Uniqueness theorem
常微分方程解的存在唯一性定理的教学探索
舅（，）≥ｌ： （ ， （ ））ｄ ０≤ｔ Ｔ），Ｙｃ＇（ｔ）≤ｈ（ｔ， ））（或Ｙｃ（ｔ） ｆ￣ｈ（ｓ，．效 ））（ ０ ｔ Ｔ），贝０称Ｅ（Ｏ，２（ｔ）为
方程 （１）的一对有序上 、下解． 定理 １ 如果 ｆ（ｔ， ）：【０，Ｔ】×［０，＋Ｏ０） 【０，＋ｏｏ）是连续 函数 ，且方程 （１）存在一对有序上 、下解
？’：ｓ ｓ．艰据引理２可知，算子 至少存在一个不动点 （ｆ）∈Ｓ，０≤ｔ≤Ｔ．所以初值问题 （１）至少存在
一 个解 （ｆ）∈Ｃ［Ｏ，丁】，且 Ｙｃ（ｔ）≥ （ｆ） （ｆ）， ０ ｔ Ｔ．
证毕 ．
推论 １ 如果 ｆ（ｔ， ）：［０，Ｔ］×［０，ｂ】 ［０，＋∞）是连续函数 ，那么初值问题 （１）至少存在一个解 ｘ（ｔ）∈ ｃ［ｏ，Ｔ】， 并满足 ｋｉｔ （ｆ）≤ｋ２ｔ，其 中：ｋ１， ２为常数．
本文始终假设 ｆ：【０，Ｔ】×【０，＋∞） 【０，＋Ｏ０）是一给定连续函数．
（１）
设ｘ＝ ０， 】是带有最大值范数的Ｂａｎａｃｈ空间．显然，方程（１）等价于积分方程ｘ（ｔ）＝Ｃ，（ ，ｘ（ｓ））ｄｓ
（０≤ｔ Ｔ ），又等价于不动点方程 Ｔｘ（ｔ）＝ （ ），ｘ（ｔ）∈ｃ［ｏ，Ｔ】，其 中：算子 丁定义为
Ｈ（ｔ， ）＝ ｓｕｐ ｆ（ｔ，ｒ１），下 控 制 函数 ｈｑ， ＝ｉｎｆ，Ｏ，ｒｔ）， Ｈ（ｔ， ）， ｈ（ｔ， ）对 Ｈ是 单 调 不 减 的 ，且
＜』
（ｆ， ≤， ， Ｈ（ｔ， ．
定 义 如 果存 在 一 对 函数 （ｆ）， （ｆ）∈ｘ ，满足 ｂ （ｆ）≥ （ｆ）≥０，且 （ｆ）≥Ｈ（ｔ， （ｆ）） （或
１ 引言及预备知识
常微分方程基本理论是常微分方程学科的精华所在 ，基本理论的教学 目的是让学生去体会常微分方 程的思想方法 ，领略数学思想的魅力．然而 ，一些学生对常微分方程课程 的学习偏重方程解法 ，忽略基 本理论．造成这种状况的原因是多方面的，除了基本理论 自身 内容比较抽象，课时不足等客观因素外 ，与 教师课堂的教材处理与授课方法也有一定关系．作为教师 ，在课 堂教学中应注意启发学生 的思维 ，培养 学生的创新能力 ，不能照本宣科．尤其是 随着一些新的数学理论的诞生 ，现有教材 中的一些方法未必是最 佳方法 ，教师也应该更新观念 ，在充分理解教材 的基础上 ，不断创新教学方法 ，使难懂枯燥 的数学定理证 明变得简单有趣．基于这种思想 ，根据多年从事微分方程教学和科研工作的经验 ，给出了证明常微分方程 解 的存在唯一性定理的一种新方法——上、下解方法 ，文献［１］中介绍了上、下解方法 ，并用上 、下解方法
关于方程零解存在性及唯一性的讨论
附件6编号学士学位论文关于方程零解存在性及唯一性的讨论学院名称：专业班级：学生姓名：学号：指导教师：完成日期：年月日摘要进到到二十一世纪之后，电子信息技术的迅猛发展，计算机技术越来越多地应用到了数学计算中，如何能够让数学计算变得更加深刻，更具有全面性，是当前数学学习需要研究和探讨的主要内容.连续函数是研究函数中一个十分重要的概念，对于连续函数在闭区间上的研究能够提供解决其他问题的新角度和新方法，通过对于相关知识内容的完善和拓展，能够让抽象的数学系统变得更加严谨和完善.本文通过对连方程零解存在性及唯一性的研究，对连续函数的零点定理、罗尔定理、拉格朗日定理、介值定理等方面进行阐述，并对方程零解存在唯一性的步骤进行系统的论证，从一阶线性微分方程、n阶线性微分方程解的存在唯一性两个方面对步骤进行详细的证明，旨在通过本研究强化学生对于连续函数基本定理的理解，增强学生对数学思维能力和解决能力，对数学学习者综合素质的提高提到一定的积极帮助作用.关键词：方程零解；存在性；唯一性；定理On the existence and uniqueness of the zero solution of theequationAbstractIn the 21st century, with the rapid development of electronic information technology, computer technology is more and more applied to mathematical calculation. How to make mathematical calculation more profound and comprehensive is the main content that needs to be studied and discussed in current mathematics learning. Continuous function is a very important concept in the study of function, for the continuous function in the closed interval Research can provide new perspectives and new methods to solve other problems. Through the improvement and expansion of relevant knowledge, the abstract mathematical system can become more rigorous and perfect. In this paper, through the study of the existence and uniqueness of the zero solution of the continuous equation, the zero point theorem, Rolle theorem, Lagrange theorem, intermediate value theorem of continuous function are elaborated and discussed This paper systematically demonstrates the steps of the existence and uniqueness of zero solution, and proves the steps in detail from the two aspects of the first-order linear differential equation and