人教版高中数学选修二第一单元《数列》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知数列{}n a 中，12a =，1
1
1(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（ ） A ．1-
B ．12
-
C ．
12
D ．2
2．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36
B ．48
C ．56
D ．72
3．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920212S F =+ B ．201920211S F =- C ．201920202S F =+
D ．201920201S F =-
4．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22
2
12n a a a ++
+=（ ）
A ．()2
21n -
B ．
()1213
n
- C ．41n -
D ．
()1413
n
- 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．11
1
143
3⨯- B ．12
1143
3⨯- C ．10
1243
3
⨯+
D ．11
1243
3
⨯+
6．定义：在数列{}n a 中，若满足
21
1n n n n
a a d a a +++-=（n N +∈，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===则2015
2013
a a =（ ） A ．2420151⨯- B ．2420141⨯- C ．2420131⨯-
D ．242013⨯
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 B ．1
3n
S n = C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
8．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则
8
1
i
i a
==
∑
（ ） A ．376
B ．382
C ．749
D ．766
9．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9
B ．10
C ．12
D ．13
10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前
n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
11．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数
D ．
123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 12．已知等比数列{}141
,1,8
n a a a ==，且12231n n a a a a a a k ++++<，则k 的取值范围
是（ ） A ．12,23
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题
13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.
14．已知数列{}n a 的前n 项和2
32n S n n =-，则n a ＝________.
15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()1
12n
n n n
S a =-+
，则129S S S +++=________.
16．数列{}n a 的前n 项和(
)*
23n n S a n =-∈N
，则4
a
=__________.
17．已知数列{}n a 的前n 项和2
231n S n n =-+，则n a =__________．
18．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()2
2
1110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项
公式n a =______.
19．已知函数()1e
e
x f x x
=+（e 是自然对数的底数），设
(),
2020,1,2020,
4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫
> ⎪⎪-⎝
⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______.
20．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()(
)*
1n n n n a a a n N
+-=∈，且3
a
π=，则
4tan S 等于______.
三、解答题
21．等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，
2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列.
（1）求数列n a 的通项公式；
（2）记m b 为数列{}n a 在区间()(0,]m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项的和. 22．已知{}n a 是首项为19，公差为2-的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和
n T .
23．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意*n ∈N ，都有
33
32
12n n a a a S ++
+=.
（1）求证：数列{}n a 为等差数列；
（2）若()2
(1)2n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
24．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 25．已知等差数列{}n a 满足:2414,a a +=613a =．{}n a 的前n 项和为n S （1）求n a 及n S （2）令2
11n n b a =
- (*n N ∈)，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:11
84
n T ≤<
26．数列{}n a 的前n 项的和为n S ，11a =，()11
12
n n S a +=-. （1）证明数列{}n a 是等比数列，并求通项n a ； （2）若等差数列{}n b 的各项均为正数，且4
1
24i i b ==∑，1
1a
b +，22a b +，33a b +成等比
数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合
12a =求解出结果.
【详解】
因为12a =，所以234123
1111
1,11,12,......2a a a a a a =-
==-=-=-= 所以
32
1
11111
1111111111111
1n n n
n n n n n
a a a a a a a a +++-=-
=-
=-
=-
=-=--
-
---， 所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212
a a a ⨯===， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；
（2）证明(
)*
n A n a a A N
+=∈，则可说明数列{}n
a 是周期为A 的数列.
2．A
解析：A 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出
结果. 【详解】
因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()199998
3622
a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.
3．B
解析：B 【分析】
利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++
+++，可得
21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.
【详解】
由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++
1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=
123211n n n n F F F F F F ---=++++
+++，
所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出
21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.
4．D
解析：D 【分析】
由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}
2
n a 也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；
当2n ≥时，(
)(
)1
1122
2n
n n n n n a S S a a ---=-=---=.
