湖北省宜城市高二下学期3月月考试题数学(文)Word版含答案

湖北省宜城市第一中学2016-2017 学年高二年级放学期 3 月月考
数学（文科）试题
★祝考试顺利★
时间： 120 分钟分值150分_
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本大题12小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知命题p : x ( ,0), 2x 3x；命题 q : x R , f (x) x3 x2 6 的极大值为6．则下边选项中真命题是（）
（A）. （p ） ( q ）（B）.（p ） ( q ）（C）. p （q ）（D）. p q 2．以下函数中，在区间(0,1) 上是增函数的是
A. y ＝ |x|
B. y ＝2 x
C. y ＝
D. y ＝ x2＋ 4
x
3．当a,b R 时,不等式 a b 1 成立的充要条件是 ( )
a b
A．ab 0 B ． a 2 b2 0 C ．ab 0 D．ab 0
4．f ( x)是定义在（0，）上的非负可导函数，且知足 xf ( x) f ( x) 0 .对随意正数 a,b , 若 a b,则必有（）
A．af (b) bf (a) B. bf ( a) af (b) C. af ( a) f (b) D. bf (b) f (a)
5．若 i 为虚数单位 , 图中复平面内点Z 表示复数z, 则表示复数的点是()
(A)E(B)F(C)G(D)H
6．投蓝测试中，每人投 3 ，起码投中2次才能经过测试，已知某同学每次投篮投中的概率
为 0.6，且各次投蓝能否投中互相独立，则该同学经过测试的概率为（）
A．0.648B．0.432C．0.36 D．0.312
7．. 过点 (2 ，－ 3) 且与直线x－2y+4=0 的夹角为arctan 2
的直线l的方程是( ). 3
A. x +8y+22=0 或 7x－ 4y－ 26=0
B.x +8y+22=0
C. x -8 y +22=0 或 7 +4 － 26=0
D.7
x －4 y － 26=0
x y
8．已知数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列，且 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列，则 a 2 为 A 2 B
3 C
2 D 3
9．“
3
x 2 ＞ 0”是“ x ＜ 0”成立的（
）
A 充足不用要条件 B
必需不充足条件
C 充要条件
D 既非充足也非必需条件
10．在△ ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 A,B,C 成等差数列， 2a,2b,2c 成等比数
列，则 cos AcosB （ ）
A.
1
B.
1 C.
1 D.
2
4
6
2
3
11．会合 A
{ y | y log 2 x, x 1} ， B { y | y ( 1 ) x , x 1}，则 (C R A) B （
） .
2
A ． { y | 0 y
1 B ． { y | 0 y 1}
C ． { y | 1
y 1}
D ．
}
2
2
12．如图，抛物线 y
2
2 px( p 0) 的焦点为 F ，斜率 k 1 的直线 l 过焦点 F ，与抛物线交
于 A 、 B 两点，若抛物线的准线与 x 轴交点为 N ，则 tan
ANF （
）
A ．1
B ．
1
C ．
2 D ．2
2
2
第 II
卷( 非选择题 共 90 分)
二、填空题：本大题共
4 小题，每题
5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应
的横线上．
13．若复数
z 知足 (1 ＋ i) ＝2i(i 为虚数单位 ) ，则 | z | ＝
.
z
14．直线 l : x 4 y
2 与圆 C : x 2
y 2 1 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，若直线 OA 、
OB 的倾斜角分别为 、 ，则 cos cos = ．
15．如图，为丈量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为丈量观
测点．从 M
点测得 A 点的俯角
NMA 30,C
点的仰角
CAB 45 以及
MAC 75 ；从 C 点测得 MCA 60 已知
山高 BC 200m，则山高 MN m ．
16. 已知抛物线y2 2 px( p＞0) 上一点M (1, m)到其焦点的距离为5，双曲线x2y
2 1 a
的左极点为 A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数 a=__.
三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17. （此题满分 12 分）已知递加数列a n 的前 n 项和为 S n，且知足 2S n a n2 n ．
（I ）求a n；
（II ）设b n a n 1 2n，求数列b n 的前 n 项和 T n．
18. （此题满分12 分）函数f ( x)Asin( x)( A 0,0,| |) 的部分图象如图所
2
示.
（ 1）求f (x)的最小正周期及分析式；
（ 2）设g (x) f ( x) cos2x ，求函数g( x) 在区间
[ 0, ] 上的最小值.