the existence and uniqueness of the solution of the first-order linear differential equation. It aims to strengthen students' understanding of the basic theorem of continuous function, enhance students' ability of mathematical thinking and solving, and improve the comprehensive quality of mathematics learners The positive helping effect of DingKey words: Zero Solution of equation; existence; uniqueness; theorem目录摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)1 相关概念 (1)1.1 方程 (1)1.2 零解 (1)2 相关定理 (2)2.1 零点定理 (2)2.2 罗尔定理 (2)2.3 拉格朗日定理 (3)2.4 介值定理 (4)2.5 解的存在唯一性定理 (4)3 证明解的存在唯一性步骤 (6)3.1 一阶线性微分方程解的存在唯一性 (6)3.2 n阶线性微分方程解的存在唯一性 (10)结论 (14)参考文献 (15)致谢 (16)引言我国现阶段对于方程零解存在性及唯一性的研究相对较少，现有的研究主要是对连续函数定理的证明和推广的过程.方程零解存在性及唯一性是方程具备的典型的特点.生活中对于连续函数在整个闭区间内连续的情况比较少，大多数的函数都不是联系的，而实际上，不连续的函数是能够进行分解的，在分解之后能够形成许多半连续的函数，如果想要研究现实生活中部分的数学问题，就必须将现有连续的条件进行展开研究，在采用连续函数定理的基础上，采用合适的方式进一步证明方程零解的存在性和唯一性..连续函数是研究函数中一个十分重要的概念，对于连续函数在闭区间上的研究能够提供解决其他问题的新角度和新方法，通过对于相关知识内容的完善和拓展，能够让抽象的数学系统变得更加严谨和完善.本文首先通过对方程及零解的概念进行阐述，然后对相关定理的具体内容进行详细的说明，最后对解的存在唯一性步骤进行系统的阐述，旨在进一步证明方程零解具备的唯一性和存在性的特点.1.相关概念1.1方程方程指的是包含未知量的算式，是对2个不同的数学算式之间内在联系的直观表现。
一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明
3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）;3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2. 必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代；将]b ,[a 11平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代，即]21 [0,]b ,[a 22=；将]b ,[a 22平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代，即]21 ,41[]b ,[a 33=；将]b ,[a 33平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代，即]21 ,81[]b ,[a 44=；... ... 这样下去，]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为x 42x -3=+，记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代25.0)f(x x 12==；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代496094.0)f(x x 23≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代469477.0)f(x x 34≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代474131.0)f(x x 45≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代473354.0)f(x x 56≈=；... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。
静电场边值问题中唯一性定理的应用
静电场边值问题中唯一性定理的应用郑伟;高天附【摘要】在电磁场理论中,关于静电场边值问题的求解是重要而基本的.关于静电场边值问题的求解,在一般情况下可归结为在给定边界条件下求解场方程的问题,唯一性定理是求解静电场边值问题的理论基础.在电磁场相关课程中,静电场边值问题的求解都是教学中的重点和难点,但是作为判断场解正确性和唯一性的唯一性定理却经常被忽视.针对静电场边值问题的几种典型解法,以典型习题为例,深入分析了在各种解法中唯一性定理的应用及其重要意义,说明了在静电场边值问题中应用唯一性定理解题的思路和技巧.结合教学实践,指出了加强唯一性定理教学对于静态场教学的重要性,给出了关于唯一性定理教学的具体建议.