D．点R【答案】A【分析】连接A A′,C C′交于点O，即可．【详解】解：如图，连接A A′,C C′交于点O，∴位似中心是点O．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．35．已知△ABC与△DEF是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可．【详解】∵△ABC与△DEF是一对位似三角形，∴对应顶点的连线相交于一点，如图，位似中心是O1．故选：A．【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．36．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．37．如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．(1)请在方格图中画出位似中心O；(2)请在方格图中将△A′B′C′补画完整．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；（2）由（1）可知，OC:O C′=1:2，则连接OB并延长，使O B′=2OB，再连接A B′、B′C即可．【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；（2）解：补全△A′B′C′如图所示：38．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．(1)请在图中画出点O的位置；(2)若AB=2DE=36，BC=20，求EF的长．【答案】(1)作图见解析(2)10【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键．（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；（2）根据位似性质即可求得答案．【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示．经过位似变换得到的，【考点6 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形】39．如图，△ABC 在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)画出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以A 为位似中心，在网格中画出△ADE ，使△ADE 与△ABC 位似且面积比为4:1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．（1）根据旋转的性质作出点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接即可；（2）以A 为位似中心，作出点A 、B 、C 的位似点，然后顺次连接即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形．；（2）解：如图，△A DE1与△A D2E2即为所求作的三角形．140．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3作出图形即可；（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．【详解】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求，；41．如图，△ABC 在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似且相似比为3:1；(2)点A 1的坐标为______，点C 1的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)(3,0)，(−3,−3)【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．（1）在网格中作出A 1、C 1，连接A 1C 1、BC 1、BA 1即可得到△A 1B 1C 1；（2）根据点的位置写出A 1、A 1、C 1的坐标即可．【详解】（1）△A 1B 1C 1即为所作；（2）点A 1的坐标为(3,0)，点C 1的坐标为(−3,−3)，故答案为：(3,0)，(−3,−3)．42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求．B2C2即为所求．2【点睛】本题考查作图−平移变换、位似变换，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．。
九年级数学上册23.5《位似图形》作业(新版)华东师大版
位似图形
一、在平面直角坐标内画位似图形.
1、如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
图1 图2
二、网格中的位似图形
2、如图2，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）．
图2
3、如图6，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
图3
（1）画出位似中心点0；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．。
位似图形试题中考试题选
位似图形试题中考试题选位似图形试题中考试题选一．选择题（共3小题）1．（2013•孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）2．（2011•六盘水）“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）A．左上B．左下C．右上D．右下3．（2008•威海）如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点（）A．A B．B C．C D．D二．填空题（共2小题）4．（2012•阜新）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A1B1C1的面积是_________．5．（2010•宁夏）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是_________．（只填序号）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．三．解答题（共5小题）6．（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．7．（2012•辽阳）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．8．（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为_________，B1的坐标为_________，C1的坐标为_________；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．9．（2011•南宁）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为_________，点C的坐标为_________．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为_________．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：_________．10．（2011•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．位似图形试题中考试题选参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2013•孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）考点：位似变换；坐标与图形性质．专题：作图题．分析：根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．解答：解：根据题意得：则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D．点评：此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．2．（2011•六盘水）“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）A．左上B．左下C．右上D．右下考点：位似变换．专题：几何图形问题；压轴题．分析：开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下较小的“E“是位似图形．解答：解：根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下较小的“E“是位似图形．故选B．点评：本题考查了位似变换的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．3．（2008•威海）如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点（）A．A B．B C．C D．D考点：位似变换．分析：根据位似中心的概念可知位似中心是对应顶点的连线的交点．解答：解：∵位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心，∴位似中心是点B．故选B．点评：本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，注意位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心．二．填空题（共2小题）4．（2012•阜新）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A1B1C1的面积是12．考点：位似变换．分析：由△ABC与△A1B1C1为位似图形，位似比是1：2，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．解答：解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵位似比是1：2，∴相似比是1：2，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4，∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是：3×4=12．故答案为：12．点评：此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．5．（2010•宁夏）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是②③．（只填序号）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．考点：位似变换；相似多边形的性质．专题：压轴题．分析：如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．解答：解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；④位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，错误；故填②③．点评：相似图形不一定是位似图形；位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．三．解答题（共5小题）6．（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．考点：作图-位似变换；作图-旋转变换．专题：压轴题．分析：（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．解答：解：如图：（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求．点评：此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（2012•辽阳）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．考点：作图-位似变换．专题：作图题；压轴题．分析：（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．解答：解：（1）图中点O为所求；（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，﹣2）；C″（4，﹣4）．点评：此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．8．（2012•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为（﹣2，0），B1的坐标为（﹣6，0），C1的坐标为（﹣4，﹣2）；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．考点：作图-位似变换；作图-平移变换；作图-旋转变换．专题：作图题；压轴题．分析：（1）延长AO到A1，使A1O=2AO，延长BO到B1，使B1O=2BO，连接CO并延长到C1，使C1O=2CO，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）先绕点O顺时针旋转90°，然后向右平移再向下（或向上）平移，使△A2B2C2的直角边与△DEF的直角边重合即可．解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，A1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；（2）如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE 重合，或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．点评：本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换与旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．9．（2011•南宁）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为（2，8），点C的坐标为（6，6）．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为（a﹣7，b）．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：（1，4）或（﹣1，﹣4）．考点：作图-位似变换；点的坐标；坐标与图形变化-平移．专题：作图题；压轴题．分析：（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；（2）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；（3）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．解答：解：（1）A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；（2）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知M1的坐标（a ﹣7，b）；（3）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（1，4）或（﹣1，﹣4）．点评：本题考查了旋转变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点，难度一般．10．（2011•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．菁优网考点：作图-位似变换；作图-平移变换．专题：作图题；压轴题．分析：（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可．解答：解：如图点评：考查图形的平移变换及旋转变换；注意图形的变换，看关键点是变换即可．©2010-2013 菁优网。
2023中考数学复习：图形的相似与位似
∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( D )
A.(7,2)
1
B.(7,5)
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3
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C.(5,6)
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6
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D.(6,5)
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挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·贵州贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,
AC ∶ AB=1 ∶ 2,则△ADC与△ACB的周长比是( B )
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挑战高分
中考创新练
∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴ = .∵DH∥AB,∴△EDH∽△EFB.
∴ = = .∴ = .∴ = ;
[问题拓展]解:如图2,取BC的中点H,连接DH.
∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.
(2)求 的值.
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挑战高分
基础全练
中考创新练
(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,∵∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;
②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,
∵CD∥AB,∴∠OCD=180°-∠COB=90°,∴CD是☉O的切线;
∵AE=3,EF=2AF=4,∴ME=4,BM=2,BE=3,
数学中考试题汇编-位似图像
位似图像选择题：1．用作位似图形的方法可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在( ) A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置答案：D说明：根据图形位似变换的概念可知，把一个图形放大或缩小与位似中心无关，与相似比有关，所以，答案为D．2．下列说法正确的是( )A．相似的两个五边形一定是位似图形B．两个大小不同的正三角形一定是位似图形C．两个位似图形一定是相似图形D．所有的正方形都是位似图形答案：C说明：位似图形是一种特殊的相似图形，位似图形的对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，而一般的相似图形不一定满足对应顶点的连线相交于一点，以及对应边互相平行这两个条件，所以正确答案为C．3．如图，在每个小正方形边长都为1个单位长度的正方形网格中有编号①②③④四个小三角形，这四个小三角形能相互成为位似变换图形的有( )．A．1对B．2对C．3对D．4对答案：B说明：由位似图形的定义，通过判断对应边是否互相平行，对应顶点连线是否在同一条直线上，不难得出①与③是位似图形，②与④是位似图形，答案为B．4．如图，在每个小正方形边长都为一个单位长度的正方形网格中，点P是△ABC三个顶点经过以原点O为位似中心，作位似变换后得到的对应点，则与点P对应的点是( )．A．顶点AB．顶点BC．顶点CD．A、B、C三点都可以答案：A说明：由题意知点A坐标为(1，1)，点P坐标为(−3，−3)，根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，即对应点连线经过位似中心，知点P与点A对应，答案为A．5．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长是( )．A．cm B．cm C．cm D．1cm答案：D说明：因为小孔成像原理是图形位似变换，所以由相似比得CD =×2 = 1(cm)，答案为D．6．如图，表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，则它们的相似比(即新图形与原图形的相似比)为( )．A．2 B．−2 C．D．−答案：C说明：位似图形是相似图形，所以它们的相似比等于它们对应边的比，即OD：OB = 2：4 = 1：2，因此，正确答案为C．7．下列是ΔABC位似图形的几种画法，如图，其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C说明：根据位似图形的定义，不难看出②③④中的两个图形都是位似图形，只有①中的不符合对应边互相平行的条件，所以答案为C．解答题：1．已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，D(2，3)，四边形A’B’C’D’是以四边形ABCD所在坐标平面的原点O为位似中心，相似比为2的位似图形，求四边形A’B’C’D’四个顶点的坐标．解：顶点A(1，1)对应点A’的坐标为(2，2)或(−2，−2)B(4，2)的对应点B’的坐标为(8，4)或(−8，−4)C(3，4)的对应点C’的坐标为(6，8)或(−6，−8)D(2，3)的对应点D’的坐标为(4，6)或(−4，−6)所以四边形ABCD四个顶点坐标为(2，2)，(8，4)，(6，8)，(4，6)或者是(−2，−2)，(−8，−4)，(−6，−8)，(−4，−6)2．如图，已知五角星ABCDE；(1)以点O为位似中心，将五角星缩小(2)以点D为位似中心，将五角星缩小解答：(1)答案如图①，红色五角星即为所求；(2)答案如图②，红色五角星即为所求图①图②1、（2013济宁）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm．考点：相似三角形的应用．分析：根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．解答：解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC∴=设屏幕上的小树高是x，则=解得x=18cm．故答案为：18．点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2、（2013•孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为3、（2013•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为（53，﹣4）．∴=∴=∴=∵=4、（13年山东青岛、8）如图，△ABO 缩小后变为O B A ''△，其中A 、B 的对应点分别为''B A 、，''B A 、均在图中格点上，若线段AB上有一点),(n m P ，则点P 在''B A 上的对应点'P 的坐标为（ ）A 、),2(n m B 、),(n m C 、)2,(n m D 、)2,2(n m 答案：D解析：因为AB ＝''A B =''12A B AB =，所以点P （m ，n ）经过缩小变换后点'P 的坐标为5、（2013•南宁）如图，△ABC 三个定点坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣1，1），C （﹣3，2）．（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出S △A1B1C1：S △A2B2C2的值．，）．6、（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．位似变换；作。
