三角函数的综合应用答案doc

专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用
答案部分 2019年
1.解析 解法一：
〔1〕过A 作AE BD ⊥，垂足为E .
由已经知道条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，
所以84cos sin
105
PBD ABE ∠=∠==. 所以12
154
cos 5
BD PB PBD =
==∠.
因此道路PB 的长为15〔百米〕.
〔2〕①假设P 在D 处，由〔1〕可得E 在圆上，那么线段BE 上的点〔除B ，E 〕到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②假设Q 在D 处，联结AD ，由〔1〕知2210AD AE ED =
+=，
从而2227
cos 0225
AD AB BD BAD AD AB +-∠=
=>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. 〔3〕先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小
于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1
PB AB ⊥，由〔1〕知，1P B =15， 此时11113
sin cos 1595
PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯
=； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由〔2〕知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，
2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆
O 的半径.
综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321〔百米〕. 解法二：〔1〕如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.
因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A 〔4，3〕，B 〔−4，−3〕，直线AB 的斜率为3
4
. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43
-， 直线PB 的方程为425
33
y x =-
-
. 所以P 〔−13，9〕，2
2
(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15〔百米〕.
〔2〕①假设P 在D 处，取线段BD 上一点E 〔−4，0〕，那么EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②假设Q 在D 处，联结AD ，由〔1〕知D 〔−4，9〕，又A 〔4，3〕， 所以线段AD ：3
6(44)4
y x x =-
+-.
在线段AD 上取点M 〔3，154〕，因为5OM =<=，
所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. 〔3〕先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由〔1〕知，1P B =15，此时1P 〔−13，9〕； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由〔2〕知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q
〔a ，9〕，由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q 〔4+9〕，此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当P 〔−13，9〕，Q 〔4+9〕时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
4(13)17PQ =+-=+.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+
2020-2018年
1．C
【解析】由题意可得d =
=
=
=
〔其中cos ϕ=
，sin ϕ=
，∵1sin()1θϕ--≤≤,
d ≤
1=+
∴当0m =时，d 取得最大值3，应选C ． 2．B 【解析】由于2
1cos2()sin sin sin 2
x
f x x b x c b x c -=++=
++． 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；
c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．应选B ．
注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数．
3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，
所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，应选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4
x
π或
54
π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2
x x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x 或1x =-时，2
12x ，而|1|x 由两个值，
故C 错误，选D ． 5．B 【解析】由于(0)
2,()1
5,()22
()424
f f f f π
π
π
，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，2()
tan 4tan (0)4
f x BP AP
x
x x π
≤≤．不难发现()
f x 的图象是非线性，排除A ．
6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,
]2x π
∈时，1
()sin cos sin 22
f x x x x ==；当(
,]2x π
π∈时，1
()cos sin sin 22
f x x x x =-=-，应选C ． 7．A
【解析】由
22330
1sin()cos()|cos cos 02x dx x ππ
ϕϕϕϕϕ-=--=
+=⎰
，
得tan ϕ=
()3
k k Z π
ϕπ=
+∈，所以()sin()()3
f x x k k Z π
π=-
-∈，
由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=-
-与sin()3
y x π
=-的图象的对称轴相同，
令32x k πππ-=+，那么5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为
5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56
x π
=
，选A ． 8
1
【解析】22cos sin 2)14
x x x π
+++
，所以 1.A b ==
9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．
10．
12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴2
2sin cos cos θθθ=，∵(0,)2
πθ∈， ∴1
tan 2θ=．
11．〔1〕3；〔2〕4π【解析】〔1〕()y f x '=cos()x ωωϕ=+
，当6
π
ϕ=，点P 的坐标为〔
0，
cos 36πωω=
∴=； 〔2〕曲线()y f x '=cos()x ωωϕ=+的半周期为
πω，由图知222T AC π
π
ωω
===， 122
ABC
S
AC π
ω=
⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 那么()()
sin()sin()2b
b
a
a
S f x dx f x a b ωϕωϕ'=
==+-+=⎰
，
由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224
ABC
S
P S
π
π=
==． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，那么PH ⊥MN ，所以OH =10．
θ
H
E K
G
N
M P
O A
B
C D
过O 作OE ⊥BC 于E ，那么OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，
那么矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，
CDP ∆的面积为1
240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2
θθθθθ⨯⨯-=-．
过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，那么10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，那么01sin 4θ=，0(0,)6
πθ∈． 当0[,
)2
π
θθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，
所以sin θ的取值范围是1[,1)4
．
答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为
1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1
[,1)4
．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 那么年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-
8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2
π
θθ∈．
设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2
π
θθ∈，
那
么
222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+．
令()0f θ'=，得π6
θ=， 当0(,)6
π
θθ∈时，()>0f θ′
，所以()f θ为增函数； 当(
,)62
ππ
θ∈时，()<0f θ′
，所以()f θ为减函数， 因此，当π
6θ=时，()f θ取到最大值．
答：当π
6
θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
13．【解析】〔1〕由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，
所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107AC =，40AM =． 所以2240(107)30MN =
-=，从而3
sin 4
MAC ∠=
． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 那么11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11
116sin PQ AP MAC
=
=∠．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分〞理解为“水面以上部分〞，那么结果为24cm)
〔2〕如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.
