天津市和平区2019届高三数学下学期二模考试试题 文

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天津市和平区2019届高三数学下学期二模考试试题 文
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分.
考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项：
1。

答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分,共40分。

参考公式:
•如果事件
B A ，互斥，那么 •如果事件B A ，相互独立，那
么
)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.
•柱体的体积公式Sh V =。

•锥体的体积公式Sh V 3
1
=。

其中S 表示柱体的底面积， 其中S 表示锥体的底面积，
h 表示柱体的高。

h 表示锥体的高。

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设全集R U =，集合})1lg({2-==x y x M ，{02}N x x =<<，则
=N M C R )(
（A ） {}12≤≤-x x (B) {}10≤<x x (C ） {}
11≤≤-x x （D)
{}
1<x x
（2） 已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
1424
2y x y x y x 则y x z -=2的最小值为
（A ） 2 (B ） 4 (C ）
21 （
(3） 执行如图所示的程序框图，若输入的6=n ， 则输出=S （A) 145 （B) 31 (C ） 5627 (D ） 10
3
(4) 下列结论错误的是
（A ） 命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x "
（B) “b a >"是“22bc ac >”的充分不必要条件 （C ） 命题：“R x ∈∃， 02>-x x ”的否定是“R x ∈∀， 02≤-x x "
(D) 若“q p ∨"为假命题，则q p ,均为假命题
（5) 已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，当),0(+∞∈x 时，
2
x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)4
1
(f b =,)2(f c =,则c b a ,,的大小关系
是
(A) c b a >> (B ） c a b >> (C) b a c >> (D) b c a >>
(6） 将函数f (x )＝2cos 错误!图象上所有点的横坐标缩短到原来的错误!倍（纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x ）的图象，则函数y ＝g (x ）的图象的一个对称中心是
（A ） 错误! (B ）错误! （C ）错误! （D ）错误! （7） 已知双曲线1:
2
22
2=-b y a x C )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，直线
c
a x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a O (为原点），则抛
物线x a
b
y 22=
的准线方程为 （A ） 21
=y (B ） 1=x (C ） 1-=x (D) 2=x
（8） 在ABC ∆中，62==AC AB ，2
BA BC BA =⋅，点P 是ABC ∆所在
平面内的一点，则当2
2
2
PC PB PA ++取得最小值时，=⋅BC AP
(A)
5
3
（B) 9- （C) 7 （D ） 5
2-
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项：
1。

用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2。

本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. (9） 如果
mi i
+=-112
（i R m ,∈表示虚数单位）,那么=m . （10） 已知曲线1ln 42+-=x x y 的一条切线的斜率为2
1
- ，则切点的横坐标为 .
（11) 过点)4,3(-P 作圆9:22=+y x C 的两条切线，切点分别为B A ,，则
点P 到直线AB 的距离为 。

（12） 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm 的球面上,如果该四棱
柱的底面是对角线长为2cm 的正方形,侧棱与底面垂直,则该四棱柱的表面积为 .
3
（13） 若不等式a x x 312232-≤++-对任意实数x 都成立，则实数a 的最大
值为 .
（14) 已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧∈-∈-+=，，，
，，，]10(3]01(311
)(x x x x x f 且函数
m mx x f x g --=)()(在]11(，-内有且仅有两个不同的零点，则实数
m 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(15） （本小题满分13分)
已知三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且
B c a cos )2(-=
C b cos .
（Ⅰ)求角B 的大小及)3
2cos(π
+
B 的值；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积为22，求c a +的最小值.
(16） (本小题满分13分)
某地区有小学21所，中学14所，大学7所。

现采用分层抽样的方法从
这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查。

(Ⅰ） 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(Ⅱ） 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析： ①列出所有可能抽取的结果; ②求抽取的2所学校没有大学的概率.
（17) (本小题满分13分）
如图,已知⊥AB 平面ACD ，DE AB //22====AB DE AC AD , 且F 是CD 的中点，3=AF . (Ⅰ) 求证：//AF 平面BCE ；
（Ⅱ） 求证：平面⊥BCE 平面CDE ； （Ⅲ) 求CB 与平面CDE 所成角的正弦值.
(18） (本小题满分14分)
设椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的左、右焦点分别1F 、1F ,右顶点为A ，
上顶点为B 。

已知212
3
F F AB =
. F
C
A
E
D
B
4
(Ⅰ) 求椭圆的离心率;
（Ⅱ) 设P 是椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，且经过原
点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率。

(19) (本小题满分13分)
已知数列}{n a 是正项等比数列,324312,10a a a a a =-=+,数列}{n b 满足条件n b n a a a a )2(321= . (Ⅰ) 求数列}{n a 、}{n b 的通项公式; （Ⅱ） 设n
n n b a c 1
1-=
,记数列}{n c 的前n 项和n S . ①求n S ;
②求正整数k ,使得对任意*∈N n ,均有n k S S ≥.
（20) (本小题满分14分)
已知函数k e k
x x f x
(ln )(+=
为常数）.曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行。