中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1. 位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
2. 位似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 。
练习题1、（2022•百色）已知△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是（ ）A ．1：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【分析】利用为位似的性质得到△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是1：9．故选：C ．2、（2022•梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，已知 OA OA ＝31，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．【解答】解：∵以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，＝，∴＝＝， 则四边形A ′B ′C ′D ′面积为：18．故选：D ．3、（2022•威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为（ ）A ．（34）3B ．（34）7C ．（34）6D ．（43）6 【分析】根据余弦的定义得到OB ＝OA ，进而得到OG ＝（）6OA ，根据位似图形的概念得到△GOH 与△AOB 位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos∠AOB＝，∴OB＝OA，同理，OC＝OB，∴OC＝（）2OA，……OG＝（）6OA，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，∵S△AOB＝1，∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，故选：C．4、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，故选：A．5、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC 的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9 D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF 的周长．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．6、（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是．【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，而点A（4，0），点C（2，0），∴相似比为4：2＝2：1，∴△OAB与△OCD周长的比值为2．故答案为：2．7、（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．8、（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是．【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故答案为：2：5．。
中考数学真题分类汇编及解析(三十八)位似
（2022•威海中考）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为（ ）A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6 【解析】选C ．在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，因为cos ∠AOB =OA OB ，所以OB =2√3OA ， 同理，OC =2√3OB ， 所以OC ＝（2√3）2OA ， ……OG ＝（2√3）6OA ，由位似图形的概念可知，△GOH 与△AOB 位似，且位似比为（2√3）6， 因为S △AOB ＝1，所以S △GOH ＝[（2√3）6]2＝（43）6． （2022•梧州中考）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，已知OA OA′=13，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【解析】选D ．因为以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，OA OA′=13， 所以S 四边形ABCD S 四边形A′B′C′D′=19=2S 四边形A′B′C′D′，则四边形A ′B ′C ′D ′面积为18．△DEF的周长比是2：5．【解析】因为△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．所以△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，因为OA：AD＝2：3，所以OA：OD＝2：5，所以△ABC与△DEF的周长比是2：5．答案：2：5．。
4.8 图形的位似(分层练习)(解析版)
第四章图形的相似4.8 图形的位似精选练习一、单选题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（）A．（0，1.5）B．（0，2）C．（0，2.5）D．（0，3）故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似中心的概念和位似图形的性质等知识，熟练掌握位似中心的概念和位似图形的性质是解题的关键．2．（2022·江苏·西附初中八年级期末）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是位似图形，点O 是位似中心，点A ¢是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是（ ）A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ¢¢¢¢的相似比为1：1B ．四边形ABCD 与四边形A BCD ¢¢¢¢的相似比为1：2C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的周长比为3：1D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的面积比为4：1【答案】D【分析】根据题意可判断OA ¢：1OA =：2，即得出A B ¢¢：1AB =：2，从而可判断四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的相似比为2：1，由相似比即可求出其周长比和面积比，即可选择．【详解】Q 四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是位似图形，点O 是位似中心，点A ¢是线段OA 的中点，∴OA ¢：1OA =：2，∴A B ¢¢：1AB =：2，\四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．故选D ．【点睛】本题考查由位似图形求相似比，周长比和面积比．掌握位似图形的定义和性质是解题关键．3．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）如图，在平面点角坐标系中V AOB 与V COD 是位似图形，以原点O 为位似中心，若2AC OA =，B 点坐标为(4，2)，则点D 的坐标为（ ）A ．( 8，4)B ．(8，6)C ．(12，4)D ．(12，6)4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2：3，点A ，B 的对应点分别为点A ′，B ′．若AB ＝6，则A ′B ′的长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．156AB =Q ，9A B ¢¢\=，故选：B ．【点睛】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）A ．（8，2）B ．（9，1）C ．（9，0）D ．（10，0）【答案】C 【分析】延长EB 、DA 交于点P ，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．【详解】解：延长EB 、DA 交于点P ，则点P 即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．6．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点B 的坐标为(2,3)，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为（ ）A ．(2,0)-B ．(0,2)-C ．3,02æö-ç÷D ．30,2æö-ç÷二、填空题7．（2022·广东·佛山市三水区三水中学附属初中九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将ABO V 扩大到原来的2倍，得到A B O ¢¢△，若点A 的坐标是()1,2，则点A ¢的坐标是______．【答案】()2,4--【分析】根据以原点O 为位似中心，将ABO V 扩大到原来的2倍，结合图形，可知将对应点的坐标应乘以2-，即可得出点A ¢的坐标．【详解】解：根据以原点O 为位似中心扩大到原来的2倍 ，A B O ¢¢△在第三象限，即对应点的坐标应乘以2-，∵点A 的坐标是()1,2，∴点A ¢的坐标是()2,4--，故答案为：()2,4--．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k 或k -是解题关键．8．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，ABC V 与△A B C ¢¢¢是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．【答案】（9，0）【分析】根据位似中心的概念解答即可．【详解】解：连接A A ¢和B B ¢并延长相交于点D ，则点D 即为位似中心，作图如下：点D 的坐标为（9，0），即位似中心的坐标为（9，0），故答案为：（9，0）．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．9．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形'''A B CD E ，已知10cm OA =，'20cm OA =，则五边形ABCDE 的周长与五边形''''A B CD E 的周长比是______．【答案】1：2【分析】根据已知可得五边形ABCDE 的周长与五边形'''A B CD E 的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE 的周长与五边形'''A B CD E 的周长比．【详解】Q 以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形'''''A B C D E ，10OA cm =，'20OA cm =，\五边形ABCDE 的周长与五边形'''''A B C D E 的位似比为：10：201=：2，\五边形ABCDE 的周长与五边形'''''A B C D E 的周长比是：1：2．故答案为1:2．【点睛】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．10．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，ABC V 与111A B C △位似，位似中心是点O ，则1:1:2OA OA =，ABC V 的面积为3，则111A B C △的面积是___________．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣1，1），请按如下要求画图：(1)以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到111A B C △，请画出111A B C △；(2)以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出△ABC 的位似图形222A B C △，使它与△ABC 的位似比为2：1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．（1）解：如图，111A B C △即为所求．；（2）解：如图，222A B C △即为所求．【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．12．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，2），C （3，0）．(1)以原点O 为位似中心，在y 轴的右侧画出将△ABC 放大为原来的2倍得到的△A 1B 1C 1，请写出点B 的对应点B 1的坐标；(2)画出将△ABC 向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△A 2B 2C 2，写出点C 的对应点C 2的坐标；(3)请在图中标出△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的位似中心M ，并写出点M 的坐标．【答案】(1)图见解析，（4，4）(2)图见解析，（2，2）(3)图见解析，（﹣2，4）【分析】（1）把A ，B ，C 的横纵坐标都乘以2得到111,,A B C 的坐标，然后描点即可．（2）利用，点平移的坐标特征写出222,,A B C 的坐标，然后描点即可．（3）对应点连线的交点M 即为所求作．（1）如图△A 1B 1C 1即为所求作的三角形，点B 1的坐标（4，4）．（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求作的三角形点C 2的坐标（2，2）．（3）如图所示：点M 即为所求作．M （﹣2，4）．【点睛】本题考查了作图一位似变换:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -，也考查了平移变换．一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△AOB 缩小为原来的12，得到△COD ，若点A 的坐标为（4，2），则AC 的中点E 的坐标是 _____．2．（2022·全国·九年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （-4，2），B （-2，-2）．以坐标原点O 为位似中心把△AOB 缩小得到△A 1OB 1，△A 1OB 1与△AOB 的位似比为12，则点A 的对应点A 1的坐标为_______．3．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()2,1A -，()3,2B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO V 缩小，则点A 的对应点A ¢的坐标是______．【答案】11,2æö-ç÷或1(1,2-##1(1,)2-或1(1,2-4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等边ABC V 与等边BDE V 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A 、B 、D 在x 轴上，若等边BDE V 的边长为12，则点C 的坐标为_________．∵等边△ABC 与等边△BDE 是以原点为位似中心的位似图形，∴BC ∥DE ，∴△OBC ∽△ODE ，∴BC OB DE OD=，∵△ABC 与△BDE 的相似比为13，等边△BDE 5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知ABCD Y 的面积为24，以B 为位似中心，作ABCD Y 的位似图形EBFG Y ，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG 、DG ．则ADG V 的面积为________．故答案为：4．【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．二、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的位似比为1．2【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应7．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的111A B C △；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出222A B C △，使222A B C △与△ABC 位似，且222A B C △与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点2C 的坐标．【答案】(1)见解析(2)图见解析，2C 坐标为（2，-4）【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案；（2）直接利用位似图形的性质以C 为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可．（1）如图所示：111A B C △即为所求；（2）如图所示：222A B C △即为所求，2C 坐标为：（2，-4）．【点睛】本题考查了平移的性质，位似的性质，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键．8．（2021·黑龙江绥化·期末）按要求完成下面各题：(1)三角形AOB 顶点B 的位置用数对表示是 ．(2)画出三角形AOB 绕点O 逆时针旋转90°后的图形．(3)按2∶1的比画出三角形AOB 放大后的图形．【答案】(1)（2，4）(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据网格即可得三角形AOB 顶点B 的位置；（2）根据旋转的性质即可画出三角形AOB 绕点O 逆时针旋转90°后的图形；（3）根据2：1的比即可画出三角形AOB 放大后的图形．（1）解：三角形AOB 顶点B 的位置用数对表示是（2，4）；故答案为：（2，4）；（2）如图三角形A OB ¢¢即为所求；（3）²²²即为所求．如图，三角形A O B【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．。
中考数学复习集训(图形的相似与位似专题练)(含解析)
