第12次课-弯曲正应力1504-冯露

弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段
y
M
z
Fs
横截面上内力
横截面上切应力
Fs dA A
横截面上正应力
M y dA
A
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只 有切向内力元素dFs =τdA才能合成剪力Fs
第四章 弯曲应力
一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
若将T型截面上、下倒置使用，请读者自行分析
第四章 弯曲应力
例 T形截面外伸梁，载荷及尺寸如图所示，已知 截面的中性轴为z轴，z轴到上、下边缘的距离分别为 y1=52mm、y2=88mm，截面对z轴的惯性矩为Iz=
763cm4。梁的抗拉许用应力[+]=40MPa，抗压许用 应力[–]=100MPa。试校核该梁的正应力强度条件。
强度计算的主线
判断变形 求出所有的外力
进行内力分析，画 出内力图
根据内力图确定危险截面
计算危险截面处危险点的应力
代入相应的强度条件进行相关计算
P119例4-2 图示第简四支章梁由弯20曲a工应字力钢制成，材料的许用应力[]＝
160MPa，试求许用载荷[F]
解：此梁的弯矩图如图b 所示，Mmax＝2F/3。如F 以N为单位，则M的单位 是Nm。由附表查出Wz＝ 237×103mm3，于是
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应 力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的 变形状态来确定。
（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
第四章 弯曲应力
5．拉压应力的判断
由弯矩引起的变形直接判断：纵向伸长，为拉应力，纵
向缩短，为压应力。
6．公式适用范围
t
1)线弹性范围
正应力小于比例极限p；
max
Mmax Wz
(2F / 3)103 237 103
160
∴ F≤56900N＝56.9 kN
P118例4-1 悬臂第梁四AB章由铸弯铁曲材应料力制成，其许用拉应力[t]=40
MPa，许用压应力[c]=160 MPa，载荷F = 10 kN，集中力偶
Me=70 kNm,如图 a。若该梁截面为b×h ＝ 120×220mm的矩形, 试校核其强度。若换为T型截面，尺寸如图b，试校核其强度。
96.4mm
200
2)计算截面对中性轴z的惯性矩Iz
yC
C
z
y50 (b)
Iz
1 150 503 12
150 5096.4 252
1 50 2003 12
200 50 150 96.42 101.8106mm4
3)强度计算
M kNm
40
T型截面关于中性轴不对 10 称 C左 和C右 截面均可能
A
E yz dA E
A
yzdA 0
A
I yz 0
——y、z轴为截面的形心主惯性轴
(d)
z
M
dA
dA
x
y
弯曲正应力 第四章 弯曲应力
中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴， 它与外力作用面垂直，即中性轴是与外力作用面相 垂直的形心主轴。
z
M
dA
dA
x
y
弯曲正应力 第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力 纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
第四章 弯曲应力
☻ Normal Stresses in Beams
平面假定
变形
应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
弯曲正应力 第四章 弯曲应力 1、研究对象：等直细长对称截面梁
My
Iz
max
Mym a x Iz
Iz
M / ymax
M Wz
第四章 弯曲应力
Wz
Iz ym a x
——截面的抗弯截面模量，反映了截面 的几何形状、尺寸对强度的影响。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：
h b
h
z
Iz
1 bh3, 12
Wz
1 bh2 6
平放：
b z´
I
z
1 12
hb3 ,
Wz
1 6
hb2
若h>b, 则Wz W。z
第四章 弯曲应力 由纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁：
(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比:L/h>5
时，其误差不大；
非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：
1 M (x)
(x) EI 正应力计算公式为
(x) M (x) y
I
第四章 弯曲应力
伽利略（Galileo） 1638年 《关于力学和局部运动的两门新科学的对话》
Fl bh h
2
A
M (bh2
2)
σ
h
B
l
F
回顾
平面弯曲：