%The solution of the boundary value problem for electrostatic field is important and essential in the electromagnetic field theory.Normally, the solution comes down to the problem of solving the field equations based on the given borderline condition.Moreover, the uniqueness theorem is the theoretical basis for solving the boundary value problem of the electrostatic field.In the interrelated courses of electromagnetic field, the solution of the boundary value problem in electrostatic field is the key and difficult point for teaching.But the uniqueness theory, which is used to judge the correctness and uniqueness of the solution, is often ignored.This paper is aimed at several typical solutions of the boundary value problem in electrostatic field, for example, the application and significant meaning of the uniqueness theorem are analyzed in various solutions of typical exercises.Moreover, this article intends to explain the solution ideal andtechniques for applying the uniqueness theorem in the boundary value problem of the electrostatic field.Based on the teaching practice, it points out the importance of uniqueness theorem in static field teaching, and gives some specific suggestions for the teaching of uniqueness theorem.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(035)003【总页数】4页(P370-373)【关键词】唯一性定理;静电场;边值问题【作者】郑伟;高天附【作者单位】沈阳师范大学物理科学与技术学院, 沈阳 110034;沈阳师范大学物理科学与技术学院, 沈阳 110034【正文语种】中文【中图分类】O442静电场的求解方法和特殊函数是动态电磁场的边值问题求解的基础,关于静电场的求解在电磁场理论中是重要而基础的。
电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.
非线性-阅读资料
is continuously differentiable on R2 . Hence, it is locally Lipschitz on R2 . It is not globally Lipschitz since ∂f /∂x is not uniformly bounded on R2 . On any compact subset R2 , f is Lipschitz. Suppose that we are interested in calculating a Lipschitz constant over the convex set W = {x ∈ R2 | |x1 ≤ a1 |, |x2 | ≤ a2 }. The Jacobian matrix is given by [ ] [ ] ∂f −1 + x 2 x1 = −x2 1 − x1 ∂x Using || · ||∞ for vectors in R2 and the induced matrix norm for matrices, we have ∂f ∂x All points in W satisfy | − 1 + x2 | + |x1 | ≤ 1 + a2 + a1 and |x2 | + |1 − x1 | ≤ a2 + 1 + a1 Hence, ∂f ∂x
∞
∞
= max{| − 1 + x2 | + |x1 |, |x2 | + |1 − x1 |}
≤ 1 + a1 + a2
and a Lipschitz constant can be taken as L = 1 + a1 + a2 . Example 3.2 The function f (x) = [ x2 −sat(x1 + x + 2) ]
电动力学 chp2-2唯一性定理
2 0 分析:壳外电势满足 s Q 0 i
+
不论壳内电荷位置怎样变化,上述边界条件不变,故壳外 电场与电荷在壳内位置无关.
例2.如图两同心导体球壳之间充以两种介质,左半部 分电容率为 右半部分电容率为 2 ,设内球壳带总 1 电荷Q,外球壳接地,求电场和球壳上的电荷分布. 解:设两种介质内电势、电场、位移分别为
对内导体面： D dS 1E1 dS 2 E2 dS Q
S
2 1 2 A Q
S1
S2
Q A 2 1 2
E1 E2
左半部：
Qr 2 1 2 r 3
1 , E1 , D1和2 , E2 , D2
由电势的边界条件，假设介质1、2中 E 仍保持球 对称，即设 1 A A Q E1 3 r , E2 3 r , r r Q 此尝试解在介质1，2分界面上满足 E1t E2t
2
且D1n D2 n 0，（界面上 0 ）
2 0 Q 2 p p2 r 2 1 2 a 2
但可验证 1 1p 2 2 p
0Q 2 1 2 a 2
可见内球面上总电荷(自由,极化电荷)是均匀分布的,故 总场仍为球对称.
[例3] 有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均 匀无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是
1Q 1 D1n D1r 1E1r 2 1 2 a 2
2Q 右半部： 2 D2n D2r 2 E2r 2 1 2 a 2 1p p1r 1 0 E1r 1 0 Q 2 2 1 2 a
高等教育：《第2节解的延拓(english)》
of (1) defined on an interval J which properly contains I and z
restricted to I equals y .
