数学苏教选修优化训练：组合 含解析

1.3 组合
五分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )
①由1，2，3，4构成的2个元素集合 ②五个队进行单循环比赛的分组情况 ③由1，2，3组成两位数的不同方法数 ④由1，2，3组成无重复数字的两位数
A.①③
B.②④
C.①②
D.①②④ 答案:C
解析：由组合的定义可得①②是组合问题.
2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机至少各有1台，则不同的取法共有…( )
A.140种
B.84种
C.70种
D.35种 答案:C
解析：甲型与乙型电视机至少各有1台，共有3
53439C C C --=70.
3.男女学生共有8人，从男生中选2人，且从女生中选1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A.2人或3人
B.3人或4人
C.3人
D.4人 答案:A
解析：设女生x 人，则男生有(8-x)人, ∴2
8x C -·1
x C =30,解得x=2或3.
4.计算2
10242322C C C C ++++ =______________.
答案:165
解析：∵3
322C C =,
∴原式=2
1025242333C C C C C +++++ =21026252434C C C C C +++++
=…
=210310C C +
=3
11C
=165.
十分钟训练（强化类训练，可用于课中）
1.17
202514C C C +++ 的值为（ ）
A.1721C -1
B.1721C
C.1821C -1
D.18
21C 答案:A
解析：观察得各项为3
-n n
C 形式,由3
-n n
C =3
n
C ,得原式
=17
214214432035344432035341C C C C C C C C C C =-=-++++=+++ -1.
2.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为( )
A.20
B.30
C.60
D.120 答案:A
解析：分两步:①任取2对球与盒子号相同有2
5C 种;②对剩下3球投放有2种.故共有2
5C ·2=20种投放方法.
3.从甲单位的3人和乙单位的2人中选出3人参加一项联合调查工作,要求这3人中两个单位的人都要有,则不同的选法种数为( )
A.9
B.10
C.18
D.20 答案:A
解析：由题意,甲单位选1人乙单位选2人或甲单位选2人乙单位选1人,即1
2232213C C C C +=9.
4.8人坐成一排，现要调换3人的位置，其余5人位置不动，共有___________种换法. 答案:112
解析：先定出哪3人的位置调换，再定出这3人位置调换的方法，有3
8C ·2=112(种). 5.已知1
-r n C =r
n C =3
51
+r n C ,则n=_________________,r=___________________. 答案:7 4
解析：r+r-1=n ⇒2r-1=n,
)!1()!1(!
35)!(!!--+=-r n r n r n n n .化简求得⎩⎨⎧==.
7,4n r
6.马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中
三只路灯熄掉，但不能同时熄掉相邻的两只或三只路灯，问满足条件的熄灯方法有多少种？ 解：问题等价于七只亮着的路灯产生的8个空位中放入三只熄掉的路灯，故有3
8C =56(种). 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.同时满足下列两个条件的非空集合S ，(1)S ⊆｛1，2，3，4，5｝;(2)若a ∈S,则6-a ∈S ，那么S 的个数是…( )
A.4
B.5
C.7
D.31 答案:C
解析：由条件知，1、5必须同时选或不选，2、4必须同时选或不选，故只需研究｛1，2，3｝
有几个非空子集即可，则3
32313C C C ++=7.
2.已知直线ax+by-1=0(a,b 不全为0)与圆x 2+y 2=50有公共点,且公共点的横,纵坐标均为整数,那么这样的直线共有（ ）
A.66条
B.72条
C.74条
D.78条 答案:B
解析：在圆周上横坐标和纵坐标都为整数的点有(±1,±7),(±5,±5),(±7,±1)共12个点,任意两个点的连线共2
12C =66条,其中有6条过原点,不满足题意;另外过12个点各有一条切线,所以共
有2
12C -6+12=72.故选B.
3.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法共有( )
A.1 260种
B.2 025种
C.2 520种
D.5 040种 答案:C
解析：分三步:第一步,从10人中选派2人承担任务，甲有2
10C 种选派方法;第二步,从余下的8人中选派1人承担乙，有1
8C 种选派方法;第三步,再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有
17C 种选法,根据分步计数原理知选派方法种数共有210C ·18C ·17C =2 520种.
4.将20个笔记本分给15个学生,每个学生至少分得一个笔记本,则有不同分法的种数为( ) A.15
20C B.16
20C C.14
19C D.15
19C
答案:C 解析：将20个笔记本在桌子上一本接一本地排成一行,然后用14块小木板插入19个间隙中,就把笔记本分成了15份,故有14
19C 种分配方法.
5.某文艺团体下基层进行宣传演出,原准备的节目表有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,在它们之间再插入2个小品节目,并且这2个小品节目在节目表中既不排头,也不排尾,那么不同的插入方法有( )
A.20种
B.30种
C.42种
D.56种 答案:B
解析：由题意知,将第一个小品节目插入节目单中,有1
5C 种插法.
将第二个小品节目插入节目单中,有1
6C 种插法,则共有161
5C C =30种安排方法.
6.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位,百位上的数字之积作为十位,个位上的数字(如2 816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0,千位,百位上都得取0,这样设计出来的密码共有( )
A.90个
B.99个
C.100个
D.112个 答案:C
解析：千位上数字的取法1
10C ,百位上数字的取法1
10C ,共有设计方案1
10C ·1
10C =100种,也即有100个密码.
7.空间有10个点,其中有5个点共面(除此之外再无4点共面),以每4个点为顶点作一四面体,一共可作____________个四面体.(用数字作答) 答案:205
解析：4
10C -4
5C =205个.
8.一个口袋中有10个小球,其编号为1,2,3,…,10,从中任取5个球. (1)至少有一个奇数号球的取法有多少种?
(2)至少奇数号球和偶数号球各2个的取法有多少种?
(3)取出的球的最大号数与最小号数之差为7,这样的取法有多少种?
解:(1)间接法:10个球任取5个球的取法有5
10C 种方法,其中没有一个奇数号球的取法为5
5C 种方法,所以至少有一个奇数号球的取法为5
10C -5
5C =5
10C -1种.
(2)分两类:①2个奇数号球,3个偶数号球的取法有2
5C ·3
5C 种;②3个奇数号球,2个偶数号球的取法有3
5C ·2
5C 种,所以取法种数为2
5C ·3
5C +3
5C ·2
5C =200.
(3)满足要求的5个球中最大号数与最小号数共有3种情况:1与8,2与9,3与10.每种情况的取法均为2
6C 种,所以取法种数均为33
6C =60.
9.由正方体的8个顶点和中心可组成多少个四面体？
解：在正方体的顶点和中心共9个点中，其中仅四点共面的情况共6种，5点共面情况共有6种，所以组成四面体的个数为4
9C -6-64
5C =90.
10.在一次棋类比赛中,要进行单循环赛,其中有3人,他们各比赛了两场后,因故退出了比赛,因此这次比赛共进行了50场,问开始参赛的人有多少?
解:设3名选手之间比赛了x 场,那么3名选手与其余选手比赛了6-2x 场,其余的(n-3)名选手之间每两名选手恰好比赛1场,共比赛2
3-n C 场. 因此比赛总场数为2
3-n C +x+6-2x. 则2
3-n C +x+6-2x=50, 即
2
1
(n-3)(n-4)+6-x=50. 得(n-3)(n-4)=88+2x,x ∈N ,且0≤x≤3. 当x=0时,得n 2-7n-76=0,无正整数解; 当x=1时,得n 2-7n-78=0,解得n=13; 当x=2或3时,方程无正整数解.。