梁有一纵对称面，外力均作用在纵对称 面内，变形后梁的轴线为位于该平面内 的平面曲线。
第四章 弯曲应力
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
目录
c
M
M
2)精确适用于纯弯曲梁；
3) 横力弯ห้องสมุดไป่ตู้的情况下，当l/h>5时，梁的计算结果
的误差不超过1% 。
平面弯曲的正应力
例2. 宽b=120mm,高h=180mm的矩形截面简支梁如图所 示，求跨中截面上a,b,c三点的正应力。
解：作弯矩图
ql 2 4 32 M max 8 8 4.5 kN m
C Θ
Bx
30
是危险截面
(c)
第四章 弯曲应力
对于C左截面
t max
Mmax Iz
(250 h1 )
40106 153.6 101.8 106
60.4 MPa
[ t ]
150
c max
Mmax Iz
h1
40106 96.4 101.8 106
37.9
MPa
对于C右截面 ( t max )C右 ( t max )C左
2、前提: (a)小变形——在弹性变形范围内， (b)满足平面弯曲条件，（c）纯弯曲。
3、实验观察:
M
M
横截面上 只有正应 力无切应
力
M
凹边缩短
凸边伸长 纵向纤维间无挤压作用
长度保持 不变的纵 向纤维
弯曲正应力 第四章 弯曲应力 中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长 又不缩短的曲面。 中性轴——中性层与横截面的交线。
注意： （1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪 个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及 该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面 上哪一点的正应力，确定该点到中性轴的距离。
（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性 分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边 缘处正应力最大。
第四章 弯曲应力
解:1.作弯矩图
2.矩形截面梁
危险截面在C左 处，最大
拉、压应力相等
t max
cmax
M max Wz
40 106 120 2202
/
6
41.32MPa
t
超出值在5%之内，在工程中一般还是允许的,所以强度合格
第四章 弯曲应力
3.T形截面梁
150
1)确定形心C
50
yC
150 50 25 200 50150 150 50 200 50
Pa
69.2MPa
max
[ ]
B
M B y1 Iz
6103 52 103 763 108
Pa
40.9MPa
所以，梁不满足弯曲正应力强度条件。
第四章 弯曲应力
BFRB
FRD
A
CD
4）计算C截面的最大拉、压正应力
C
M C y1 Iz
4.5103 52 103 763 108
Pa
30.7MPa
中性轴
中性层 中性轴
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁弯曲假设：
横截面保持为平面 —— 变形后，仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕 梁上某一轴转过一个角度
纵向各水平面间无挤压 —— 均为单向拉、压状态
弯曲正应力 第四章 弯曲应力 5、理论分析
（1）变形分布规律
m
n
o1
o2
变形后
y
——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。
曲率 1 (), 则 (); 曲率 1 (),则 ();
1 C, y.
当 y 0时, 0； y ymax时, max .
与实验结果相符。
弯曲正应力 第四章 弯曲应力
（2）应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
E E y
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
解：1）计算梁的支座反力
n
M B (Fi ) 0
FRB
FRD
i1
4FRD
83
1 2
3
22
0
FRD 4.5kN
n
Fiy 0
FRB （4.5 3 2 8)kN 0 FRB 9.5kN
i1
第四章 弯曲应力
2）作梁的弯矩图
MB
1 2
q
2
AB
A
BFRB
6kN m
MC FRD CD
4.5kN m
a
b
m dx n
o
a´
b´
——中性层o1o的2 曲率半径， o——曲率中心，
y——任意纵向纤维至中性层的距离
纵向纤维ab: 变形前 变形后
ab o1o2 dx d ab ( y)d
弯曲正应力 第四章 弯曲应力 所以纵向纤维ab的应变为:
ab ( y)d d yd
ab
dx
d
y
(a)
1 C.
y
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。
当 y 0时, 0；
应力为零的点的连线。
y ymax时, max .