中考数学复习集训（图形的相似与位似专题练）一．选择题.1.若a∶b=2∶3,且a+b=10,则a-2b的值是( )A.-10B.-8C.4D.62. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，EG∥AB，且AE∶EC=3∶2，若BC=10，则FG的长为( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC是正三角形,点D是边AC上一动点(不与A,C重合),以BD为边作正△BDE,边DE 与边AB交于点F,则图中一定相似的三角形有______对( )A.6B.5C.4D.34.已知△ABC与△DEF相似且对应周长的比为2∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( )A.2∶3B.16∶81C.9∶4D.4∶95. 如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为( )A. B. C. D.6. 如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB等于( )A.5∶8B.3∶8C.3∶5D.2∶57.如图,在▱ABCD中,点E在AD边上,BE交对角线AC于点F,则下列各式错误的是( )A.=B.=C.=D.=8.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=6,点P从点B出发以1个单位/秒的速度向点A运动,同时点Q从点C出发以2个单位/秒的速度向点B运动.当以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间为( )A.秒B.秒C.秒或秒D.以上均不对二．填空题.9. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB=4cm，则线段BC=____cm.10.如图,AD与BC相交于点O,如果=,那么当的值是 __时,AB∥CD.11. 如图所示，AD是△ABC的中线，点F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF∶FD=1∶3，则AE∶AB=_ ___.12.如图,∠B=∠D,请你添加一个条件,使得△ABC∽△ADE,这个条件可以是_ ___.13.如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=6,点E,F分别在BC,CD上.若DF=2,∠EAF=45°,则BE= __.14. 如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，则+= __.三．解答题.15. 如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证：GF=FB.16.如图,在▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB.(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.17. 如图，BD∶DC=5∶3，点E为AD的中点，求BE∶EF的值.18.如图,△ABC中,∠C=90°,O为AB上一点,以OA为半径的☉O交AC于点D,交AB于点F(不同于点A),切BC于点E,连接OE,DF交于点G.(1)求证:AO∶OB=AC∶AB.(2)连接DE,直接写出当∠B为多少度时,四边形AOED是菱形?19.如图a,在正方形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接AF,DE交于点G.(1)求证:AF⊥DE;(2)如图b,连接BG,BD,BD交AF于点H.①求证:GB2=GA·GD;②若AB=10,求三角形GBH的面积.中考数学复习集训（图形的相似与位似专题练）(答案版)一．选择题.1.若a∶b=2∶3,且a+b=10,则a-2b的值是( B)A.-10B.-8C.4D.62. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，EG∥AB，且AE∶EC=3∶2，若BC=10，则FG的长为( B)A.1B.2C.3D.43.已知△ABC是正三角形,点D是边AC上一动点(不与A,C重合),以BD为边作正△BDE,边DE 与边AB交于点F,则图中一定相似的三角形有______对( B)A.6B.5C.4D.34.已知△ABC与△DEF相似且对应周长的比为2∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( D)A.2∶3B.16∶81C.9∶4D.4∶95. 如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为( A)A. B. C. D.6. 如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB等于( A)A.5∶8B.3∶8C.3∶5D.2∶57.如图,在▱ABCD中,点E在AD边上,BE交对角线AC于点F,则下列各式错误的是( B)A.=B.=C.=D.=8.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=6,点P从点B出发以1个单位/秒的速度向点A运动,同时点Q从点C出发以2个单位/秒的速度向点B运动.当以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间为( C)A.秒B.秒C.秒或秒D.以上均不对二．填空题.9. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB=4cm，则线段BC=__12__cm.10.如图,AD与BC相交于点O,如果=,那么当的值是__时,AB∥CD.11. 如图所示，AD是△ABC的中线，点F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF∶FD=1∶3，则AE∶AB=__1∶7___.12.如图,∠B=∠D,请你添加一个条件,使得△ABC∽△ADE,这个条件可以是_∠C=∠E （答案不唯一）_.13.如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=6,点E,F分别在BC,CD上.若DF=2,∠EAF=45°,则BE= __.14. 如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，则+=__1___.三．解答题.15. 如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证：GF=FB.【证明】∵GF∥AD，∴=①，又FB∥DC，∴=②，又AD=DC ③， 由①②③得：=，∴GF=FB.16.如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB.(2)若△DEF 的面积为2,求▱ABCD 的面积.【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C,AB ∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,AB ∥CD,∴△DEF ∽△CEB,△DEF ∽△ABF, ∵DE=CD,∴=, ∴==,==,∵S △DEF =2,∴S △CEB =18,S △ABF =8,∴S 四边形BCDF =S △BCE -S △DEF =16,∴S 四边形ABCD =S 四边形BCDF +S △ABF =16+8=24.17. 如图，BD ∶DC=5∶3，点E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值.【解析】过点D 作DG ∥CA 交BF 于点G ，则==.∵点E为AD的中点，DG∥AF，∴==1，∴GE=EF=GF.∴====.∴===.18.如图,△ABC中,∠C=90°,O为AB上一点,以OA为半径的☉O交AC于点D,交AB于点F(不同于点A),切BC于点E,连接OE,DF交于点G.(1)求证:AO∶OB=AC∶AB.(2)连接DE,直接写出当∠B为多少度时,四边形AOED是菱形?【解析】(1)∵BC切☉O于点E,∴OE⊥BC,∵∠C=90°,∴OE∥AC,∴△ACB∽△OEB,∴OE∶OB=AC∶AB,∵AO=OE,∴AO∶OB=AC∶AB.(2)当∠B=30°时,四边形AOED是菱形,理由如下:∵∠B=30°,∴∠EOF=∠A=60°,连接OD,∵OA=OD,∴△ADO是等边三角形,∴AD=OA=OD=OE,∵AD∥OE,∴四边形AOED是菱形.19.如图a,在正方形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接AF,DE交于点G.(1)求证:AF⊥DE;(2)如图b,连接BG,BD,BD交AF于点H.①求证:GB2=GA·GD;②若AB=10,求三角形GBH的面积.【解析】(1)∵在正方形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,∴AD=BC=DC=AB,AE=BE=AB,BF=CF=BC,∴AE=BF,∵在△ADE和△BAF中,∴△ADE≌△BAF(SAS),∴∠BAF=∠ADE,∵∠BAF+∠DAF=90°,∴∠ADE+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,∴AF⊥DE.(2)①如图b,过点B作BN⊥AF于N,∵∠BAF=∠ADE,∠AGD=∠ANB=90°,AB=AD, ∴△ABN≌△DAG(AAS),∴AG=BN,DG=AN,∵∠AGE=∠ANB=90°,∴EG∥BN,∴=,且AE=BE,∴AG=GN,∴AN=2AG=DG,∵BG2=BN2+GN2=AG2+AG2,∴BG2=2AG2=2AG·AG=DG·GA;②∵AB=10,∴AE=BF=5,∴DE===5, ∵×AD·AE=×DE·AG,∴AG=2,∴GN=BN=2,∴AN=DG=4,∵GE∥BN,∴△DGH∽△BNH,∴===2,∴GH=2HN,且GH+HN=GN=2,∴GH=,=×GH·BN=·×2=.∴S△GHB。
2019-2020年中考数学试卷分类汇编：图形的相似与位似(最新整理)
一．选择题
1．（2013 湖北孝感，9，3 分）在平面直角坐标系中，已知点 E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以
原点 O 为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标是（ ）
A． （﹣2，1）
B． （﹣8，4）
C． （﹣8，4）或（8，﹣4）D． （﹣2，1）或（2，﹣1）
考点：位似变换；坐标与图形性质． 专题：作图题． 分析：根据题意画出相应的图形，找出点 E 的对应点 E′的坐标即可． 解答：解：根据题意得：
则点 E 的对应点 E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选 D． 点评：此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相 似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 2．（2013 湖北孝感，12，3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC 内依 次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则 EF 等于（ ）
A． （6，0）
B． （6，3）
C． （6，5）
D． （4，2）
考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．
分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
解答：解：△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、当点 E 的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则 AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC， 故本选项不符合题意；
当 8，4 为对应边且为直角三角形的斜边时，x 的值为 7 ，故 x 的值可以为 5 或 7 ．两种
情况。
7．（2013·济宁，11，3 分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕
专题04 图形的位似(五大类型)(题型专练)(原卷版)
专题04 图形的位似（五大类型）【题型1位似图形性质】【题型2 位似图形的点坐标】【题型3 判定位似中心】【题型4 位似图形-作图】【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】1．（2023春•乳山市期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，则＝（）A．B．C．D．2．（2023•开州区校级模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，且OD＝2AD，则S△ABC ：S△DEF＝（）A．3：2B．9：4C．9：1D．4：1 3．（2023•衡南县三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则（）A．B．C．D．4．（2023•宿豫区三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为（）A．12B．16C．21D．49 5．（2023•大理州模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是（）A．6B．9C．12D．16 6．（2023春•石景山区期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的面积是100，则四边形EFGH 的面积是（）A．4B．16C．36D．7．（2023•汇川区模拟）如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，且AC＝9，DF＝3，OA＝6，则OD＝（）A．2B．4C．6D．8 8．（2023春•太仓市期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD 的面积比是（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9 9．（2023•岳麓区校级模拟）如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD＝3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（）A．10B．15C．25D．125【题型2 位似图形的点坐标】9．（2022秋•江北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中△ABC与△A'B'C'位似，且原点O为位似中心，其位似比1：2，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B'的坐标为（）A．（2，4）B．（4，2）C．（2，1）D．（1，2）10．（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）11．（2023•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（2，0），已知△OA'B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B′的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A′的坐标为（）A．B．或C．D．或12．（2023春•岱岳区期末）如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣4，2），△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，2）13．（2023春•肥城市期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P 是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．D．14．（2023春•长寿区校级期中）如图，线段AB两个端点坐标分别为A（6，9），B（9，3），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣1 ）D．（﹣2，﹣1）15．（2023•杜集区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC 位似，位似中心为原点O，已知点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，则点C'的坐标为（）A．（2，2）B．（4，2）C．（6，2）D．（8，2）【题型3 判定位似中心】16．（2022秋•泉州期末）如图，在8×8网格中，△ABC和△A'B'C'位似，则位似中心为（）A．点O B．点P C．点Q D．点R 17．（2023•长安区模拟）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D 18．（2022秋•青县期末）如图中的两个三角形是位似图形，点M的坐标为（3，2），则它们位似中心的坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，﹣1）D．（2，3 ）19．（2023春•烟台期末）如图，点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求出△ABC的面积；（2）请以点O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1，使得△A1B1C1的面积为18．20．（2022秋•未央区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点都在正方形网格顶点上．以原点O为位似中心，相似比为1：2，在y轴的右侧，画出将△ABO放大后得到的△A1B1O．【题型4 位似图形-作图】21．如图，在6×6网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：2；（2）点B'和点C之间的距离是．22．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A'BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C'的坐标是；（2）△A'BC′的面积是平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P 点的坐标是．23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）以原点O为位似中心，画出所有满足条件的△DEF，使△DEF和△ABC 位似，且DE：AB＝EF：BC＝1：2；（2）在（1）中，点O与DE的中点的距离是．24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'．（1）画出△A'B'C'；（2）分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标．25．如图．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣2.5）、B（﹣1.5，﹣0.5）、C（﹣2.5，﹣2）．以点O为位似中心，在第一象限内画出△A1B1C1，使得它与△ABC的相似比为2．26．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4），C（2，2）正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）△ABC的面积是．（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1，此时点C1的坐标是．27．如图，正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上．（1）请用无刻度直尺，在线段AC上找一点P，使AP：CP＝3：2；（2）以点O为位似中心，在x轴下方画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2．28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，1），B（﹣2，﹣1），C（0，2）．（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1；（2）写出A1，B1两点的坐标．29．△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2），以O为位似中心，在第四象限内，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC 与△A1B1C1的相似比为1：2，并写出点A1，B1，C1的坐标．【题型5 平移、轴对称、旋转和位似综合】30．如图每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求画图形．（1）在下面方格中画一个直角三角形，其中两个锐角的顶点位置分别是A（3，7）、B（1，4），直角顶点C的位置是（3，4）．（2）这个三角形的面积是平方厘米．（3）画出这个三角形绕C点顺时针旋转90度后的图形．（4）把这个三角形按2：1放大．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别是A（1，1），B（2，3），C（3，2）．（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比为2：1；（3）求△A2B2C2的面积．32．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC，并画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2．33．按要求填空或在方格图中画图．（1）用数对表示三角形顶点A的位置是（，）；（2）画出三角形绕A点顺时针旋转90°后的图形；（3）把原三角形按2：1的比放大，画在方格图中右边的位置．34．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形并写出点B1、C1的坐标；（2）将△BOC绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△OB2C2，并求出B点所经过的路线长．35．按要求画图．（1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形．（2）画出图②绕O点按顺时针旋转90°后的图形．（3）画出图③按1：2缩小后的图形．36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照1：2放大后的位似图形△A2B2C2；（3）利用网格和无刻度的直尺作出△ABC的中线AD（保留作图痕迹）．37．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点A2，B2，C2的坐标．（3）若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求△A2B2C2的面积．38．如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中△ABC是格点三角形，点A、B、C 的坐标分别是（﹣3，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣2）．39．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4）C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标．。
初三数学 相似图形----位似
步骤：
B’ C
O
C’
1、连结OA、OB、OC。 2、在OA、OB、OC上分别选取A’、B’、C’， 使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2。 3、连结A’B’C’，所连成的图形就是所求作图形。
A
3.以0为中缩小为原来的一半。
B
心把△ABC
C
O C’
B’
A’
注意
✓ 位似是一种具有位置关系的相似。 ✓ 位似图形是相似图形的特殊情形。 ✓ 位似图形必定是相似图形，而相似图形 不一定是位似图形。 ✓ 两个位似图形的位似中心只有一个。 ✓ 两个位似图形可能位于位似中心的两侧， 也可能位于位似中心的一侧。 位似的作用：位似可以将一个图形放大或缩小
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形． 试试看.
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以 原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
x
C
C′
o
练习 1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比 为2画它的位似图形.
放大后对应点的坐标分别是多少?