由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n
a ，所以，022a -=，解得1a =，
()1
2
n n a n N -*
∴=∈，则()
2
21
1
24
n n n
a --==，21
21444
n n n n a a +-∴==，且211a =，
所以，数列{}
2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2221
2
1441
143
n n n
a a a --+++==
-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且
1k ≠，0k ≠）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1
b
m k =
-，可得出数列1n b a k ⎧
⎫+⎨⎬-⎩⎭
是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于()1
12,n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b
-=+的式子；
⑦1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式
的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.
5．D
解析：D 【分析】
当2n ≥时，1n n a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得
22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,
,2，结合等比数列的求
和公式，即可求解. 【详解】
由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===， 当2n ≥时，1n
n a S -=，又由1n n a S +=，
两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即
1
2n n
a a +=， 则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即2
2,2n n a n -=≥，
又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +
<∈，所以“和谐项”共有12项，
则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，
可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为
111110
(112
44)11416413
431-++++
+=+=⨯+-.
故选：D. 【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
6．C
解析：C 【分析】
利用定义，可得1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而121n n a n a +=-，利用
201520152014
201320142013
a a a a a a =⋅，可得结论． 【详解】
121a a ==，33a =，
32
21
2a a a a ∴
-=， 1n n a a +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，2为公差的等差数列，
1
21n n
a n a +∴=-， ()()201520152014
201320142013
22014122013140274025a a a a a a ∴
=⋅=⨯-⨯-=⨯ 22(40261)(40261)40261420131=+-=-=⨯-．
故选：C. 【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
7．C
解析：C 【分析】
由1
(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】
2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，A 正确； 1113S a ==，1
13S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；
1313n n S +=
，数列113n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错．
8．C
解析：C 【分析】
利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解8
1
i i a =∑即可
【详解】
由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q
，
∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+
-=2
3632
n -++
+⨯11332323
12
n n ---⨯==⨯--，
1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，
8
7
128
1
8123(122)2831612
i i
a
a a a =-=++=⨯++
+-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=
故选：C 【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题
9．A
解析：A 【分析】
设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项． 【详解】
设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是
()11002
n n +≤，且()
110012
n n n +-
<+，解得13n =，剩余的根数为1314
10092
⨯-
=． 故选：A. 【点睛】 本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.
10．B
解析：B 【分析】
根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由
21n m T +>恒成立求解.
【详解】
因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，
所以11554
5352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
，
解得132
a d =⎧⎨
=⎩，
故32(1)21n a n n =+-=+，
所以
111111
()·(21)(23)22123
n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111111
()()23557212323236
n T n n n =
-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，
所以121
6+m ，解得5
12
≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)
22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 12
1111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．D
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，418
a =，可得3
18q =，解得q ．可得n a ．可得
11
24n n n
a a +=⨯
．利用等比数列的求和公式及其数列的单调性即可得出． 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，418
a =
， 31
8q ∴=
，解得12
q =． 1111
1()()22
n n n a --=⨯=．
12111111
()()()22224
n n n n n n a a --+∴===⨯．
12231211
(1)
111212442()2(1)144434314n n n n n
a a a a a a +-∴++⋯+=++⋯⋯+=⨯=-<-． 12231n n a a a a a a k +++⋯+<，
23
k
． k ∴的取值范围是：2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；
解析：1347 【分析】
当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到
31,22
31,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案.
解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=
当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠
113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为
首项，3为公差的等差数列；
所以31,22
31,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨
⎪-⎪⎩为奇数为偶数 当k 为奇数时，2020134731
22k a k k ==-=∴，成立； 当k 为偶数时，404220203
312k a k k ∴==-=，不成立； 故答案为：1347 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩是解题的关键.
14．【分析】利用可求得数列的通项公式【详解】由于数列的前项和当时；当时满足因此对任意的故答案为：【点睛】易错点点睛：本题考查利用求一般利用来求解在求出通项时要注意对是否满足通项进行检验 解析：65n -
【分析】
利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式.
【详解】
由于数列{}n a 的前n 项和2
32n S n n =-.