2
19．（此题满分12 分）一种饮料每箱装有 6 听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示．
（Ⅰ）求这箱饮料的均匀容量和容量的中位数；
（Ⅱ）假如从这箱饮猜中随机拿出 2 听饮用，求取到的 2 听饮猜中起码有 1 听的容量为 250ml 的概率．
20. （此题满分12 分）如图，圆O为三棱锥P－ ABC的底面 ABC
的外接圆， AC 是圆 O 的直径， PA ⊥ BC ，点 M 是线段 PA 的中点 .
(1) 求证： BC ⊥ PB ；
(2) 设 PA ⊥AC ， PA ＝AC ＝ 2， AB ＝ 1，求三棱锥 P － MBC 的体积；
(3) 在△ ABC 内能否存在 点 N ，使得 MN ∥平面 PBC ？请证明你的结论 .
21. （此题满分 12 分）已知函数 f x x 2
2m 1 x m ln x .
（1 ）当
m 1
时 , 求曲线 y f
x 的极值 ;
（2 ）求函数 f x 的单一区间 ;
（3 ）若对随意 m
2,3 及 x
1,3 时 , 恒有 mt f
x 1成立 , 务实数 t 的取值范
围；
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分
. 作答时请
写清题号 .
22. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程
已知直线 l 的参数方程为
x 1 t cos
y
1 （ t 为参数）．以 O 为极点， x 轴的非负半
t sin
轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
cos2 ．
（ I ）写出直线 l 经过的定点的直角坐标，并求曲线 C 的一般方程；
（II ）若
，求直线 l 的极坐标方程，以及直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标．
4
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲
设函数 f x x 4 x 1 ．
（1）解不等式：
f x 5 ；
g x
2017 x 2016
f x
2m
的定义域为 R ，务实数
m
的取值范围
（2）若函数
数 学（文科类）参照答案
1-5 BABAD 6-10 AADBA 11-12 DC
13.
2； 14.
4 15.
300 16.
1
17
4
a 12
17. 解：（Ⅰ）当
n 1 时， 2S 1 1 ，解得 a 1 1； (1)
分
当 n
2时，由 2S n a n 2 n ，得 2S n 1
a n 2 1 n 1 ，
两式相减，得 2 S n
S
n 1
a n 2 a n 2 1 1 ，
即 a n 2
a n 2 1 0 ，即 (a n a n 1 1)(a n
a n 1 1) 0
1
∵数列
a n 为递加数列，∴ a n a n 1 1 0，
∴ a n
a
n 1
1 ， (4)
分
∴ 数列 a n 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，故 a n n ； (6)
分
（Ⅱ） b n
( n 1)2n ，
T n 2 21 3 22
n 1 2n ，
T n =
2 22
3 23
n 2n
n 1
2n 1 ， (8)
分
两式相减，得－ T n
4
22 23
2n
n 1 2n 1
4 4 1
2n 1
n 1
2
n 1
1 2
n 2n 1 ， (11)
分
T n n 2 n 1
， N *
. (12)
分
n
18. 解：（ 1）由图可得 A
1，
T
2 6
，所以 T
，
2 。

2 3
2
当 x
时， f ( x) 1 ，可得 sin(2
) 1 ，
6
6
由于
2 ，所以
6 ，所以 f ( x)
sin(2 x
）。

6
（2） g( x) f ( x) cos x sin( 2x
) cos 2x
6
sin 2x cos cos 2x sin cos2x
6 6
3
sin 2x
1
cos2 x sin( 2x )
2 2
6
0 x
,
2x
5 ，当 2x
，即 x
0 时， g ( x) min
1 6 6
6 6 。

2
6
2
19. 解：（Ⅰ）由茎叶图知，这箱饮料的均匀容量为249+ =249，
容量的中位数为
=249．
（Ⅱ）把每听饮料标上号码，此中容量为 248ml ，249ml 的 4 听分别记作 1，2， 3， 4，