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
y
A'
6
4 A
3
2
B'
4.7 图形的位似(9大题型)(分层练习)(原卷版)
第4章相似三角形4.7 图形的位似（9大题型）分层练习考查题型一位似图形的识别1．（2022秋·九年级单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（ ）A．0组B．1组C．2组D．3组2．（2023·河北廊坊·校考三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对3．（2022春·全国·九年级专题练习）位似图形的性质（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于（2）位似图形相似图形，但相似图形4．（2020秋·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）在如图所示的网格中，以点的位似图形，小明认为四边形边形NPMQ，你认为正确的是A．2、点P B2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，A．点M B．点3．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为4．（2022春·九年级课时练习）如图，在正方形()1,1--，则两个正方形的位似中心的坐标是(1)在图中标出ABC V 与111A B C △的位似中心点M 的位置，并直接写出点(2)若以点O 为位似中心，请你帮小明在图中画出△似比为2（只画出一个三角形即可）．考查题型三 位似图形相关概念辨析1．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，ABC V 与DEF V 位似，点O 为位似中心，位似比为2:3，若DEF V 的周长为6，则ABC V 的周长是（ ）A．16B．2．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；4．（2023秋·九年级课时练习）如图，点=；ABCÐ=，Ð5．（2022春·九年级单元测试）如图，在68´的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 和ABC V 的顶点均为小正方形的顶点．(1)在图中ABC V 的内部作A B C ¢¢¢V ，使A B C ¢¢¢V 和ABC V 位似，且位似中心为点O ，位似比为1:2；(2)连接（1）中的AA ¢，则线段AA ¢的长度是________．A ．1:2B ．2:12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形形，若四边形ABCD 与四边形A ．23：B ．49：C ．3．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）面积为1，DEF V 面积为9，则OC CF 的值为4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）四边形1111D C B A 是位似图形，点A 与点么AB A B = ．(1)在图中画出ABC V 沿x 轴翻折后的11A B C △(2)以点()1,2M 为位似中心，作出111A B C △按(3)求点2A 的坐标以及ABC V 与222A B C △的周长比．考查题型五 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形1．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）以O 为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形ABCD 位似，且位似比为1:2，则所画的矩形可以是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④A．P点B．Q点3．（2022春·九年级课前预习）总结画位似图形的一般步骤：（1）确定；（2）分别连接并延长和能代表原图的关键点；（3）根据，确定能代表所作的位似图形的关键点；（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．4．（2022春·九年级课前预习）把图中的四边形分析：把原图形缩小到原来的似中心的距离之比为作法：5．（2022秋·四川成都·九年级川大附中校考期中）在正方形网格中，OBC △的顶点分别为()00O ，，()31B -，，()21C ，．(1)以点()00O ，为位似中心，以位似比21：在位似中心的异侧将OBC △放大为OB C ¢¢△，放大后点B ，C 两点的对应点分别为B ¢，C ¢，请画出OB C ¢¢△；(2)在（1）中，若点()M a b ，为线段BC 上任一点，直接写出变化后点M 的对应点M ¢的坐标．（用含a ，b 的代数式表示）A．62．（2022秋·安徽合肥为位似中心，把△A．(9,6)B．3．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，()A-，OAB4,2V与OCDV4．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，位似中心的位似图形，点A、5,6，则点A点A的坐标为()5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为面直角坐标系后，ABC V 的顶点均在格点上，点C 的坐标为()41-,．(1)以O 为位似中心在第二象限作位似比为1:2变换，得到对应的111A B C △，画出111A B C △，并写出1C 的坐标；(2)以原点O 为旋转中心，画出把ABC V 顺时针旋转90°的图形222A B C △，并写出2C 的坐标．A ．2B ．33．（2022春·八年级单元测试）如图，四边形6,4,3OC CC AB ¢===，则A B ¢¢=4．（2023·山西运城·统考一模）在平面直角坐标系中，的坐标分别为()1,3-，()3,9-，则ABC V 5．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）A ．DEF VB ．DHF △2．（2023春·河北邯郸·九年级校考开学考试）在如图所示正方形网格图中，以大为原来的2倍，则A 的对应点为（A ．N 点B ．M 点3．（2023春·九年级单元测试）已知方形网格中，每个小正方形的边长是与ABC V 位似，且111A B C △与ABC V5．（2022春·湖南郴州·九年级校考开学考试）如图，平面直角坐标系中，点上．(1)以O 点为位似中心，位似比为2，将ABC V (2)若ABC V ，111A B C △的面积为S 、1S ，写出考查题型九 在坐标系中画位似中心1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，ABC V 与ODE V 是位似图形，已知点()2,1A ，则位似中心的坐标是（ ）A ．()1,5B ．()4,22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点ABC DEF V V 、成位似关系，则位似中心的坐标为（A ．()1,0-B ．()0,03．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，则位似中心的坐标是 ．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，分别为()()()104132-，，，，，．1A △(1)请画出点P 的位置，并写出点P 的坐标(2)以点O 为位似中心，在y 轴左侧画出V 内一点，则点M 在222A B C △内的对应点的坐标为1,2BA．()2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形OE2A．4B．163．（2023秋·山东聊城·九年级校考开学考试）如图，在边长为V的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点标系，ABC相似比为2，则点B的对应点1B的坐标是（42，B．A．()4．（2023·山东日照·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，()-，，点C坐标为()20-，10A ．()3,2-B ．5．（2021春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）COD △的相似比是31：，且点A ．()2,4B ．7．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）将函数的新函数记作()g x ，我们称()f x 与(g x 8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，是位似中心，已知点()2,0A ，点(),C a b ，式子表示）9．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABO V 中心，将ABO V 缩小为原来的13，得到A B O ¢¢△10．（2022秋·湖南长沙位似比是1:3，已知11．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）如图，()2,4C -，请你画出以坐标原点并直接写出A 、B 的对应点的坐标．12．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，()()()0,02,11,2O A B -、、．(1)以原点O 为位似中心，在图中画出OAB V 的位似11OA B V ，使得点AB 、的对应点11A B 、均在y 轴的右侧，且11OA B V 与OAB V 的相似比为2:1；(2)在（1）的条件下，写出点1A 的坐标．13．（2023秋·山东临沂·七年级统考开学考试）（1）用数对分别表示出梯形四个顶点的位置：A （ ）B （ ）C （ ）D （ ）（2）把图中的梯形绕B 点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．（3）将原梯形按2:1放大，画出放大后的图形．14．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,4A ，()1,1B ，()3,1C ．(1)画出ABC V ，再画出ABC V 关于x 轴对称的111A B C △；(2)画出ABC V 以点O 为位似中心扩大2倍后的图形222A B C △．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知()0,2A -，()2,1B -，()3,2C ．(1)求线段AB 的长；(2)把A 、B 、C 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到A ¢，B ¢，C ¢的坐标，画出A B C ¢¢¢V ，并求A B ¢¢的长；(3)ABC V 与A B C ¢¢¢V 是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．。
专题23.6位似图形-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(华东师大版)[含答案]
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专题23.6位似图形【十大题型】【华东师大版】【题型1辨别位似图形】【题型2确定位似中心】【题型3由位似图形的性质判断结论正误】【题型4求位似图形的相似比】【题型5画位似图形】【题型6求位似图形的线段长度】【题型7求位似图形的周长】【题型8求位似图形的面积】【题型9求位似图形的坐标】【题型10 与位似图形相关的规律】知识点：图形的位似变换1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k．注意：a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；b．两个位似图形的位似中心只有一个；c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．位似多边形的对应边平行或共线．位似可以将一个图形放大或缩小．位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变．f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称．【题型1辨别位似图形】【例1】（2024·河北廊坊·三模）1．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．嘉嘉对，淇淇不对D．嘉嘉不对，淇淇对【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）2．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）A．平移B．轴对称C．旋转D．位似【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）3．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．②和④【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）4．已知：ABC A B C ¢¢¢∽△△，下列图形中，ABC V 与A B C ¢¢¢V 不存在位似关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型2 确定位似中心】【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）5．如图，正方形网格图中的ABC V 与A B C ¢¢¢V 位似，则位似中心是（ ）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）6．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）7．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）8．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A．B．C．D．【题型3由位似图形的性质判断结论正误】【例3】（2024·浙江金华·一模）9．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）A．△ABC与△DEF是位似图形B．△ABC与△DEF是相似图形C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）10．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（）A．②③B．③④C．②③⑤D．②③④【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）11．如图，已知BC ∥DE ，则下列说法中不正确的是 （ ）A ．两个三角形是位似图形B ．点A 是两个三角形的位似中心C ．AE ︰AD 是位似比D ．点B 与点E 、点C 与点D 是对应位似点【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）12．如图，△ABC 的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O 为位似中心，将△ABC 扩大得到△A 1B 1C 1,且△ABC 与△A 1B 1C 1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )A ．△ABC ∽△A 1B 1C 1B ．△A 1B 1C 1的周长为6+C ．△A 1B 1C 1的面积为3D ．点B 1的坐标可能是(6，6)【题型4 求位似图形的相似比】【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）13．如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 、y 轴的正半轴上，正方形A B C D ¢¢¢¢与正方形ABCD 是以AC 的中点O ¢为中心的位似图形，已知AC =若点A ¢的坐标为()1,2，则正方形A B C D ¢¢¢¢与正方形ABCD 的相似比是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）14．如图，在正方形网格中，以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是 （用图中字母表示），ABC V 与该三角形的位似比为 ．【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）15．ABC V 三个顶点()3,6A 、()6,2B 、()2,1C -，以原点为位似中心，得到的位似图形'''A B C V 三个顶点分别为()'1,2A ，2'2,3B æöç÷èø，21,33C æö-ç÷èø，则'''A B C V 与ABC V 的位似比是 ．【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）16．如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，'P ，'Q ，'R 分别是OP ，OQ ，OR 的中点，则'''P Q R V 与PQR V 是位似三角形．此时，'''P Q R V 与PQR V 的位似比为 ．【题型5 画位似图形】【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）17．如图，在平面直角坐标系中，ABC D 的顶点坐标分别为(2,2)A -，(4,0)B -，(4,4)C --，在y 轴右侧，以原点O 为位似中心画一个A B C ¢¢¢V ，使它与ABC V 位似，且相似比是1:2．(1)请画出A B C ¢¢¢V ；(2)请直接写出A B C ¢¢¢V 各顶点的坐标；(3)若ABC V 内部一点M 的坐标为,a b （），则点M 的对应点M ¢的坐标是___________．【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）18．如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）(1)在图1中，以C 为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的111A B C △．(2)在图2中，线段AB 上作点M ，利用格点作图使得32AM BM =．(3)在图3中，利用格点在AC 边上作－个点D ，使得ABD ACB V ∽．【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）19．如图，在1010´的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 和点1A 在格点上，ABC V 是格点三角形（顶点在网格线交点上）．(1)画出ABC V 以点O 为位似中心的位似图形111A B C △，点、、A B C 的对应点分别为点1A 、1B 和1C ；(2)111A B C △与ABC V 的周长之比为______．【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）20．如图是由小正方形组成的88´网格，每个小正方形的顶点叫做格点．,,A B C 都是格点，点P 在BC 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，将线段AB 沿BC 的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段CD ，再将PC 绕AC 的中点顺时针旋转180°，得到GA ，画出线段GA ；(2)在图2中，将APC △以点C 为位似中心缩小为原来的12得到EFC V ，画出EFC V ；(3)在图3中，在AC 上画一点M ，在AB 上画一点N ，使得PM MN +最小．【题型6 求位似图形的线段长度】【例6】（2024·浙江温州·三模）21．如图，矩形ABCD 与矩形EFGH 位似，点O 是位似中心，已知:1:2OH HD =，2EH =，则AD 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）22．