当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，()
()()2
2
132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
.
11a =满足65n a n =-.
因此，对任意的n *∈N ，65n a n =-. 故答案为：65n -. 【点睛】
易错点点睛：本题考查利用n S 求n a ，一般利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在求出通项
时，要注意对1a 是否满足通项进行检验.
15．【分析】令计算得出然后推导出当为偶数时当为奇数时利用等比数列的求和公式可求得的值【详解】当时解得；当时当为偶数时可得则；当为奇数时可得则因此故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查已知与的关系求和常用的 解析：
341
1024
【分析】
令1n =计算得出11
4
a =
，然后推导出当n 为偶数时，0n S =，当n 为奇数时，11
2n n S +=
，利用等比数列的求和公式可求得129S S S +++的值.
【详解】 当1n =时，11112
a S a ==-+
，解得114a =；
当2n ≥时，()()()1111122n
n
n n n n n n
S a S S -=-+
=-⋅-+. 当n 为偶数时，可得112n n n n S S S -=-+
，则11
2
n n
S -=； 当()3n n ≥为奇数时，可得112n n n n S S S -=-++
，则11121
20222
n n n n n
S S -+=-=-=. 因此，2512924681011111111341
240000122222102414
S S S ⎛⎫
- ⎪⎝⎭++
+=++++++++==
-. 故答案为：341
1024
. 【点睛】
方法点睛：本题考查已知n S 与n a 的关系求和，常用的数列求和方法如下： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
16．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以
所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的
解析：24 【分析】
根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】
因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠， 所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以1
32n n a -=⋅，所以41
43224a -=⋅=，
故答案为：24. 【点睛】
思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；
（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；
（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.
17．【解析】分析：当时求得；当时类比写出由求出再将代入检验即可求出答案详解：当时当时由得两式相减将代入上式通项公式为故答案为点睛：本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法其求解过程分为三步：（
解析：0,145,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩ 【解析】
分析：当1n =时，求得11a S =；当2n ≥时，类比写出1n S -，由1n n n a S S -=-求出n a ，再将1n =代入n a 检验，即可求出答案. 详解：当1n =时，110a S ==
当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得2
12(1)3(1)1n S n n -=---+，
两式相减，145n n n a S S n -=-=-， 将1n =代入上式，110a =-≠， ∴通项公式为0,1
45,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
故答案为0,1
45,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
. 点睛：本题主要考查已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法.其求解过程
分为三步：
（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；
（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)
n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；
（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．
18．【分析】由条件有由数列为正项数列即得然后利用累乘法可求出数列的通项公式【详解】由则又数列为正项数列即所以即所以故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列的通项公式考查累乘法属于中档题
解析：1
n
【分析】
由条件有()()
1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦，由数列{}n a 为正项数列，即得
()101n n n a na ++-=，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.
【详解】
由()2
2
1110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则()()
1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦
又数列{}n a 为正项数列，即0n a >，11a = 所以()101n n n a na ++-=，即11
n n a a n
n +=+ 所以1
2112
11211
11
2n n n n n a a a n n a a a a a n n n
-----=
⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=- 故答案为：1n
【点睛】
本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查累乘法，属于中档题.
19．【分析】由题意可得且进而可得结合数列的通项公式可得从而可得答案【详解】根据题意因为所以所以因为所以故答案为：【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系关键是分析属于中档题 解析：
4039
2
【分析】
由题意可得， 1()11()111()e
e e x
f x x x
==++，且11(1)112
f ==+，进而可得
1
()()1f x f x
+=，结合数列的通项公式可得
4039111(1)(2)(2020)(
)()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020
f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++，
从而可得答案. 【详解】 根据题意，
因为()1e e
x f x x =+，所以1()11()111()e e e x f x x x
==++，11(1)112f ==+， 所以1
()()1f x f x +=，
因为(),
2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪
=⎨⎛⎫
> ⎪
⎪-⎝
⎭⎩ 所以4039111
(1)(2)(2020)(
)()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++
14039
201922
=
+= 故答案为：4039
2
【点睛】
此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x
+=，属于中档题.
