高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定全册精品教案 新人教A版必修2

第二课时平面与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（3）二面角的求法与画法棱为AB 、面分别
为α、β的二面角记作二面角
AB αβ--. 有时为了方便，
也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P 、Q ，将这个二面角记作二面角P – AB –
Q .如果棱记作l ，那么这个二面
角记作二面角l αβ--或P –
l – Q .
2．二面角的平面角
如图（1）在二面角c αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β
内分别
作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
（2）二面角的平面角的大小与O 点位置无关.
（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.
二面角的棱有什么关系？
生：过二面角棱上一点O 在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角
与二面角大小相等.
师：改变O 的位置，这个角的大小变不变.
生：由等角定理知不变.
通过实验，培养学生学习兴趣和探 索意识，加深对知识的理解与掌握.
探索新知
二、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.
一般地，两个平面相交，如
学生自学，教师点拔一
下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那
培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察
果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 么经过木柱的门无论转到什
么位置都有门面垂直于地面，
即αβ
⊥，请同学给出面面垂
直的判定定理.
能力，归纳能
力，语言表达
能力.
典例分析
例3 如图，AB是⊙O的直
径，PA
垂直
于⊙O
所在
的平面，C是圆周上不同于A、B
的任意一点，求证：平面PAC⊥
平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为
α，由已知条件，
PA⊥α，BC在α内，
所以PA⊥BC.
因为点C是圆周上不同于
A、B的任意一点，AB是⊙O的
直径，
所以，∠BCA是直角，即BC
⊥AC.
又因为PA与AC是△PAC所
在平面内的两条直线.
所以BC⊥平面PAC.
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC.
师：平面与平面垂直的判
定方法有面面垂直的定义和
面面垂直的判定定理，而本题
二面角A –PC–B的平面
角不好找，故应选择判定定
理，而应用判定定理正面面垂
直的关键是在其中一个平面
内找(作)一条直线与另一
平面垂直，在已有图形中BC
符合解题要求，为什么？
学生分析，教师板书
巩固所
学知识，培养
学生观察能
力，空间想象
能力，书写表
达能力.
随堂练习
1．如图，正方形SG1G2G3中，
E，F分别是G1G2，G2G3的中点，
D是EF的中
点，现在沿
SE，SF及EF
把这个正方
形折成一个
四面体，使G1，G2，G3三点重合，
重合后的点记为G，则在四面体
S –EFG中必有（ A ）
A．SG⊥EFG所在平面
B．SD⊥EFG所在平面
C．GF⊥SEF所在平面
D．GD⊥SEF所在平面
2．如图，已知AB⊥平面
BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平
面互相垂直，为什么？
答：面ABC⊥面BCD
面ABD⊥面BCD
面ACD⊥面ABC.
学生独立完成
巩固知识
提升能力
归纳总结
1．二面角的定义画法与记
法.
2．二面角的平面角定义与
范围.
3．面面垂直的判定方法.
4．转化思想.
学生总结、教师补充完善
回顾、反思、
归纳知训提
高自我整合
知识的能力
课后作业2.3 第二课时习案学生独立完成固化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，平面角为锐角的二面角EF
αβ
--，A∈EF，AGα
⊂，
∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EF αβ--的平面角.
【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与β所成的角(过G 到
β
的垂线段GH ，连AH ，∠GAH = 30°)，二
面角EF αβ--的平面角，注意在作平面角是要
试图与GAH 建立联系，抓住GH ⊥β这一特殊条件，作HB ⊥EF ，连接GB ，利用相关关系即可解决问题.
【解析】作GH ⊥β于H ，作HB ⊥EF 于B ，连结GB ， 则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则21,22
GB a GH a =
=，2
sin 2GH GBH GB ∠==.
所以∠GBH = 45°
反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.
例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面
ABCD ，E 是S A 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ．
【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论 “平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ． 又EF ⊂平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面ABCD ．
B
S C
【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为
a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．
【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP ,垂足为E ，连接EC ，则△ADE ≌△CDE ．
∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，则EO ⊥AC ．
∴
2
2
a OA AE AD a =<<=， 在△AEC 中，
=2
(2)(2)
0AE OA AE OA AE +
-<，
∴∠AEC ＞ 90°．
所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．
【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．。