如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大为原图形的2倍得到A B C ¢¢¢V ，则:AO AA ¢的值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．3:2【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）23．如图，DE 是ABC V 的中位线，D E ¢¢是A B C ¢¢¢V 的中位线，连结AA ¢、BB ¢、CC ¢．已知4BC =，2OA OA ¢=，2OB OB ¢=，2OC OC ¢=．则D E ¢¢的长度为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）24．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =．若矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，则点C 、F 之间的距离为 ．【题型7 求位似图形的周长】【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）25．如图，以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ．若AD OA =，则ABC V 与DEF V 的周长之比为（ ）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:2【变式7-1】（2024·重庆·三模）26．如图，ABC V 与DEF V 位似，点O 为位似中心，若2OC OF=，ABC V 的周长为8，则DEF V 的周长为（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．4【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）27．如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，OA ：OD ＝1：3，且△ABC 的周长为2，则△DEF 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．18【变式7-3】（2024·四川成都·二模）28．如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A B C D ¢¢¢¢，已知25OA A A =¢，若四边形ABCD 的周长为8，则四边形A B C D ¢¢¢¢的周长为 ．【题型8 求位似图形的面积】【例8】（23-24九年级·浙江·期末）29．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 是位似图形，点O 是位似中心．若23OE EA =，四边形ABCD 的面积是25，则四边形EFGH 的面积是（ ）A ．4B ．10C ．1009D ．503【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）30．如图，在平行四边形ABCD 中，以C 为位似中心，作平行四边形ABCD 的位似平行四边形PECF ，且与原图形的位似比为2∶3，连接,BP DP ，若平行四边形PECF 的面积为20，则PBE △与PDF △的面积之和为 ．【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）31．如图，V ABC 与V DEF 位似，点O 为位似中心，已知OA ：AD ＝1：2，则V ABC 与V DEF 的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：9【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）32．如图1，正方形ABCD 绕中心O 逆时针旋转45°得到正方形A B C D ¢¢¢¢，现将整个图形的外围以O 为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）A ．2B ．4+C ．6+D ．8+【题型9 求位似图形的坐标】【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）33．如图， Rt ABC △与Rt EFG △是关于y 轴上一点的位似图形，若()4,4B -，()2,1F 则位似中心的坐标为（ ）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．30,2æöç÷èø【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）34．如图，在直角坐标系中，点 E (-4, 2), F (-2, -2 )，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把D EFO 缩小为D E ¢F ¢O ，则点 E 的对应点 E ¢ 的坐标为 .【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）35．如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点B 的坐标为()23，，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为 ．【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）36．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的顶点()0,0O ，()2,0B ，已知OA B ¢¢△与OAB △位似，位似中心是原点O ，且OA B ¢¢△的面积是OAB △面积的4倍，则点A 对应点A ¢的坐标为（ ）A ．12æççèB ．()2或()2--C ．(4,D ．(2,或(2,--【题型10 与位似图形相关的规律】【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）37．如图，在平面直角标系xOy 中，以O 为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB 作n 次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA 1B 1，其边长OA 1缩小为OA 的12，经第二次变换后得到等边三角形OA 2B 2，其边长OA 2缩小为OA 1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA 3B 3，其边长OA 3缩小为OA 2的12，…按此规律，经第n 次变换后，所得等边出角形OA n B n ．的顶点A n 的坐标为（812，0），则n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）38．如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456PA A A ……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为()3,0P -，()12,1A -，()21,0A -，()32,1A --，则顶点2024A 的坐标为（ ）A ．()1347,0B ．()672,675-C ．()672,675D ．()1350,0【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）39．如图，正方形1111A B C D 可看成是分别以A 、B 、C 、D 为位似中心将正方形ABCD 放大一倍得到的图形（正方形ABCD 的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD 到正方形1111A B C D ，我们称之作了一次变换，再将正方形1111A B C D 作一次变换就得到正方形2222A B C D ，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形2005200520052005A B C D ，若正方形ABCD 的面积是1，那么正方形2005200520052005A B C D 的面积是多少（ ）A ．20053B ．20043C ．40103D ．40093【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）40．如图，在平面直角坐标系中，正方形1112A B C A 与正方形2223A B C A 是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点1A ，2A ，3A 在x 轴上，延长32A C 交射线1OB 与点3B ，以33A B 为边作正方形3334A B C A ；延长43A C ，交射线1OB 与点4B ，以44A B 为边作正方形4445A B C A ；…按照这样的规律继续作下去，若11OA =，则正方形2022202220222023A B C A 的面积为 ．1．A【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可．【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．1，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．故两人说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．D【分析】根据位似的定义，即可解决问题．【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．故选：D ．【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．3．B【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．【详解】解：A 、①和②是位似图形，则此项不符合题意；B 、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；C 、①和④是位似图形，则此项不符合题意；D 、②和④是位似图形，则此项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．4．D【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A 、ABC V 与A B C ¢¢¢V 是位似关系，故此选项不合题意；B 、ABC V 与A B C ¢¢¢V 是位似关系，故此选项不合题意；C 、ABC V 与A B C ¢¢¢V 是位似关系，故此选项不合题意；D 、ABC V 与A B C ¢¢¢V 对应边BC 和B C ¢¢不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D ．5．A【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．【详解】根据题意，得位似中心为点D ，故选A ．6．D【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法.7．()21，【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P ，则P 点为位似中心，然后写出P 点坐标即可．【详解】解：如图，点P 为位似中心，()21P ，．故答案为：()21，．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．8．B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A 、 ，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．9．D【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；∵将△ABC的三边缩小到原来的12，∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；∵面积比等于相似比的平方，∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．10．A【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意；位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．故选：A．11．C【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，故选C．12．C【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，△ABC的周长为于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+B正确；C. S△ABC=1111=22´´,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即19=4.52´，故C错误；D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确；故选C.【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.13．B【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．延长A B¢¢交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．【详解】解：延长A B ¢¢交BC 于点E ，如图．∵在正方形ABCD 中，AC =∴3BC AB ==，∵点A ¢的坐标为()1,2，∴1,312OE EC A E ¢===-=，∴:2:3CE BC =，∵A E AB ¢∥，∴A CE ACB ¢∽V V ，∴:2:3CA AC ¢=，∵正方形A B C D ¢¢¢¢与正方形ABCD 是以AC 的中点O ¢为中心的位似图形，∴AA CC ¢¢=，∴AA CC A C ¢¢¢¢==，∴:1:3A C AC ¢¢=，∴正方形A B C D ¢¢¢¢与正方形ABCD 的相似比是13．故选：B ．14． GEH △ 12##0.5【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断ABC V 的位似图形是GEH △，然后计算OB 与OE 的比得到位似比．【详解】解：以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是GEH △，ABC V 与GEH △的位似比为12OB OE =．故答案为：GEH △，12．【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．15．1:3【分析】由△ABC 三个顶点A （3，6）、B （6，2）、C （2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′（1，2），B ′（2，23），C （23，﹣13），根据位似图形的性质，即可求得△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比．【详解】解：∵△ABC 三个顶点A （3，6）、B （6，2）、C （2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′（1，2），B ′（2，23），C （23，﹣13），∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是：1：3．故答案为1：3．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．16．1:2【分析】△P′Q′R′与△PQR 是位似三角形，即△P′Q′R′∽△PQR ，根据相似比等于P′Q′：PQ ，可求得P′Q′=12PQ ，从而可求得△P′Q′R′与△PQR 的位似比为1：2．【详解】∵△P′Q′R′与△PQR 是位似三角形∴△P′Q′R′∽△PQR∴相似比等于P′Q′:PQ∵P′,Q′,R′分别是OP ，OQ ，OR 的中点∴P′Q′=12PQ ∴△P′Q′R′与△PQR 的位似比为1:2.故答案为1:2.【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是熟练的掌握位似变换相关知识点.17．(1)见解析(2)1()1,A ¢-，(2,0)B ¢，(2,2)C ¢(3)(,22a b --【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）根据位似的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）由位似变换可得，点M 的横纵坐标分别除以2-，即可得点M ¢的横纵坐标．【详解】（1）解：如图，A B C ¢¢¢V 即为所求．（2）解：由图可得，1()1,A ¢-，(2,0)B ¢，(2,2)C ¢．（3）解：由题意可得，点M ¢的坐标为(,22a b --．故答案为：(,)22a b --．18．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据位似图形的定义，延长CA 到点1A ，使得12CA CA =，延长CB 到点1B ，使得12CB CB =，连结11A B ，可证明ABC V 与111A B C △位似，位似比为1:2，所以111A B C △即为所求；（2）在点C 的左侧作水平线段=5BC 个单位长度，连结AC ，在BC 上取点N ，使2BN =个单位长度，过点N 沿格点线作NM AC ∥，交AB 于点M ，根据平行线分线段成比例定理，可得32AM BM =，所以点M 就是所求的点；（3）过点A 作AE AC ^，使得AE AC =，点E 恰为格点，过点B 作BF AE ∥，使得BF AE =，点F 恰为格点，BF 与AC 交于点D ，则AC BF ^，同时可证得90ABC Ð=°，由此即可证明ABD ACB ∽△△，所以点D 就是所求的点．【详解】（1）如图，111A B C △即为所求作的三角形；（2）如图，点M 就是所求的点；（3）如图，点D 就是所求的点．19．(1)作图见解析；(2)31∶【分析】（1）由点1A A 、可得ABC V 与111A B C △的位似比为13∶，再根据位似图形的性质作图即可；（2）根据位似图形的性质即可求解；本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求；（2）解：∵131OA OA =∶∶，∴111A B C △与ABC V 的位似比为31∶，∴111A B C △与ABC V 的周长之比为31∶，故答案为：31∶．20．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用平移性质可画出CD ，利用平行四边形的性质，连接P 和AC 的中点并延长交AD 于点G ，即可得到答案；（2）根据位似图形的性质得到12CE AC =，12CF CP =，取AC 中点E 和AP 上一点G ，连接EG 并确定其中点Q ，取AP 上一点H ，连接HQ 并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形EHGM ，连接EM 并延长交BC 于点F ，根据平行线分线段成比例得到点F 为CP 的中点，则EFC V 即为所求作；（3）首先确定点P 关于AC 的对称点P ¢：取格点B ¢，连接CB ¢，B P ¢，B P ¢交AC 于点K ，连接BK 并延长交CB ¢于点P ¢，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点P P ¢、关于AC 对称；过点P ¢作AB 的垂线，确定点M N 、：取格点C ¢，使得B CC ¢¢V 为等腰三角形，连接C P ¢¢确定点J ，连接CJ 并延长确定点T ，连接P T ¢并延长，交AC 于点M ，交AB 于点N ，连接PM ，即可获得答案．【详解】（1）（2）（3）【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键．21．C【分析】先由:1:2OH HD =可得:1:2OH HD =，再由矩形ABCD 与矩形EFGH 位似可得13EH OH AD OD ==，最后代入计算即可．【详解】解：∵:1:2OH HD =，∴13OH OD =，∵矩形ABCD 与矩形EFGH 位似，∴13EH OH AD OD ==∵2EH =，∴6AD =．