湖南省新田一中高中数学 3.3 直线的交点坐标与距离公式课时作业 新人教A版必修2

湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：3．3 直线的交点坐标与
距离公式
基础达标
1．(2020·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为
( )． A.12
B ．－12
C.2
3
D ．－2
3
解析 由⎩⎪⎨
⎪
⎧y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝－9，y ＝－8，
即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，
代入y ＝ax －2，解得a ＝2
3.
答案 C
2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为
( )． A.
89
5
B.17
5
C.
13
5
D.
115
解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点
B ⎝
⎛⎭
⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135
.
答案 C
3．光线从点A (－3，5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的距离是
( )． A ．5 2 B ．2 5
C ．510
D ．10 5
解析 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．
所以|A ′B |＝（2＋3）2
＋（10＋5）2
＝510. 答案 C
4．已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 解析 由题意得 （a ＋2）2
＋（3＋1）2
＝5， 解得a ＝1或a ＝－5. 答案 1或－5
5．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直，交于点A (1，m )，则a ＝________，b ＝
________，m ＝________． 解析 ∵点A (1，m )在两直线上，
又两直线垂直，得2a －4×5＝0， ③ 由①②③得，a ＝10，m ＝－2，b ＝－12. 答案 10 －12 －2
6．若直线x ＋a 2
y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是________．
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －（a －2）a 2
＝0，
2a －（a －2）×6≠0，
解之得a ＝0或a ＝－1或a ＝3(舍)． 答案 0或－1
7．(1)求过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程． (2)求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
解 (1)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，
x ＋2y －7＝0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，
y ＝4，即交点为(－1，4)． ∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直， ∴所求直线的斜率为13.
∴由点斜式得y －4＝1
3(x ＋1)，
即x －3y ＋13＝0.
法二 设所求的方程为3x ＋y －1＋λ(x ＋2y －7)＝0， 即(3＋λ)x ＋(1＋2λ)y －(1＋7λ)＝0， 由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0， ∴λ＝－2，代入所设方程得x －3y ＋13＝0. (2)设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，
即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.
令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ；令y ＝0，得x ＝7λ－6
3＋2λ.
由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝6
7. 直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.
能力提升
8．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是
( )．
A ．a ＝1或a ＝－2
B ．a ≠±1
C ．a ≠1且a ≠－2
D ．a ≠±1且a ≠－2
解析 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，
y ＝1，
将l 2，l 3的交点(－a －1，1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2； (2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；
(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；
当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. 答案 D
9．若动点P 的坐标为(x ，1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________．
解析 由距离公式得x 2＋（1－x ）2＝2x 2
－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋12
， ∴最小值为12＝22
. 答案
2
2
10．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．解原式可化为y＝（x－4）2＋（0－2）2＋
（x－0）2＋（0－1）2.
考虑两点间的距离公式，如图所示，
令A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，
则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x，0)，
使得|PA|＋|PB|最小．
作点A(4，2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．
由两点间的距离公式可得
|A′B|＝42＋（－2－1）2＝5，
所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。