A solution is non-continuable or saturated if no such extension exists; i.e., I is the maximal interval on which a solution to (1) exists.
Consider the differential equation
dy f (t, y)
(1)
dt
If y(t) is a solution of (1) defined on an interval I, we say that
z(t) is a continuation or extension of y(t) if z(t) is itself a solution
Q: When can a given solution be continued?
Local Lipschitz condition
Definition A function f(t, y) (where U is an open set of R×R) satisfies a local Lipschitz condition if for any (t0 , y0 ) U there exist a neighborhood (t0 , y0 ) V U such that f satisfies a Lipschitz condition on V.
Remark: If the function f is of class C1 in U, then it satisfies a local Lipschitz condition.
常微分方程2.2解的存在唯一性定理
即命题2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。
即 当 n=k 时， k (x)在 x0 x x0 h 上有定义，连续，
也就是满足不等式 k (x) y0 b
x
而当 n=k+1 时， k1(x) y0 x0 f (,k ( ))d
x
0 (x) (x) x0 f (, ( )) d M (x x0 )
x
k1(x) y0 x0 f (,k ( )) d M (x x0 ) Mh b
k 1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义，连续。
§ 2.2 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
即命题２在 n=k＋１时也成立。
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x
2 (x) y0 x0 f (,1( ))d
x0+a
x
§ 2.2 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( , n1 ( ))d
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数
x0 x x0 h
n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
第3章静电场及其边值问题的解法
2
y 2
2
z2
0
二维问题 0：
z
2 2
x2 y 2 0
设 因此 即
于是有
(x, y, z) X (x)Y ( y)
YZ d 2 X XZ d 2Y 0
dx2
dy 2
s
n
z0
z
z0
2
qh x2 y2 h2
3 2
导体表面的总感应电荷
Qi
S sds
2
d
0
0
qh 2
(
2
d h2
)3
2
qh
q
2 h2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
可见， 镜像电荷 q 代q 替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。
9
§ 3.6 镜像法
二、导体劈间的点电荷
设有两块接地半无限大导体平板相交成角，且 ＝n为n，正整数，交角内置一点电荷
11
§3.7 分离变量法The Method of Separation of Variables
* 分离变量法是一种最经典的微分方程解法。
* 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解; * 只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，
从而得到边值问题的特解。
x2 y2 (z h)2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所
求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
注意：仅对上半空间等效。
8
§ 3.6 镜像法
（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：
数学专业英语词汇(U)
数学专业英语词汇(U)数学专业英语词汇(U)数学专业英语词汇(U)u statistic u统计量ulm factor 乌姆因子ultra filter base 超滤子基ultra ideal 超理想ultra power 超幂ultrabarrelled space 超桶型空间ultrabornological space 超有界型空间ultrafilter 超滤子ultrafilter space 超滤子空间ultrahyperbolic equation 超双曲型方程ultrametric space 超度量空间ultraproduct 超积ultraspherical polynomials 特种球多项式umbilical point 脐点unary operation 一元运算unary relation 一元关系unbiased confidence estimation 无偏置信估计unbiased estimate 无偏估计unbiased estimating equation 无偏估计方程unbiased estimator 无偏估计量unbiased sample 无偏样本unbiased test 无偏检验unbiasedness 无偏性unbounded function 无界函数unbounded interval 无界区间unbounded operator 无界算子unbounded quantifier 无界量词unbounded sequence 无界序列unbounded set 无界集unboundedness 无界性uncertainty 不定uncertainty principle 测不准原理unconditional convergence 无条件收敛unconditional inequality 无条件不等式unconditional jump 无条件跳跃unconditionally convergent 无条件收敛的unconditionally convergent series 无条件收敛级数unconnected graph 不连通图unconnected space 不连通空间unconnectedness 不连通性uncorrelated 不相关的uncorrelated random variables 不相关随机变量uncountability 不可数性uncountable 不可数的uncountable ordinal 不可数序数undecidability 不可判定性undecidability theorem 不可判定性定理undecidable theory 不可判定理论underdeterminate system 欠定组underdeterminate