20．【分析】将变形为利用累乘法求出数列的通项公式求出的值再利用诱导公式可求出的值【详解】则所以因此故答案为：【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项同时也考查了数列求和以及正切值的计算考查计算能力属于中等题
【分析】
将()1n n n n a a a +-=变形为
11
n n a n a n
++=，利用累乘法求出数列{}n a 的通项公式，求出4S 的值，再利用诱导公式可求出4tan S 的值. 【详解】
()()
*1n n n n a a a n N +-=∈，()11n n na n a +∴=+，11
n n a n a n
++∴=， 3
211112
123
12
1n n n a a a n
a a a na a a a n -∴=⋅
⋅⋅⋅
=⨯⨯⨯⨯
=-，313a a π==，13
a π∴=， 则3
n a n π
=
，所以，424103
333
S π
πππ
π=
+
++=，
因此，410tan tan tan 3tan 333S ππππ⎛
⎫==+== ⎪⎝
⎭， 【点睛】
本题考查利用累乘法求数列通项，同时也考查了数列求和以及正切值的计算，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）3n
n a =；（2）284.
【分析】
（1）由题可得等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，即可得出通项公式；
（2）根据题意得出当1
33n n m b +≤<时，m b n =，再分组求和即可求出.
【详解】
（1）由题意结合表中数据可得13a =，29a =，327a =， 所以等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，
所以{}n a 的通项公式为1333n n
n a -=⨯=；
（2）由题设及（1）知120b b ==，且当1
33n n m b +≤<时，m b n =.
所以
()()()()()
10012348910262728808182100S b b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++++
2061182543204=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯284=. 【点睛】
解题关键：由题得出120b b ==，且当1
33n n m b +≤<时，m b n =是解题的关键，再利用分
组求和即可.
22．（1）212n a n =-；（2）1
2123n n b n -=-+；2
31
202
n n T n n -=-++. 【分析】
（1）利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）得1
2123n n b n -=-+，利用分组求和即可求解.
【详解】
（1）因为{}n a 是首项119a =，公差2d =-的等差数列， 所以192(1)n a n =--212n =-，
（2）由题知{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，
则13n n n b a --=，所以1
3n n n b a -=+
12123n n -=-+，
所以12n n T b b b =++
+
()()()()0121233333n n a a a a =++++++++
()()21121333n n a a a -=+++++++
()()()21131921240231312013
2222
n n n n n n n n n ⨯-+----=
+=+=-+-.
23．（1）证明见解析；（2）()()21,21,n n n n T n n n ⎧+⎪=⎨-+⎪⎩
为偶数
为奇数
【分析】
（1）令1n =求出首项，令2n =求出2a ，将n 换为1n -，两式相减得出2
1+n n n a S S -=，
再将n 换为1n -，两式相减得11n n a a +-=，即得证；
（2）求出n b ，分别讨论n 为奇数和偶数，并项求和结合等差数列的求和公式可求出. 【详解】 （1）
33
32
12n n a a a S ++
+=
当1n =时，322
111a S a ==，11a ∴=，
当2n ≥时，33
321211n n a a a S --+++=，
两式相减得()()()3
2
2
1111++n n n n n n n n n n a S S S S S S a S S ----=-=-=，
21+n n n a S S -∴=，则2+1+1+n n n a S S =，
两式相减得22
11+n n n n a a a a ++-=，即()()111++n n n n n n a a a a a a +++-=，
因为各项为正，11n n a a +∴-=，
当2n =时，则()2
331212++a a a a =，即()2
3221+1+a a =，解得22a =，满足211a a -=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可得()1+11n a n n =-⨯=，
()()2
12n n b n ∴=-⨯，
当n 为偶数时，()()22
22222+46+822+2n T n n =---
--
()()()()()()424+2+868+6+
+2222+22n n n n =-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()
()2+222+4+6+8+
22212
n n n n n ==⨯
=+， 当n 为奇数时，()()2
1+21421n n n T T b n n n n n -==--=-+，
综上，()()21,21,n n n n T n n n ⎧+⎪=⎨
-+⎪⎩
为偶数
为奇数. 【点睛】
方法点睛：证明或判断等差数列的方法，
（1）定义法：对于数列{}n a ，若1n n a a d --=，则数列{}n a 为等差数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若21+2n n n a a a ++=，则数列{}n a 为等差数列； （3）通项公式法：若n a pn q =+，则数列{}n a 为等差数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断. 24．（1）(
)*
22n a n n N =+∈；（2）32n n
S
n +=⋅.