M
与实验结果相符。
弯曲正应力 第四章 弯曲应力 （3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式
z(中性轴) 由 Fx 0得
M
dA
dA
M x
dA=0 A
注意
FRD
CD
如图b) 所示，B截面处产生最大负弯矩，C截面 处产生最大正弯矩，B截面处下侧纤维受压，上侧纤 维受拉；C截面处下侧纤维受拉，上侧纤维受压，如 图c) 所示。因此，B、C截面都应进行强度校核。
第四章
弯曲应力
BFRB
FRD
A
CD
3）计算B截面的最大拉、压正应力
B
M B y2 Iz
6103 88 103 763 108
第四章 弯曲应力
第4章 弯曲应力
冯露
第四章 弯曲应力 §4.1 概述 §4.2平面弯曲的正应力 §4.3 弯曲切应力及强度问题 §4.4 薄壁截面梁的弯曲切应力 §4.5 梁的合理截面形状与合理受力 §4.6 非对称弯曲 §4.7双向弯曲、弯曲与拉压的组合 §4.8问题与研究
第四章 弯曲应力
历史回顾
考虑平衡条件
Mz M
M
M z A(dA) y
A
E
y2
dA
E
A
y2dA
M
E
Iz M
Iz
I z 为截面对中性轴的惯性矩。
z
dA
dA
x
y
(e)
弯曲正应力 第四章 弯曲应力
可得挠曲轴的曲率方程：
1 M
EIz
EI z ——抗弯刚度。
为常数，挠曲轴 是一条圆弧线
正应力的计算公式为 横截面上最大正应力为
注意
对于中性轴不是截面的对称轴的 梁，其最大拉应力值与最大压应力值
不相等。 T形截面梁最大拉应力
T形截面梁最大压应力
max
M maxy2 Iz
max
M maxy1 Iz
第四章 弯曲应力
二、正应力强度条件 正应力强度条件：为了保证梁安全地工作，危险
点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力[ ]。
说明
第四章 弯曲应力
梁弯曲正应力的强度计算
一、最大正应力 危险截面：对于等截面梁，最大正应力发生在弯 矩最大截面的上、下边缘处，弯矩最大的截面。 危险点：危险截面上处弯曲应力最大的点。
最大 正应力
max
M maxymax Iz
引入抗弯 截面系数
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
第四章 弯曲应力
a点：
a
M Wz
b点：
4.5 103 120 1802 6 109
6.94 MPa
b
My b Iz
4.5 103 50 103 120 1803 12 1012
3.86 MPa
c点：
c a 6.94 MPa
q=4kN/m
3m
4.5 M (kN.m)
c
180
50 b
z
a
120
将(b)式代入，得
y(对称轴)
A
E
y
dA
0
E
A ydA 0
E
Sz
0
Sz 0
(c)
因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。
弯曲正应力 第四章 弯曲应力
静力平衡条件
Fy 0, Fz 0, M x 0 自动满足。
考虑平衡条件 M y 0
M y
(dA) z
对于抗拉和抗压强度相同的材料，宜选用中性轴 为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为
正应力 强度条件
max
M max Wz
[ ]
第四章 弯曲应力
对于抗拉和抗压强度不同的材料，宜选用中性轴 不是截面对称轴的梁，应分别对抗拉和抗压应力 建立强度条件：
max
[
]
m
ax
[
]
梁的正应力强度条件可以解决以下三类问题：强 度校核、截面设计和载荷估计。
C
MC y2 Iz
4.5103 88 103 763 108
Pa
max
[ ]
51.9MPa
所以，梁不满足弯曲正应力强度条件。
50 200
只需计算最大压应力
cmax
Mmax
(250 h1 ) Iz
30106 153.6 101.8 106
45.3
MPa
[ t ]
M kNm 10
40
C Θ
30
yC
C
z
y50 (b)
Bx
梁有两个危险截面，拉应力的危险点在C左截面的下方， 压应力的危险点在C右 截面的下方，且拉应力强度不足