system of partial differential equations 欠定偏微分方程组underlying graph 底图underlying group 基础群underlying topological space 基础拓扑空间underlying topology 基础拓扑undetermined 未定的undetermined coefficient 末定系数undetermined number 未定数undirected edge 无向棱undirected graph 无向图undisturbed differential equation 无扰动微分方程unduloid 波状体unequal 不等的ungula of the cone 锥的蹄状体ungula of the cylinder 柱的蹄状体ungula of the prism 棱柱的蹄状体uniaxial 单轴的unicity 唯一性uniconvergence space 单收敛空间unicursal 单行的unicursal curve 有理曲线unicursal graph 单行图unicursal involution 单行对合unicursal surface 单行曲面unidirectional 单方面的unified field theory 统一场论uniform 匀的uniform approximation 一致逼近uniform boundedness principle 一致有界原理uniform continuity 一致连续性uniform convergence 一致收敛uniform cover 一致覆盖uniform distribution 均匀分布uniform equicontinuity 一致同等连续性uniform invariant 一致不变量uniform isomorphism 一致同胚uniform limit 一致极限uniform scale 等分标尺uniform space 一致空间uniform stability 一致稳定性uniform structure 一致结构uniform topology 一致拓扑uniformity 一致结构uniformity generated by a pseudometric 伪度量一致性uniformizable 可一致化的uniformizable point 单值化点uniformizable space 单值化空间uniformization 单值化uniformization principle 一般单值化定理uniformization theorem 单值化定理uniformization theory 单值化理论uniformizing covering surface 单值化覆盖面uniformizing function 单值化函数uniformly bounded 一致有界的uniformly bounded sequence of functions 一致有界函数序列uniformly bounded series 一致有界级数uniformly bounded set 一致有界集uniformly continuous 一致连续的uniformly continuous map 一致连续映射uniformly convergent 一致收敛的uniformly convergent sequence of functions 一致收敛函数序列uniformly convex 一致凸的uniformly convex space 一致凸空间uniformly distributed random variable 均匀分布随机变量uniformly elliptic operator 一致椭圆算子uniformly equicontinuous 一致同等连续的uniformly equivalent metric 一致等价度量uniformly equivalent space 一致等价空间uniformly integrable 一致可积的uniformly locally compact space 一致局部紧空间uniformly most powerful test 一致最大功效检定uniformly open map 一致开映射uniformly strongly elliptic operator 一致强椭圆算子uniformly summable family of functions 一致可积函数族unilateral 单侧的unilateral surface 单侧曲面unimodal 单峰的unimodal distribution 单峰分布unimodular group 幺模群unimodular map 幺模映射unimodular matrix 幺模阵unimodular number 单模数unimodularly bounded function 幺模有界函数union 并集union of sets 集的并unipotent element 幂幺元unipotent group 幂单群unipotent matrix 幂单矩阵unique existence 唯一存在性unique factorization domain 唯一析因整环unique factorization theorem 唯一析因定理unique solution 唯一解uniquely defined 唯一定义的uniqueness 唯一性uniqueness condition 唯一性条件uniqueness theorem 唯一性定理unirational variety 单有理簇uniserial algebra 单列代数unit ball 单位球unit circle 单位圆unit disk 单位园板unit divisor 单位因子unit dyad 单位并向量unit filter 单位滤子unit function 单位函数unit group 单位群unit ideal 单位理想unit idele 单位伊代尔unit interval 单位区间unit line 单位线unit lower triangular matrix 单位下三角阵unit matrix 单位矩阵unit of angle 角的单位unit of area 面积单位unit of volume 体积单位unit operator 恒等算子unit point 单位点unit representation 恒等表示unit simplex 单位单形unit sphere 单位球unit tangent 单位切向量unit tensor 单位张量unit theorem 单元定理unit transformation 恒等变换unit vector 单位向量unitarily equivalent operator 酉等价算子unitarily equivalent representation 酉等价表示unitarity 酉性unitary 单式的unitary algebra 单式代数unitary bundle 酉丛unitary connection 酉朕络unitary geometry 酉几何unitary group 酉群unitary homomorphism 单式同态unitary invariant 酉不变量unitary matrix 酉矩阵unitary modular group 特殊酉群unitary operator 酉算子unitary r module 单式r模unitary representation 酉表示unitary similar matrix 酉相似矩阵unitary space 酉空间unitary transfer 酉朕络unitary