（Ⅰ) 求k 的值；
(Ⅱ） 求函数)(x f 的单调区间；
(Ⅲ) 设)()()(2x f x x x g '+=，其中)(x f '为)(x f 的导函数.
证明：对任意0>x ,21)(-+<e x g .
和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查
数学(文）学科试卷参考答案
一、选择题 （每小题5分,共40分)
（1） B (2) C (3） B (4) B (5） D （6) A (7) C （8) B
二、填空题 (每小题5分，共30分）
(9） 1 （10） 1 （11） 516 (12) 242+ (13) 31
-
(14） ⎥⎦
⎤
⎝
⎛⎥⎦⎤ ⎝
⎛--2
3,02,49
三、解答题 (本大题共6小题，共80分） （15) (本题13分)
（Ⅰ) 解:由正弦定理
C
c
B b A a sin sin sin =
= 及已知B c a cos )2(-=C b cos
得
B C A cos )sin sin 2(-=C B cos sin …… （2 分)
即
+=B C B A cos sin cos sin 2C B cos sin =
)sin(C B + …… （3 分）
由ABC ∆中，
A C
B sin )sin(=+.
得
A B A sin cos sin 2= ……（4 分）
由
0sin ≠A ，得2
2cos =
B 。

故
4
π
=
B 。

…… （6 分) 所以,2
3
3
sin
)3
2
cos(
)3
2cos(-
=-=+
=+
π
π
π
π
B . …… （8 分）
（Ⅱ) 解:由题知 22sin 2
1
==
∆B ac S ABC ，解得
8=ac ……… (10 分)
242=≥+ac c a ，当且仅当c a =时等号成
立。

……… （12 分)
所以，c a +的最小值为24 。

……… （13 分)
（16) (本题13分)
（Ⅰ) 解: 学校总数为4271421=++,分层抽样的比例为
7
1
426=
÷ … （2 分) 计算各类学校应抽取的数目为：37121=⨯
，27
1
14=⨯，17
1
7=⨯。

（3 分） 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为1
,2,3所。

…… （4 分）
（Ⅱ) 解: ① 在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为321,,a a a ；2
所中学分别记为
2
1,b b ;1所大学记为
c . …… （5 分）
则应抽取的2所学校的所有结果为：
{}21,a a ,{}31,a a ，{}11,b a ，{}21,b a ,{}c a ,1，
{}32,a a ,{}12,b a ，{}22,b a ，{}c a ,2， {}13,b a ，{}23,b a ，{}c a ,3，
{}21,b b ，{}c b ,1，{}c b ,2，共15种。

……
（10 分)
②设“抽取的2所学校没有大学”作为事件A .其结果共有10种.
所
以,3
2
1510)(==
A P . …………(13分) (17) （本题13分）
(Ⅰ) 证明: 如图，取CE 的中点G ,连FG BG ,. …… （1 分）
由F 是CD 的中点，∴DE FG //，且DE FG 2
1
=。

又DE AB //，且DE AB 2
1
=。

∴FG AB //，且FG AB =.
∴ABGF 是平行四边形。

…… （2 分)
从而BG AF //.
又AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，
因此，//AF 平面BCE 。

…… （4 分)
(Ⅱ） 证明: ∵AC AD =，F 是CD 的中点，
∴CD AF ⊥。

……
(5 分)
∵⊥AB 平面ACD ,DE AB //。

∴⊥DE 平面ACD 又⊂AF 平面ACD ，∴AF DE ⊥. ……（6 分)
而C CD DE = ,
∴⊥AF 平面CDE 。

……
(7 分)
由BG AF //知⊥BG 平面CDE 。

……
（8 分）
∵⊂BG 平面BCE ，
∴平面⊥BCE 平面CDE 。

……
（9 分）
(Ⅲ） 解: 由（Ⅱ） 知⊥BG 平面CDE .
∴CG 是CB 在平面CDE 内的射影。

…… (10 分) 则CB 与平面CDE 所成的角为BCG ∠。

……
(11 分)
在CBG Rt ∆中，由已知计算得3,5==BG CB . 则515
5
3sin =
==
∠BC BG BCG 。

…… (12 分)
因此,CB 与平面CDE 所成角的正弦值为
5
15
. …… （13 分)
(18) (本题13分） (Ⅰ) 解: 由212
3
F F AB =
，
可得 2223c b a =+ ， …………F
C
A
E
D
B
G
(1分）
又2
2
2
c
a b -=，解得
212
2
=a
c .则椭圆的离心率
2
2
=
e . …………(3分） （Ⅱ) 解：由(Ⅰ）知,222c a =， 22c b =.故椭圆方程为
122
2
22=+c y c x 。