故选C ．【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到13EH OH AD OD ==是解答本题的关键．22．B【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：以点O 为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴ABC A B C ¢¢¢∽△△，点C 、点O 、点C ¢三点在同一直线上， :1:2AO OA ¢=，∴:1:3AO AA ¢=，故选：B ．23．B【分析】本题主要考查了中位线的性质和相似三角形的判定与性质，证明AOB A OB ¢¢V V ∽，BOC B OC ¢¢∽V V ，AOC A OC ¢¢∽V V ，得到12AC BC AB A C BC A B ===¢¢¢¢¢，再证明ABC A B C ¢¢¢∽△△，得出相似比为12，即可得到12DE D E ¢¢=，通过中位线的性质得出122DE BC ==，从而得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：Q 11,,22OA OB AOB A OB OA OB ¢¢==Ð=Т¢，AOB A OB ¢¢\∽V V ，12AB OA A B OA \==¢¢¢，Q11,,22OC OB BOC B OC OC OB ¢¢==Ð=Т¢，BOC B OC ¢¢\∽V V ，12BC OB B C OB \==¢¢¢，Q 11,,22OC OA AOC A OC OC OA ¢¢==Ð=Т¢，\AOC A OC ¢¢∽V V ，12AC OC A C OC \==¢¢¢，\12AC BC AB A C BC A B ===¢¢¢¢¢，\ ABC A B C ¢¢¢∽△△，Q DE 是ABC V 的中位线，D E ¢¢是A B C ¢¢¢V 的中位线，\122DE BC ==，12D E B C ¢¢¢¢=，\12DE D E =¢¢，\ 4D E ¢¢=，故选：B ．24【分析】连接AC ，先由勾股定理求得AC =4，再根据矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，得34AF AC =，即可求出AF 长，然后由CF =AC -A 即可求解．【详解】解：如图，连接AC ，∵矩形ABCD ，∴∠B =90°∴AC ==∵矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，∴点F 在AC 上，∴34AF AC =34=，∴AF ，∴CF =AC -AF ，．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．25．D【分析】根据题意求出ABC V 与DEF V 的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．【详解】解：以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ，∴AB DE ∥，∵AD OA =，∴::1:2AB DE OA OD ==，∴ABC V 与DEF V 的位似比为1:2，∴ABC V 与的周长之比为1:2．故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．26．D【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得ABC DEF ∽△△，2AC OC DF OF==，然后根据相似三角形的性质解决问题，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．【详解】解：ABC QV 与DEF V 位似，点O 为位似中心．ABC DEF \V V ∽，2AC OC DF OF\==，ABC \V 的周长:DEF △的周长2:1=，ABC QV 的周长为8DEF \V 的周长为4．故选：D ．27．B【分析】由ABC V 与DEF V 是位似图形，且:1:3OA OD =知ABC V 与DEF V 的位似比是1:3，从而得出ABC V 周长：DEF V 周长1:3=，由此即可解答．【详解】解：∵ABC V 与DEF V 是位似图形，且:1:3OA OD =，ABC \V 与DEF V 的位似比是1:3．则ABC V 周长：DEF V 周长1:3=，∵△ABC 的周长为2，∴DEF V 周长236=´=。
历年数学中考试题分类汇编(相似、位似、投影).doc
历年数学中考试题分类汇编（相似、位似、投影）（2008年安徽省）如图四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分別交AC 、CD 于点P 、Qo⑴请写出图小各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求 BP ： PQ ： QR河北周建杰分类2008年泰州市）13・在比例尺为1 : 2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm,则AB 两地间的实际距离为 ________ m ・（2008年泰州市）23.如图，N4BC 内接于OO,是△MC 的边BC 上的高，4E 是＜30的直径，连接BE,（2008 年泰州市）27.在矩形 ABCD 中，AB=2f AD=^3 .（1）在边CD 上找一点E,使EB 平分ZAEC ，并加以说明；（3分）（2）若P 为BC 边上一点,RBP=2CP,连接EP 并延长交力3的延长线丁① 求证：点3平分线段/F ； （3分）②能否由绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请△ABE hj/\ADC 相似吗？请证明你的结论.第20题图说明理由.（4分）D CF 第27题图（2008年南京市）7・小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起，测得 影子长为1.1m,那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A. 0.5mB. 0.55mC. 0.6mD. 2.2m（1） 求P0的长；（2） 当f 为何值时，直线与 O 相切?以下是河南省高建国分类：（2008年巴屮市）若- = - = -^0,则力+ 3y =2 3 4z以卜•是湖北孔小朋分类：12. （2008福建福州）如图，在中，D, E 分别是/氏/C 的中点，若DE = 5,则EC 的长是 _______________________（2008年南京市）10.如图，已知 O 的半径为1,人B 与O 相切于点力,点C, OD 丄0力,垂足为贝iJcosZ/03的值等于（）A. ODB. OAC. CDD. AB（2008年南京市）27. （8分）如图，已知 O 的半径为6cm,射线PM 经 OP = 10cm,射线PN 与O 相切于点0. 4 B 两点同时从点P 出发，速度沿射线方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线FN 方向运动.设 （第10题）OB 与O 交于过点O , 点力以5cm/s 的 运动时间为/s.以下是河北省柳超的分类（2008年贵阳市）6.如果两个相似三旳形的相似比是1:2,那么它们的面积比是（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:V2D. 2:1（2008年遵义帀）12.东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm,东东的身高是156cm,在同一吋刻爸爸的彩 长是88cm,那么东东的影长是 ________________ cm.以下是江西康海芯的分类：1. （2008年郴州市）如图10,平行四边形ABCD 屮，4B=5, BC=10,边上的高AM=4, E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）.过£作直线的垂线，垂足为F. FE 与DC 的延长线相交于点G,连结DE, DF..（1） 求证：\BEFs\CEG.（2） 当点E 在线段BC 上运动时，ABEF 和ACEG 的周长Z 间有什么关系？并说明你的理由・ （3）设BE=x, 的面积为y,请你求出y 和兀Z 间的函数关系式，并求出当x 为何值时』有最大值，最人值是多少？12.（2008年杭州市）在Rt\ABC 中，ZC 为直角，CD 丄AB 于点D,BC = \ AB = 59写出其中的一对相似三角形是_____ 和 ______ ;并写出它的面积比 _______以下是安徽省马鞍山市成功中学的汪宗兴老师的分类1. （2008年•东莞市）（本题满分7分）如图5,在Z\ABC 中，BOAC, 点D 在BC ±,且DC=AC, ZACB 的平分 线CF 交AD 于F,点E 是AB 的中点，连结EF. （1） 求证：EF 〃BC ・（2） 若四边形BDFE 的而积为6,求AABD 的而积.图102. （2008年•南宁市）如图4,已知AB 丄BD, ED 丄BD, C 是线段BD 的中点，且AC 丄CE, ED=1, BD=4, 那么AB= _________________（08年宁夏回族自治区）如图，在边长均为1的小止方形网格纸中，AOAB 的顶点0、A 、B 均在格点上，且0 是直角地标系的原点，点A 在x 轴上.（1） 以0为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的△ △0A"i 与△OAB 对应线段的比为2： 1,画出△OA 』】。
《位似》习题
《位似》习题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列每组的两个图形不是位似图形的是()A．B．C．D．2．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A．点O B．点P C．点M D．点N第2题图第3题图3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( )A．(2，0) B．(0，2) C．(2，2) D．(2，2)4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．125．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是( )①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．A．①②B．①④C．②③D ．③④二、填空题(每小题5分，共25分)6．下列四幅图中的两个图形属于位似图形的是__________．(将序号填入横线上)B DCAEB①②③④7．如图所示，DC∥AB，OA=2OC，则OCD△与OAB△的位似比是__________．8．如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A′B ′=_________cm．第7题图第8题图第10题图9．在平面直角坐标系中，已知点E(﹣4，2)，F(﹣2，﹣2)，以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是__________．10．如图，将△DE F缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，则下列说法正确的有________ __个．①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比是1：2；④△ABC与△DEF的面积比是1：2．三、解答题(共50分)11．(10分)如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出位似中心．12．(10分)如图，在方格纸上，与是关于点O为位似中心的位似图形，他ABC∆111CBA∆们的顶点都在格点上．(1)画出位似中心O；(2)求出与的位似比；ABC∆111CBA∆CABD E(2)(1)O(4)(5)(3)以O 点为位似中心，再画一个使它与的位似比等于3222C B A∆13．(10分)如图，△ABC 在方格纸中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，C (6，2)，并求出B 点坐标；(2)以原点O 为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的位似图形；A B C '''△(3)计算的面积S ．A B C '''△14．(10分)如图，已知矩形ABCD 与矩形AB C D '''是位似图形，A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，4,2BB DD ''==．求AB 与AD 的长．15．(10分)如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A (2，1)、O (0，0)、B (1，－2)．(1)P (a ，b )是△AOB 的边AB 上一点，△AOB 经平移后点P 的对应点为P 1(a －3，b +1)，请画出上述平移后的△A 1O 1B 1，并写出点A 1的坐标；DB 'C 'D(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标；(3)判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．参考答案1．B【解析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选B．2．B．【解析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．点P在对应点M和点N所在直线上，故选B．3．C【解析】由题意可得OA：OD=1：2，又由点A的坐标为(1，0)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴OA：OD=1：2，∵点A的坐标为(1，0)，即OA=1，∴OD=2，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=2．∴E点的坐标为：(2，2)．故选C．4．D．【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．5．C【解析】如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；④位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，错误．故选C．6．①②③【解析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，①②③三个图形中的两个图形都是位似图形；④中的两个图形是相似三角形，但不符合概念，故不是位似图形．故填①②③．7．1︰2【解析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OC D与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．解：∵DC∥AB∴△OAB∽△OCD∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O∴△OCD与△OAB的位似∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．8．4．【解析】根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm．解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形∴△ABC ∽△A ′B ′C ′∵位似比是1：2∴AB ：A ′B ′=1：2∵AB =2cm ∴A ′B ′=4cm ．9．(﹣2，1)或(2，﹣1)【解析】根据题意得：则点E 的对应点E ′的坐标是(﹣2，1)或(2，﹣1)．10．3【解析】位似图形同时也是相似图形，位似比等于其相似比，等于其对应边的比，对应周长的比，面积比等于位似比的平方．解：由于△ABC 是由△DEF 缩小一半得到，所以△ABC 与△DEF 是位似图形，①正确；位似图形也是相似图形，②正确；将△DEF 缩小为原来的一半，得到△ABC ，所以△ABC 与△DEF 的位似比为1：2，所以其周长比也为1：2，③正确；所以其面积比为1：4，④错误．题中共有3个结论正确．11．答案见解析【解析】根据位似图形的定义及位似中心分析各图，即可得出答案．解:图(1)(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点P ，图(2)中的点A ，图(4)中的点O ．12． 答案见解析【解析】(1)如下图所示；(2)与的位似比是2；ABC ∆111C B A ∆(3)如下图所示．e 【解析】(1)根据A (2，3)，C (6，2)，找出原点，求出点B 的坐标即可；(2)根据位似比为2，得出三角形各顶点坐标即可得出答案；(3)利用所画图形得出三角形的底与高求出即可．解：(1)B 点：(2，1)(2)(3)的面积S =16A B C '''△14． 答案见解析【解析】解:∵矩形ABCD 的周长为24∴12AB AD +=设,12AB x AD x==-则 ∴4,14AB AB BB x AD AD DD x ''''=+=+=+=- ∵矩形ABCD 与矩形AB C D '''是位似图形 ∴AB ADAB AD ='' 即12414x x x x-=+- 解得8x =∴8,4AB AD ==15．(1)作图见解析，A 1(﹣1，2)；(2)作图见解析，A 2(4，2)，P 2 (2a ，2b )；(3)是，Q (﹣6，2)．【解析】(1)如图所示，画出平移后的△A1O1B1，找出A1的坐标即可；(2)如图所示，画出位似图形△A2OB2，求出A2、P2的坐标即可；(3)根据题意得到△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，找出Q坐标即可．解：(1)如图所示，A1(﹣1，2)；(2)如图所示，A2(4，2)，P2 (2a，2b)；(3)如图所示，△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形．此时Q(﹣6，2)．。
九年级数学位似图形
如图，D，E分别AB，AC上的点. （1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？
A D B E C
（2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么 DE∥BC吗？为什么？ 解：（2） DE∥BC.理由是： ∆ADE和 ∆ABC是位似图形， ∠ADE＝∠B ∆ADE∽ ∆ABC DE∥.
1.如果两个相似图形的每组对应点所在的 直线都交于一点,那么这样的两个图形叫 做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这 时两个相似图形的相似比又叫做它们的位 似比. 2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直 线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比 . 3.位似图形中不经过位似中心的对应线段 平行.
下列图形中，每个图中的 四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分 别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形 各对应点的连线有什么特征？
☞ 观察与思考
如果两个相似图形的每组对应点 所在的直线都交于一点,那么这样 的两个图形叫做位似图形, 这个 交点叫做位似中心, 这时两个相 似图形的相似比又叫做它们的位 似比.
在下列每个图形中，位似图形的对 应线段AB与A′B′是否平行？BC与 B′C′，CD与C′D′，AD与A′D′是否 平行？为什么？
不经过位似中 心的对应线段 平行.
A
如图,已知△ABC∽△DEF， 它们对应顶点的连线 AD,BE,CF相交于点O,这 D 两个三角形是不是位似三 角形?
B E
0 F C
观察下图中的五个图，回答下列问题： （1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有 什么位置关系？ 位置不一样，位似中心就不一样. （2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位 似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系？再换一对 相等. 对应点试一试.
