线性代数教学课件第六章二次型第二节化二次型为标准形与规范形

z1
z2
z3
.
x3
z3
11
定理2 任何二次型都可以通过可逆线性变换化 为标准形
f d1 y12 d2 y22 dn yn2 ,
其中 di (i 1,2,, n) 为常数,由相应的线性变 换确定.
证法2 令 f ( x1, x2 ,, xn ) xT Ax, 因 A 为实对称 矩阵，由第五的相应定理知，存在正交阵 Q , 使QT AQ 为对角矩阵.作正交变换 x Qy ,则
性指数，系数为－1的平方项个数 r p 称为二次 型 f 的负惯性指数， p (r p) 2 p r 称为二 次型 f 的符号差．
由惯性定理知：二次型的秩及正惯性指数都 是由二次型自身确定的，可逆线性变换不改变二 次型的秩及正惯性指数，正惯性指数等于标准形 中系数为正数的项数，秩正好是规范形中所含变 量的个数．如本节例2中二次型的正惯性指数为 2，负惯性指数为1，符号差为1．
14
例3 用正交替换将二次型
f
17 x12
14
x
2 2
14 x32
4 x1 x2
4 x1 x3
8 x2
x3
化为标准形，并求所作的正交替换.
解 二次型的矩阵
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
r3 r2
17 2 | E A | 2 14
2 4 ( 18)2( 9) ,
第二节
1
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性替换
x Cy ， 把 二 次 型 f (x1, x2,, xn ) xT Ax 化 为 y1, y2 ,, yn 的 平 方 和 : d1 y12 d2 y22 dn yn2 .
从前面分析可以看出，要把一个二次型化为完全平方
和式，只要找一个可逆阵 C，使 C T AC 成为对角阵， 即 A 与一个对角阵合同.
y2
z2
2 z3
,
y3
z3
即
y1 1 0 y2 0 1
1 z1 2 z2
y3
0
0
1
z3
标准形为
f 2z12 2z22 6z32 .
10
x1 1 1 0 y1 x2 1 1 0 y2 , x2 0 0 1 y3
y1 1 0 1 z1 y2 0 1 2 z2 y3 0 0 1 z3
1 3 2 5 2 45
Q 2 3 1 5 4 45
2 3
0
5 45
17
1 3 Q 2 3
2 3
2 5 15
0
2 45 4 45 5 45
1 9 ,
2,3 18 ,
于是所求正交替换为 x Qy ,
标准形为 f 9 y12 18 y22 18 y32 . 注：仿前例1第二部分, 作线性变换
所用变换矩阵为 x C1 y C1( C2z ) ( C1C2 ) z
1 1 0 1 0 1 1 1 3 C 1 1 0 0 1 2 1 1 1 ,( | C | 2 0)
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x1 z1 z2 3z3
对应的线性变换为
x2
1 0 0
2
1
C2 0
0
0 1
22
1 , C2 0
2
0. 11
7
记 C C1C2 , 则原二次型经过可逆线性变换 x C1 y C1C2z Cz , 可化为规范形
f
z12
z
2 2
z32 ,
其中线性变换 x Cz , 的矩阵为
1 4 1
2
22
C
C1C 2
0
0
5
22 1
含有平方项
含有x1的项配方
解
f
2 x12
x22
x
2 3
4
x1
x2
4 x1 x3
6x2 x3
2[ x12 2x1( x2 x3 )] x22 x32 6 x2 x3
2( x1 x2 x3 )2 2x22 2x32 4x2 x3 x22 x32 6x2 x3
2( x1 x2 x3 )2 x22 3x32 10x2 x3 2( x1 x2 x3 )2 ( x2 5x3 )2 22x32 ,
2
2 2 4 4 0 0 0
2 1 , 3 0 ,
0
1
16
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0

1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交替换的矩阵
i1 j1
(2) 求出A的所有特征值 1, 2 ,, n (包括重根在内);
(3) 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n ;
(4)
将
特
征
向
量1
,
2
,,
正
n
交
化,
单
位
化,
得
1 ,2 ,,n , 记C (1 ,2 ,,n ) ;
(5) 作正交替换x Cy, 则得 f 的标准形
f 1 y12 n yn2
x3
0
0
1
y3
标准形为 f 2 y12 y22 22 y32 .
1
所用替换矩阵为
C1
0
1 1
4 5 , ( | C1 | 1 0)
0 0 1
6
再作线性变换
z1
2 y1
z2 22 y3
即
y1
1 2 z1
y2 z3
z3 y2
这线性变换的矩阵为
y3
1 22 z2
2
定义 如果二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) xT Ax 通过可逆线性替换 x Cy ，化为二次型
f d1 y12 d2 y22 dn yn2 ， 其中有多少个
则称之为原二次型的标准形.
pi 不为 0 呢?
如果通过可逆线性替换 x Cy ，二次型化成
f
y12
y22
去掉配方后 多出来的项
5
f 2( x1 x2 x3 )2 ( x2 5x3 )2 22x32 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 5x3
x3
x1 y1 y2 x2 y2 5
4 y3
y3
y3
x3
x3 y3
x1 1 1 4 y1
x2 0 1 5 y2
y2p
y2 p1
yr2
，
则称之为原二次型的规范形.
3
一、用配方法化二次型的标准形
配方法的基本步骤：
(1) 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性替换，就得到标准形;
(2) 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j), 则先作可逆线性替换
xi yi y j x j yi y j
(k 1,2,, n且k i, j)
xk
yk
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法
配方.
4
例1 用配方法化二次型
f 2 x12 x22 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3
为标准形和规范形，并写出对应的可逆线性替换.
原二次型化为
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3
9
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3
再配方，得
f 2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32 ,
z1 y1 y3
令
z2
y2
2 y3
z3
y3
y1 z1 z3
22
1
0
8
例2 用配方法化二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换.
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 x2
y1 y1
y2 y2
,
x1 1 即 x2 1
1 1
0 y1 0 y2
x3
y3
x2 0 0 1 y3
2
4 14
15
17 2
2
| E A | 2 14 4 ( 18)2( 9) ,
2
4 14
8 2
1 9 , 9E A 2 5
2 2 4 0
5 1
4 1 ,
1
1 2 ,
2 4 5 0 0 0
2
1 2 2 1 2 2
2,3 18 , 18E A 2 4 4 0 0 0 ,
20
有
12
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 i (i 1,2,, n) 为二次型的矩阵的特征值.
二、用正交替换法化二次型为标准形
由定理6.2的证明方法2知，实二次型可用正 交变换化为标准形.
13
用正交替换化二次型为标准形的具体步骤：
nn
(1)由将二次型 f
aij xi x j , 写出其矩阵A ;
y z diag(3,3 2,3 2 )z ,
则得原二次型的规范形为 f z12 z22 z32 , 相应的
线性变换的矩阵为 P Q . 这时的矩阵 P 不再是
正交矩阵.
18
三、惯性定理
由例6.3与例6.4可看出,同一二次型可以用不同 的可逆线性变换化为标准形，且标准形未必相同． 但是，标准形中所含正、负平方项的个数却是相同 的.即二次型的规范形式是唯一的.一般地,有
n 定理6.3（惯性定理） 任一 元二次型 f xT Ax
都可以通过可逆线性变换化为规范形
f
y12
y22
y2p
y
2 p1
yr2 (
pr
n)
且规范形是唯一的，其中 r r(,A即) 是二次型的秩.
（证明略）
19
为了方便，在二次型 f xT Ax 的规范形中，
系数为1的平方项个数 p 称为二次型 f 的正惯