transformation 酉变换unity 单位元素unity element 单位元素unity group 单位群univalent 单叶的univalent function 单叶函数univariable series 单变量级数universal affirmative proposition 全称肯定命题universal bundle 通用丛universal class 全类universal coefficient formula 万有系数公式universal coefficient theorem 万有系数定理universal covering 通用覆盖universal covering group 通用覆盖群universal covering manifold 通用覆盖廖universal covering space 万有覆盖空间universal covering surface 万有覆盖面universal curve 万有曲线universal domain 万有域universal enveloping algebra 通用包络代数universal function 通用函数universal map 通用映射universal negative proposition 全称否定命题universal proposition 一般命题universal quantifier 全称量词universal relation 通用关系universal set 通用集合universal subgroup 通用子群universal validity 一般有效性universal variety 普遍簇universally japanese ring 伪几何环universally maximal left ideal 普遍极大左理想universally maximal twosided ideal 普遍极大双侧理想universally minimal right ideal 普遍极小右理想universally valid formula 普遍有效公式unknown 末知的unknown number 未知数unlimited 无限的unlimited covering manifold 无限覆盖廖unlimitedness 无穷unmixed ideal 纯理想unordered pair 无序对unparted hyperboloid 单叶双曲面unramified covering 非分歧覆盖unramified covering surface 非分歧覆盖面unramified extension 非分歧扩张unramified manifold 非分歧廖unramified prime ideal 非分歧素理想unramified ring 非分歧环unsolvability 不可解性unsolvable 不可解的unsolvable equation 不可解方程unstability 不稳定性unstable 不稳定的unstable solution 不稳定解unweighted mean 未加权平均数upper bound 上界upper central series 上中心列upper class 上类upper control limit 上控制限upper derivative 上导数upper envelope 上包络upper half plane 上半平面upper limit 上极限upper limit of integration 积分的上限upper pure value 上纯值upper quartile 上四分位数upper semi continuous decomposition 上半连续分解upper semicontinuity 上半连续性upper semicontinuous 上半连续的upper semilattice 上半格upper triangular matrix 上三角形矩阵upper value of game 对策上方值upper variation 正变差useful direction 有效方向utility 效用utility function 效用函数utility theory 效用理论数学专业英语词汇(U) 相关内容:。
解对初值的连续性和可微性
V (x) V (x0 )e2L(xx0 ) , a x x0
因此 V (x) V (x0)e2L xx0 , a x b, a x0 b
两边取平方根，得 (x) (x) (x0 ) (x0 ) eL xx0 8
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§3.3 Continuity & differentiability
y0 (x0 , x, y)
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§3.3 Continuity & differentiability
3.3.2解对初值的连续依赖性定理 假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希
茨条件， (x0 , y0 ) G, y (x, x0 , y0 ) 是初值问题
3.3.1 解对初值的对称性定理
设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，
(x0 , y0 ) G, y (x, x0 , y0 )
是初值问题
dy
dx
f
(x, y),
y(x0 ) y0
的唯一解，则在此表达式中， (x0, y0 ) 与 (x, y) 可以调 换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式
成立不等式 f (x, y1,) f (x, y2,) L y1 y2 其中L 是与 无关的正数。
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§3.3 Continuity & differentiability
由解的存在唯一性定理，对每一 0 ( , ) 方程 E 的解唯一确定。记为 y (x, x0 , y0 , 0 )
经典电磁场理论
达朗泊方程
1 2 2 2 c t 0 1 2 A 2 A 2 2 0 J c t 1 A c2 0 t
2
w S E J 洛仑兹力 t g f E J B 能量守恒 f T t 电磁场 麦克斯韦方程组 的基本 规律 A 2 E E t E 0 B 静电 E t D E W 1 dV 场 D 0E e D 2 D
洛仑兹力
w S E J t 动量守恒： g f T 能量守恒: t
第一章
D D H J t B 0
第二章
第二章 静电场（Electrostatic Field)
静电场的 性质和求 解静电场 问题的各 种方法。
泊松方程
静电场的理论基础
边值关系
唯一性定理
[例1]
有一半径为a的导体球，它的中心恰位 于两种均匀无限大介质的分界面上， 介质的介电常数分别是 1 与
2
。
若导体球总电荷为Q，求导体球表面 处自由电荷分布。
[例2]两同心导体球壳之间充 以两种介质，左半球介电常数 为 1 ，右半球介电常数为 2 。
1在均匀区域满足唯一性定理uniquenesstheorem给定区域v内每个导体上的电势或电荷总量以及导体外介质中的自由电荷分布对于一个满足唯一性条件的静电场问题它保证了不论用什么方法得到的问题的解都是真正的解泊松方程边值关系唯一性定理有一半径为a的导体球它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上介质的介电常数分别是若导体球总电荷为q求导体球表面处自由电荷分布
洛仑兹力