过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 那么GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，
所以1KG =
6214
242
-=
，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠那么114
sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠.
因为2απ<<π，所以3cos 5
α=-.
在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7
sin 25
β=. 因为02βπ<<
，所以24
cos 25
β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠
42473(35)525255
=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，那么 22P Q ⊥平面
EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =
22
20sin P NEG
Q =∠.
答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分〞理解为“水面以上部分〞，那么结果为20cm)
14．【解析】〔Ⅰ〕由题意1cos(2)
12()sin 222
x f x x π
++=-
x x 2sin 21212sin 21+-= 2
1
2sin -=x ．
由ππ
ππk x k 22
222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；
由
ππ
ππ
k x k 22
3222
+≤
≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤
≤+434(Z k ∈)； 所以)(x f 的单调递增区间是]4
,
4[ππ
ππ
k k ++-〔Z k ∈〕
； 单调递减区间是]43,
4[ππ
ππ
k k ++〔Z k ∈〕
． 〔Ⅱ〕
1()sin 022A f A =-=，1sin 2
A ∴=，
由题意A 是锐角，所以 cos 2
A =
． 由余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=，
可得2
2
12b c bc =+≥
323
21
+=-≤
∴bc ，且当c b =时成立．
2sin 4bc A ∴≤
．ABC ∆∴面积最大值为4
3
2+．
15．【解析】〔Ⅰ〕因为1()102(
cos sin )102sin()212212123
f t t t t ππππ
--+--+， 又240<≤t ，所以373
12
3
ππ
π
π
<
+
≤
t ，1)3
12sin(1≤+≤-π
πt ， 当2=t 时，1)312sin(
=+ππt ；当14=t 时，1)3
12sin(-=+π
πt ；
于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ 〔Ⅱ〕依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由〔Ⅰ〕得)3
12sin(210)(π
π+-=t t f ，
所以11)312sin(
210>+-ππ
t ，即1
sin()1232
t ππ+<-， 又240<≤t ，因此6
1131267ππππ<+<t ，即1810<<t ， 故在10时至18时实验室需要降温. 16．【解析】〔1〕
c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=
由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=
sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+
()sin sin 2sin A C A C ∴+=+
〔2〕
c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=
由余弦定理得2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--=
=== 222a c ac +≥〔当且仅当a c =时等号成立〕 22
12a c ac
+∴≥〔当且仅当a c =时等号成立〕
2211112222
a c ac +∴-≥-=〔当且仅当a c =时等号成立〕
即1cos 2B ≥
，所以B cos 的最小值为1
2
17．【解析】〔Ⅰ〕由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=
又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4
π
，(0,)ϕπ∈
故()sin(2)04
4
f ππ
ϕ=⨯
+=，得2
π
ϕ=
，所以()cos 2f x x =
将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移
2
π
个单位长度后得到函数()sin g x x =
〔Ⅱ〕当(
,)64x ππ
∈时，1sin 22x <<
，1
0cos 22
x <<， 所以sin cos2sin cos2x x x x >>．
问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64
ππ
内是否有解
设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(
,)64
x ππ
∈ 那么()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(
,)64
x ππ
∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ
内单调递增
又1
()06
4
G π
=-
<，()04G π=
>
且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(
,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64
x ππ∈满足题意． 〔Ⅲ〕依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=
当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-
，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)
(,2)x πππ∈时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x
=-，(0,)(,2)x πππ∈ 那么问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)
(,2)x πππ∈的交点情况 22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2
x π=或32x π=． 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表
当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞
当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞
当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞
当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞
故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在
(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππ内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯= 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。