容量炎 250ml 的 2 听分别记作： a ， b ．抽取 2 听饮料， 获得的两个标志分别记为
x 和 y ，则 {x ， y} 表示一次抽取的结果，
即基本领件，从这 6 听饮猜中随机抽取
2 听的全部可能结果有：
合计 15 种，即事件总数为 15．
此中含有 a 或 b 的抽取结果恰有 9 种，即“随机拿出 2 听饮用，
取到的 2 听饮猜中起码有 1 听的容量为 250ml ”的基本领件个数为 9．
所以从这箱饮猜中随机拿出 2 听饮用，取到的 2 听饮猜中起码有 1 听的容量为 250ml 的概率
为
．
20.(1) 证明
如图，由于，
是圆 O 的直径，所以
⊥ ，
AC BC AB
由于， BC ⊥PA ，又 PA 、 AB ? 平面 PAB ，且 PA ∩ AB ＝ A ，
所以， BC ⊥平面 PAB ，又 PB ? 平面 PAB ，
所以， BC ⊥PB ，
(2) 解 如图，在 Rt △ ABC 中， AC ＝ 2，AB ＝ 1，
所以， ＝ 3，所以， △ABC ＝ 3 ，
2
BC S
由于 PA ⊥ BC ， PA ⊥ AC ，所以 PA ⊥平面 ABC ，
1 3 1 3 3
所以， V P －MBC ＝ V P － ABC － V M －ABC ＝ 3× 2 × 2－ 3× 2 ×1＝6. (3) 解 如图，取 AB 的中点 D ，连结 OD 、MD 、 OM ，
则 N 为线段 OD ( 除端点 O 、 D 外) 上随意一点即可，原因以下：由于， M 、 O 、 D 分别是 PA 、 AC 、AB 的中点，
所以， MD ∥PB ， MO ∥PC ，
由于， MD ?平面 PBC ， PB ? 平面 PBC ，
所以， MD ∥平面 PBC ，同理可得， MO ∥平面 PBC ，
由于， MD、MO?平面 MDO， MD∩MO＝ M，所以，平面MDO∥平面 PBC，
由于， MN? 平面 MDO.故， MN∥平面 PBC. 21. 解：（ 1）极小值为f 1 3 ln 2 .
2 4
（ 2 ） f ' x 2x 2m 1 m 2x2 2m 1 x m
, 令 f ' x 0 可得x x
x11
, x2 m . 2
①当 m 0 时, 由 f ' x 0 可得 f x 在0, 1
上单一递减 , 由f ' x 0 可得 f x 在2
1
上单一递加 . ,
2
②当 1 m 0 时,由 f ' x 0 可得 f x 在m, 1
上单一递减, 由f ' x 0 可得
2 2
f x 得在 0, m 和 1 , 上单一递加 .
2
2
③当 m 1 2 x
1
可得 f x 在 0,
时 , 由 2 上单一递加 .
2 x 0
f ' x
④当 m 1 时 , 由 f ' x 0 可得 f x 在 1 , m 上单一递减 , 由 f ' x 0 可得 f x
2 2
得在 0,1
和m, 上单一递加 . 2
（3）由题意可知, 对m 2,3 , x 1,3 时 , 恒有 m t 1 f x 成立, 等价于mt 1 f x min,
由（ 2）知, 当m 2,3 时 , f x 在1,3 上单一递加, f x
min f 1 2m , 所以原题等
价于m 2 , 3 时,恒有 mt 1 2m 成立, 即 t 2 1
. 在 m 2,3 时 , 由m
7 1 5
, 故当t 7
时 , mt 1 2m 恒成立,
7
2 t. 3m 2
3 3
22. 解：（Ⅰ）直线 l 经过定点 ( 1, 1) ，---------------------------------2
分
由
cos 2 得
2
( cos
2)2 ，
得曲线 C 的一般方程为 x 2
y 2 ( x 2) 2 ，化简得 y 2 4x 4； ---5 分
x
1
2 t
（Ⅱ）若
，得
2 ，的一般方程为 y x
2 ， -----------6
分
4
y 1 2
t
2
则直线 l 的极坐标方程为 sin cos
2 ， ----------------------8
分
联立曲线 C ：
cos
2 ．
得 sin
1，取
，得
2 ，所以直线 l 与曲线 C 的交点为 (2,
)． --10 分
2
2
23. 解（ 1）
x 0
，5 ；（ 2） m
3 ， ．
2
（2） g x 的定义域为 R ? x R ，恒有 f x 2m 0 ，
也即方程 x 4 x 1
2m 在 R 上无解，
因 x 4
x 1
3 ，即 x 4
x 1 [3 ， ) ，
m
3 ， 所以问题等价于 2 m 3 ，也即
2。