最新中考数学相似与位似题型汇总及答案
专题18图形的相似与位似（共50题）一．选择题（共18小题）1．（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQD．四边形NHMR【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=√5，OM＝2√5，OD=√2，OB=√10，OA=√13，=2，得OR=√5，OQ＝2√2，OP＝2√10，OH＝3√5，ON＝2√13，由OMOC点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．【解析】∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=√22+12=√5，OM=√42+22=2√5，OD=√2，OB=√32+12=√10，OA=√32+22=√13，OR=√22+12=√5，OQ＝2√2，OP=√62+22=2√10，OH=√62+32=3√5，ON=√62+42=2√13，∵OMOC =√5√5=2，∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．2．（2020•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．3．（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC 于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（）A．12B．13C．23D．34【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB ＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴BEEG =ABCG=2k3k=23，故选：C．4．（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，AO，③AE=√102④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE•EF＝EQ•DE．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．③正确．设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．④错误，通过计算正方形ABCD的面积为48．⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．【解析】如图，连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∴∠BOC＝90°，∵BE＝EC，∴∠EOB＝∠EOC＝45°，∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，∴PA＝PF，故②正确，设BE＝EC＝a，则AE=√5a，OA＝OC＝OB＝OD=√2a，∴AEAO =√5a√2a=√102，即AE=√102AO，故③正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ=12S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴EQDQ =OECD=12，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故④错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴EFED =PEEC，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，故选：B．5．（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE =12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD 的周长为（）A．21 B．28 C．34 D．42【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE =FDAB=12，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C．6．（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC =BECD，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴1.214=1.5DC，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．7．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】证明△AFD∽△EBA，得到AFBE =ADAE=DFAB，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴AFBE =ADAE=DFAB，∵DF＝6，∴AF=√102−62=8，∴8BE =10AE=63，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．故选：B．8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB ＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（）A．10﹣4√5B．3√5−5 C．5−2√5D．20﹣8√52【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH=1BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH=√5，接着根据线段的“黄金2BC＝2√5−2，则计算出HE＝2√5−4，分割”点的定义得到BE=√5−12然后根据三角形面积公式计算．【解析】作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，BC＝2，∴BH＝CH=12在Rt△ABH中，AH=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，BC＝2（√5−1）＝2√5−2，∴BE=√5−12∴HE＝BE﹣BH＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE＝2HE＝4√5−8×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．∴S△ADE=12故选：A．9．（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．103【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解析】∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC =DEEF，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴56=DE4，∴DE=103，故选：D．10．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．AEEC =EFCDB．EFCD=EGABC．AFFD=BGGCD．CGBC=AFAD【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解析】∵EF∥BC，∴AFFD =AEEC，∵EG∥AB，∴AEEC =BGGC，∴AFFD =BGGC，故选：C．11．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A=45，则BD的长度为（）A．94B．125C．154D．4【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cos A=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．12．（2020•无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ =12，有下列结论：①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31√316；④四边形PCDQ 周长的最小值为3+√372．其中，正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③【分析】①利用图象法判断即可． ②当∠ADQ ＝∠CPB 时，△ADQ ∽△BPC ． ③设AQ ＝x ，则四边形PCDQ 的面积=√34×32−12×x ×√32×12−12×3×（3﹣x −12）×√32=3√38+5√35x ，当x 取最大值时，可得结论．④如图，作点D 关于AB 的对称点D ′，作D ′F ∥PQ ，使得D ′F ＝PQ ，连接CF 交AB 于点P ′，此时四边形P ′CD ′Q ′的周长最小．求出CF 的长即可判断．【解析】①利用图象法可知PC ＞DQ ，故①错误．②∵∠A ＝∠B ＝60°，∴当∠ADQ ＝∠CPB 时，△ADQ ∽△BPC ，故②正确．③设AQ ＝x ，则四边形PCDQ 的面积=√34×32−12×x ×√32×12−12×3×（3﹣x −12）×√32=3√38+5√38x ，∵x 的最大值为3−12=52，∴x =52时，四边形PCDQ 的面积最大，最大值=31√316，故③正确，如图，作点D 关于AB 的对称点D ′，作D ′F ∥PQ ，使得D ′F ＝PQ ，连接CF 交AB 于点P ′，此时四边形P ′CD ′Q ′的周长最小．过点C 作CH ⊥D ′F 交D ′F 的延长线于H ，交AB 于J ． 由题意，DD ′＝2AD •sin60°=√32，HJ =12DD ′=√34，CJ =3√32，FH =32−12−14=34，∴CH ＝CJ +HJ =7√34，∴CF =√FH 2+CH 2=√(34)2+(7√34)2=√392，∴四边形P ′CDQ ′的周长的最小值＝3+√392，故④错误， 故选：D ．13．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，2），B （1，1），C （3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）A．√5B．2 C．4 D．2√5【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．【解析】∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF=√(2−6)2+(4−2)2=2√5．故选：D．14．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似， ∴8：x ＝2：5， 解得x ＝20． 故选：A ．15．（2020•嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（−43，﹣1） C ．（﹣1，−43）D ．（﹣2，﹣1）【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A 点的横纵坐标都乘以−13即可．【解析】∵以点O 为位似中心，位似比为13，而A （4，3），∴A 点的对应点C 的坐标为（−43，﹣1）．故选：B ．16．（2020•遵义）如图，△ABO 的顶点A 在函数y =kx （x ＞0）的图象上，∠ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）A．9 B．12 C．15 D．18【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【解析】∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM =12，ANAO=13，∴S△ANQS△AMP =14，∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ =14，∴S△ANQ＝1，∵1S△AOB =（ANAO）2=19，∴S△AOB＝9，∴k＝2S△AOB＝18，故选：D．17．（2020•铜仁市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE ＝1，∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF =√2，过点F 作AD的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．下列结论：①△ECF 的面积为172；②△AEG 的周长为8；③EG 2＝DG 2+BE 2；其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③【分析】先判断出∠H ＝90°，进而求出AH ＝HF ＝1＝BE ．进而判断出△EHF ≌△CBE （SAS ），得出EF ＝EC ，∠HEF ＝∠BCE ，判断出△CEF 是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC 2＝17，即可得出①正确； 先判断出四边形APFH 是矩形，进而判断出矩形AHFP 是正方形，得出AP ＝PF ＝AH ＝1，同理：四边形ABQP 是矩形，得出PQ ＝4，BQ ＝1，FQ ＝5，CQ ＝3，再判断出△FPG ∽△FQC ，得出FPFQ =PGCQ ，求出PG =35，再根据勾股定理求得EG =175，即△AEG 的周长为8，判断出②正确；先求出DG =125，进而求出DG 2+BE 2=16925，在求出EG228925≠16925，判断出③错误，即可得出结论．【解析】如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝4，∠B ＝∠BAD ＝90°， ∴∠HAD ＝90°， ∵HF ∥AD ，∴∠H ＝90°，∵∠HAF ＝90°﹣∠DAM ＝45°， ∴∠AFH ＝∠HAF ． ∵AF =√2， ∴AH ＝HF ＝1＝BE ．∴EH ＝AE +AH ＝AB ﹣BE +AH ＝4＝BC ， ∴△EHF ≌△CBE （SAS ）， ∴EF ＝EC ，∠HEF ＝∠BCE ， ∵∠BCE +∠BEC ＝90°， ∴HEF +∠BEC ＝90°， ∴∠FEC ＝90°，∴△CEF 是等腰直角三角形， 在Rt △CBE 中，BE ＝1，BC ＝4， ∴EC 2＝BE 2+BC 2＝17， ∴S △ECF =12EF •EC =12EC 2=172，故①正确；过点F 作FQ ⊥BC 于Q ，交AD 于P ， ∴∠APF ＝90°＝∠H ＝∠HAD ， ∴四边形APFH 是矩形， ∵AH ＝HF ，∴矩形AHFP 是正方形， ∴AP ＝PF ＝AH ＝1，同理：四边形ABQP 是矩形，∴PQ ＝AB ＝4，BQ ＝AP ＝1，FQ ＝FP +PQ ＝5，CQ ＝BC ﹣BQ ＝3，∵AD ∥BC ， ∴△FPG ∽△FQC ， ∴FP FQ =PGCQ ，∴15=PG 3，∴PG =35， ∴AG ＝AP +PG =85，在Rt △EAG 中，根据勾股定理得，EG =√AG 2+AE 2=175，∴△AEG 的周长为AG +EG +AE =85+175+3＝8，故②正确；∵AD ＝4， ∴DG ＝AD ﹣AG =125，∴DG 2+BE 2=14425+1=16925，∵EG 2＝（175）2=28925≠16925，∴EG 2≠DG 2+BE 2，故③错误， ∴正确的有①②， 故选：C ．18．（2020•温州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A．14 B．15 C．8√3D．6√5【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出PCCQ =CECH=EPHQ=12，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC 是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°，∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝90°∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ，∵∠ECP ＝∠QCH ， ∴△ECP ∽△HCQ ， ∴PC CQ=CE CH=EP HQ=12，∵PQ ＝15， ∴PC ＝5，CQ ＝10， ∵EC ：CH ＝1：2，∴AC ：BC ＝1：2，设AC ＝a ，BC ＝2a ， ∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ， ∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 是平行四边形， ∴AB ＝CQ ＝10， ∵AC 2+BC 2＝AB 2， ∴5a 2＝100，∴a ＝2√5（负根已经舍弃）， ∴AC ＝2√5，BC ＝4√5， ∵12•AC •BC =12•AB •CJ ，∴CJ =2√5×4√510=4，∵JR ＝AF ＝AB ＝10， ∴CR ＝CJ +JR ＝14， 故选：A ．二．填空题（共18小题）19．（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是（43，2）．【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（23×2，23×3），即A1（43，2）．故答案为：（43，2）．20．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=√2ME；④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF=√2：1；⑥CF•DM＝BM•DE，正确的有①②③④⑤⑥．（只填序号）【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF＝CE，可判断①；再证明△BFM ≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF=√2EM，可判断③，同时得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN=√2，DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE＝EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE＝CE，则有EFBF =EFCE=EFDE=√2EMDE=√2，从而判断⑤；最后证明△CDM∽ADE，得到CMAE =DMDE，结合BM＝CM，AE＝CF，可判断⑥．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，故①正确；由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF＝CE＝EF，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CM=12AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF=√2EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，∴△DFM≌△NEM（ASA），∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DN=√2DM，而∠DEA＝90°，∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，∵∠DEM＝45°，∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△ACE（ASA），∴DE＝CE，∵△MEF为等腰直角三角形，∴EF=√2EM，∴EFBF =EFCE=EFDE=√2EMDE=√2，故⑤正确；∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，∴△CDM∽ADE，∴CDAD =CMAE=DMDE，∵BM＝CM，AE＝CF，∴BMCF =DMDE，∴CF•DM＝BM•DE，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．21．（2020•长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ +PEPM= 1 ．（2）若PN2＝PM•MN，则MQNQ =√5−12．【分析】（1）证明△PEN∽△QFN，得PEPN =QFQN①，证明△NPQ∽△PMQ，得PNMP =NQPQ②，再①×②得PEPM=QFPQ，再变形比例式便可求得结果；（2）证明△NPQ∽△NMP，得PN2＝NQ•MN，结合已知条件得PM＝NQ，再根据三角函数得MQNQ =PMMN，进而得MQ与NQ的方程，再解一元二次方程得答案．【解析】（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴PEQF =PNQN，即PEPN=QFQN①，∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，∴△NPQ∽△PMQ，∴PNMP =NQPQ②，∴①×②得PEPM =QFPQ，∵QF＝PQ﹣PF，∴PE PM =QF PQ =1−PF PQ，∴PF PQ+PE PM=1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPQ ， ∴△NPQ ∽△NMP ， ∴PN MN=QN PN，∴PN 2＝QN •MN ， ∵PN 2＝PM •MN ， ∴PM ＝QN ， ∴MQ NQ=MQ PM，∵tan ∠M =MQ PM=PM MN，∴MQ NQ =PMMN ，∴MQ NQ=NQMQ+NQ，∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即1=MQ 2NQ 2+MQ NQ，设MQ NQ=x ，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x =√5−12，或x =−√5+12＜0（舍去）， ∴MQ NQ=√5−12， 故答案为：√5−12． 