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式，列式求首项和公差，再求通项公式；（2）先求数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为43a a d -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，解得14a =. 所以(
)*
42(1)22n a n n n N
=+-=+∈
（2）设等比数列{}n b 的公差为q ，因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q
，14b =，所以12n n b +=
从而2
(1)2n n n a b n +=+.
345122232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++，① 4562322232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯+
+++，②
由①-②得：345
2322222(1)2n n n S n ++-=⨯+++
+-+
()33
332122(1)2212
n n n n S n n ++--=+
-+=-⋅-
所以3
2n n S n +=⋅.
【点睛】
方法点睛：本题考查等差等比数列，以及数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的
数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.
25．（1）21n a n =+；22n S n n =+；（2）证明见解析. 【分析】
（1）利用等差数列通项公式求解首项及公差，再利用求和公式进行求解； （2）由（1）得2211
1(2+1)1
n n b a n =
=--，再用裂项相消法求得n T ，并利用单调性求得
n T 的范围.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2414,a a +=613a =，所以有13,2a d ==，所以
32(1)21n a n n =+-=+;
2(1)
3+
222
n n n S n n n -=⨯=+ （2）由1知21n a n =+，所以
221111111=1(2+1)14(1)41n n b a n n n n n ⎛⎫
=
=⋅=⋅- ⎪--++⎝⎭
， 所以1111111111+++14223
1414
n T n n n ⎛⎫⎛⎫=
⋅---=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又118n T T ≥=
，且单调递增，故1184
n T ≤<. 26．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）3n
n T n =⋅
【分析】
（1）利用1n n n a S S -=-即可建立关系证明等比数列，进而求出通项公式；
（2）由题可列出方程求出{}n b 的首项和公差，进而求出通项公式，再利用错位相减法即可求出n T . 【详解】 （1）
()1112n n S a +=
-，()11
1(2)2
n n S a n -=-≥， 两式相减得()111
2
n n n n S S a a -+-=- 即n a =
1
2
()1n n a a +-，所以1n a +=3n a (n ≥2)； 又由n =1时，()121
12
a a =
-及1a =1，得2a =3， 2a =31a ，合并为1n a +=3n a (n ∈*N ).
数列{n a }是以1为首项公比为3的等比数列， 11133n n n a --∴=⨯=；
（2）设数列{n b }的公差为d ， 可得141434+
242
i i b b d =⨯==∑，所以12312b d +=①； 由(1)知：1a =1，2a =3，3a =9，据条件1a +12b a ，+23b a ，+3b ，成等比数列得 ()()()21113192b d b b d ++=+++②， 由①②解得：12412b d =⎧⎨=-⎩或132
b d =⎧⎨=⎩， 当12412
b d =⎧⎨=-⎩时，3242120b =-⨯=，与题意n b >0不符； 当132b d =⎧⎨
=⎩时，n b =2n +1>0，符合题意， ()1213n n n a b n -∴=+⋅，
∴0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，
则2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯++⨯，
以上两式相减：
()()121313232333
(21)332(21)32313n n n n n
n T n n n ----=+++⋯+-+⨯=+⨯-+⨯=-⋅-， 3n n T n ∴=⋅.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。