………（4分） 设),(00y x P 。

由)0,(1c F -，),0(c B ，有),(001y c x P F +=，),(1c c B F =。

由
已
知
，
有
11=⋅B F P F ，即
0)(00=++c y c c x 。

……………（5分)
又0≠c 故有000=++c y x . ①
又
因
为
点
P 在椭圆上,故
122
202
20=+
c
y c
x
② ……………(6分）
由①和②可得043020=+cx x 。

而点P 不是椭圆的顶点，
故c x 340-=.代入①得3
0c
y =，即点P 的坐标为
)3
,34(c
c - 。

…………（7分） 设圆的圆心为),(11y x T ，则c c
x 3220
341-=+-=，c c c y 3
2231=+= ，
进而知圆的半径
c c y x r 3
5
)()0(2121=-+-= 。

……（9分)
设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为
kx y =. ……(10分）
由
l 与圆相切，可得
r k y kx =+-1
2
11,即
c k c
c k 3
5
1
3
2
)32(2=
+-- 。

………(11分） 整理得0182=+-k k ，解得154±=k 。

所以，直线l 的斜率为154+ 或
154-. …………（13分)
(19) (本题14分) （Ⅰ) 解:设11-=n n q a a . …………(1分）
由⎩⎨⎧=-=+32431210a a a a a 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21131
211210
q a q a q a q a a 。

解得1-=q 或0或2。

已知数列}{n a 是正项等比数列，舍1-=q 和0。

则
⎩⎨
⎧==2
2
1q a ………(3分) 数列
}
{n a 的通项公式为
n n a 2=. …………………(4分)
∵n b n a a a a )2(321= ∴2
2
)1(3
2
222222n b n n n
=
=
⨯⨯⨯⨯+ 。

则)1(+=n n b n 。

数
列
}{n b 的通项公式为
)1(+=n n b n . …………………（6 分）
（Ⅱ） 解: 由（Ⅰ)得)
1(1
2111+-
=-=
n n b a c n n n n
①设
n
n a p 1=
,}
{n p 的前n 项和为
n
P .则
n n n P 2
1
12121212-=+++=。

……（7分） 又设1
1
11+-
==n n b q n n ，}{n q 的前n 项和为
n Q . ……（8分）
则1
1
1)111()3121()211(+-
=+-++-+-=n n n Q n 。

……(9分)
所以
=-=n n n Q P S n 2
11-n n n 21
11)111(-+=+-- ……
（10分） ②令
=++--+=-++n n n n n n S S 21
11212111)
2)(1(22)2)(1(1
1++-++++n n n n n n 。

……（11分） 由于12+n 比)2)(1(++n n 变化快，所以令01>-+n n S S 得4<n . 即4321,,,S S S S 递增，而n S S S S 654,,递减.所以,4S 最
大. ……（13分）
即当4=k 时
，
n k S S ≥。

……（14分） （20） （本题14分） （
Ⅰ
）
解
：
由
x
e k x x
f +=
ln )(可得
),0(,ln 1
)(+∞∈--='x e x k x x f x。

…………(1分）
而0)1(='f ,即
1=-e
k
，解得1=k . ………(2分)
（Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知，),0(,1ln 1
)(+∞∈--='x e x x x f x
. 设1ln 1)(--=x x x k ,则01
1)(2<--='x x
x k 。

即)(x k 在),0(+∞上是减
函数。

（3分)
由0)1(=k 知，当10<<x 时，0)(>x k ，从而0)(>'x f ；
当1
>x 时，0)(<x k ，从而0)(<'x f . ………（5分）
综上可知,)(x f 的单调递增区间为)1,0(，单调递减区间为
),1(+∞。

……（6分)
（Ⅲ） 证明:因为)()()(2x f x x x g '+=,所以)ln 1(1
)(x x x e
x x g x --+=，
),0(+∞∈x . …(7分）
对任意0>x ，2
1)(-+<e x g 等价于)1(1
ln 12-+⋅+<--e x e x x x x
. ………（8分)
设x x x x h ln 1)(--=,),0(+∞∈x ，
则)ln (ln 2ln )(2---=--='e x x x h ，),0(+∞∈x 。

当),0(2-∈e x 时，0)(>'x h ,故有)(x h 单调递增。

当),(2+∞∈-e x 时,0)(<'x h ，故有)(x h 单调递减。

所以，)(x h 的最大值为221)(--+=e e h 。

则
21ln 1-+≤--e x x x 。

………（10分）
设)1()(+-=x e x x ϕ
因为01)(e e e x x x -=-='ϕ，所以当),0(+∞∈x 时,0)(>'x ϕ，)(x ϕ单
调递增。

则0)0()(=>ϕϕx .即0)1(>+-x e x ,从而有
11
>+x e x。

………(12分) 则<+≤---2
1ln 1e x x x )1(1
2-++e x e x .
因此,对任意0>x ，
2
1)(-+<e x g 。

………(14分）。