22．（2020•湘潭）若y x=37，则x−y x= 47．【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可． 【解析】由yx=37可设y ＝3k ，x ＝7k ，k 是非零整数， 则x−y x=7k−3k 7k=4k 7k=47．故答案为：4．723．（2020•攀枝花）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；②DG=8；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．5其中正确的结论有①④．（请填上所有正确结论的序号）【分析】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF＝90°，可判断①，再利用三角形等积法AD×DF÷AF 可算出DG，可判断②；再证明∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定△ABG～△DHF，可判断④；通过AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB不相等，则∠AGB≠∠DHF，可判断③．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF＝EC＝2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠EDC+∠AFD＝90°，∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；∵AD＝4，DF=12CD＝2，∴AF=√42+22=2√5，∴DG＝AD×DF÷AF=4√55，故②错误；∵H为AF中点，∴HD＝HF=12AF=√5，∴∠HDF＝∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，∵AG=√AD2−DG2=8√55，AB＝4，∴ABDH =ABHF=4√55=AGDF，∴△ABG～△DHF，故④正确；∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；故答案为：①④．24．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AEAC的值为 2 ．【分析】由平行线得三角形相似，得出AB•DE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果．【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC=AEAC，即4AB=DE4=AEAC，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴AEAC =DEBC=84=2，故答案为：2．25．（2020•临沂）如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF ∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝ 1 ．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，DH是△AEF的中位线，易证△BEF∽△BAC，得EFAC =BEAB，解得EF＝2，则DH=12EF＝1．【解析】∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线， ∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ， ∴EF AC=BE AB，即EF 6=BE 3BE，解得：EF ＝2， ∴DH =12EF =12×2＝1，故答案为：1．26．（2020•咸宁）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ，有下列结论： ①△ABE ∽△ECG ； ②AE ＝EF ； ③∠DAF ＝∠CFE ；④△CEF 的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是 ①②③ ．（把正确结论的序号都填上）【分析】①由∠AEB +∠CEG ＝∠AEB +∠BAE 得∠BAE ＝∠CEG ，再结合两直角相等得△ABE ∽△ECG ；②在BA 上截取BM ＝BE ，易得△BEM 为等腰直角三角形，则∠BME ＝45°，所以∠AME ＝135°，再利用等角的余角相等得到∠BAE ＝∠FEC ，于是根据“ASA”可判断△AME≌△ECF，则根据全等三角形的性质可对②进行判断；③由∠MAE+∠DAF＝45°，∠CEF+∠CFE＝45°，可得出∠DAF与∠CFE 的大小关系，便可对③判断；④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝4﹣x，利用三角形面积公式得•x•（2﹣x），则根据二次函数的性质可得S△AME的最大值，到S△AME=12便可对④进行判断．【解析】①∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ECG＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠CEG，∴△ABE∽△ECG，故①正确；②在BA上截取BM＝BE，如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，BA＝BC，∴△BEM为等腰直角三角形，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵BA ﹣BM ＝BC ﹣BE ， ∴AM ＝CE ，∵CF 为正方形外角平分线， ∴∠DCF ＝45°， ∴∠ECF ＝135°， ∵∠AEF ＝90°， ∴∠AEB +∠FEC ＝90°， 而∠AEB +∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEC ， 在△AME 和△ECF 中{∠MAE =∠CEFAM =EC ∠AME =∠ECF ， ∴△AME ≌△ECF ， ∴AE ＝EF ， 故②正确；③∵AE ＝EF ，∠AEF ＝90°， ∴∠EAF ＝45°， ∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∵∠BAE +∠CFE ＝∠CEF +∠CFE ＝45°， ∴∠DAF ＝∠CFE ， 故③正确；④设BE ＝x ，则BM ＝x ，AM ＝AB ﹣BM ＝4﹣x ，S△ECF＝S△AME=12•x•（2﹣x）=−12（x﹣1）2+12，当x＝1时，S△ECF有最大值12，故④错误．故答案为：①②③．27．（2020•河南）如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 1 ．【分析】设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF=√(2√2)2+(√2)2=√10，点G，H分别是EC，FD的中点，根据射影定理即可得到结论．【解析】设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE +∠CFD ＝90°， ∴∠COF ＝90°， ∴DF ⊥CE ，∴CE ＝DF =√(2√2)2+(√2)2=√10， ∵点G ，H 分别是EC ，FD 的中点， ∴CG ＝FH =√102， ∵∠DCF ＝90°，CO ⊥DF ， ∴CF 2＝OF •DF ， ∴OF =CF 2DF =√2)2√10=√105， ∴OH =3√1010，OD =4√105，∵OC 2＝OF •OD ， ∴OC =√√105×4√105=2√105， ∴OG ＝CG ﹣OC =√102−2√105=√1010， ∴HG =√OG 2+OH 2=√110+910=1，故答案为：1．28．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC 、ED 分别交于点M ，N ．已知AB ＝4，BC ＝6，则MN 的长为 43 ．【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ＝BC，AB＝CW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．【解析】延长CE、DA交于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，∵F为AD中点，∴AF＝DF＝3，在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF=√AB2+AF2=√42+32=5，∵AD∥BC，∴∠Q＝∠ECB，∵E为AB的中点，AB＝4，∴AE＝BE＝2，在△QAE和△CBE中{∠QEA =∠BEC∠Q =∠ECB AE =BE∴△QAE ≌△CBE （AAS ）， ∴AQ ＝BC ＝6， 即QF ＝6+3＝9， ∵AD ∥BC ， ∴△QMF ∽△CMB ， ∴FM BM=QF BC=96，∵BF ＝5， ∴BM ＝2，FM ＝3，延长BF 和CD ，交于W ，如图2，同理AB ＝DM ＝4，CW ＝8，BF ＝FM ＝5， ∵AB ∥CD ， ∴△BNE ∽△WND ， ∴BNNF =BEDW，∴BN 5−BN+5=24，解得：BN =103，∴MN ＝BN ﹣BM =103−2=43，故答案为：43．29．（2020•乐山）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC= 35．【分析】连接CE ，解直角三角形，用AD 表示AB ，根据直角三角形的性质，用AD 表示CE ，再证明CE ∥AB 得△ABF ∽△CEF ，由相似三角形的性质得AFCF，进而得AFAC便可．【解析】连接CE ，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，E 是AD 的中点， ∴AC =√32AD ，CE =12AD ＝AE ， ∴∠ACE ＝∠CAE ＝30°∵∠BAC ＝30°，∠ABC ＝90°， ∴AB =√32AC =34AD ，∠BAC ＝∠ACE ， ∴AB ∥CE ， ∴△ABF ∽△CEF ， ∴AF CF =AB CE =34AD 12AD =32，∴AF AC=35，故答案为3．530．（2020•绥化）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则于12其对应点A1的坐标是（4，8）或（﹣4，﹣8）．【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或﹣2得到其对应点A1的坐标．【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于1，并且是关于原点O的位2似图形，而点A的坐标为（2，4），∴点A对应点A1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），即（4，8）或（﹣4，﹣8）．故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．31．（2020•德州）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析．式为y=−8x【分析】直接利用位似图形的性质得出A′坐标，进而求出函数解析式．【解析】∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为：（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为：y =−8x．故答案为：y =−8x．32．（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为 83 ．【分析】过点D 作DF ∥AE ，根据平行线分线段成比例定理可得则DF AE=BD BA=23，根据已知EC AE=13，可得DO ＝2OC ，C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝8，即可求出此时△ABO 的最大面积． 【解析】如图，过点D 作DF ∥AE ，则DF AE=BD BA =23，∵EC AE=13，∴DF ＝2EC ， ∴DO ＝2OC ， ∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ，∴S△ABO=23S△ABC，∵∠ACB＝90°，∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：12×4×2＝4，此时△ABO的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．33．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7 米．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC＝7（米），答：井深AC为7米．34．（2020•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC=√2，E为CD的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则PQ ＝43．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠BAD ＝90°，根据线段中点的定义得到DE =12CD =12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠BAD ＝90°， ∵E 为CD 的中点， ∴DE =12CD =12AB ，∴△ABP ∽△EDP ， ∴AB DE =PBPD ，∴21=PBPD ，∴PBBD=23，∵PQ ⊥BC ， ∴PQ ∥CD ， ∴△BPQ ∽△DBC ， ∴PQ CD=BP BD=23，∵CD ＝2， ∴PQ =43，故答案为：4．335．（2020•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是5√2．【分析】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，从而其斜边长可得．【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB=√5，AC：BC＝1：2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6√2，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=√10，EF＝2√10，DF＝5√2的三角形，∵√101=2√102=√2√5=√10，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF的面积为：√10×2√10÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5√2．故答案为：5√2．36．（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为15√2米，BC为20√2米．【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝15√2（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵AE⊥l，BF⊥l，∵∠ANE＝45°，∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN，∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），∴AN＝25√2，BN＝10√2，∴AB＝AN﹣BN＝15√2（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，∴AE∥CH，∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，∴△AEF∽△CHM，∴CHHM =AEEF=2515=53，∴设MH＝3x，CH＝5x，∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，∴∠PAB＝∠CBQ，∴△APB∽△BQC，∴APBQ =PBCQ，∴153x+2=155x−10，∴x＝6，∴BQ＝CQ＝20，∴BC＝20√2，故答案为：15√2，20√2．三．解答题（共14小题）37．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O 的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．【分析】（1）连接OD，由切线性质得∠ODF＝90°，进而证明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90°，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．【解析】（1）连接OD，如图1，∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，∴∠ODF＝90°，∴∠ADO+∠BDF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠BDF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠OAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠BDF，∴BF＝DF；（2）连接OF，OD，如图2，设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，∴r2+22＝（4﹣r）2+12，∴r=138．故圆的半径为138．38．（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE 翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得ABCF =BFEC，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ=BFAB +EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=√AF2−AB2=√16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴ABCF =BFEC，∴2√32=2x，∴x=2√33，∴EC=2√33．（3）∵△ABF∽△FCE，∴AFEF =ABCF，∴tanα+tanβ=BFAB +EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=√b2−a2，CF=√x2−(a−x)2=√2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC， ∴√x 2−(a−x)2=√b 2−a 2a−x，∴a 2﹣ax =√b 2−a 2•√2ax −a 2， ∴14b 2=√b 2−a 2•√a 2−12b 2，整理得，16a 4﹣24a 2b 2+9b 4＝0， ∴（4a 2﹣3b 2）2＝0， ∴ba =2√33，∴tan α+tan β=BC AB=2√33．39．（2020•怀化）如图，在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，延长AB 到点D ，使CD ＝CA ，且∠D ＝30°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）分别过A 、B 两点作直线CD 的垂线，垂足分别为E 、F 两点，过C 点作AB 的垂线，垂足为点G ．求证：CG 2＝AE •BF ．【分析】（1）连接OC ，∠CAD ＝∠D ＝30°，由OC ＝OA ，进而得到∠OCA ＝∠CAD ＝30°，由三角形外角定理得到∠COD ＝∠A +∠OCA ＝60°，。
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位似图像
1、（济宁）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm．
解答：解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC∴=
设屏幕上的小树高是x，则=6/ x 解得x=18cm．故答案为：18．
2、（孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，
3、（泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′
是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为（5
3
，﹣4）．
∴
=∴=∴=∵=4、（青岛）如图，△ABO 缩小后变为，其中A 、B 的对应点分别为，均
在图中格点上，若线段AB 上有一点),(n m P ，则点P 在''B A 上的对
应点'P 的坐标为（ ）
A 、),2(n m
B 、),(n m
C 、)2,(n m
D 、)2
,2(n m 答案：D
解析：因为AB ＝''A B =''12
A B AB =，所以点P （m ，n ）经过缩小变换后点'P 的坐标为
5、（南宁）如图，△ABC 三个定点坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣1，1），C （﹣3，2）．
（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出S △A1B1C1：S △A2B2C2的值．
，且相似比为）．
（宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知
4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．。