黑龙江省2021学年高二数学10月月考试题 文

黑龙江省2021学年高二数学10月月考试题 文
一、选择题(本大题共12道小题，每道小题5分，共60分)
1. 椭圆
116
92
2=+y x 的一个焦点坐标为（ ） A.(5，0) B.(0，5) C.(
，0) D.(0，
)
2. （ ） A.,11a b a b >-≤-若则 B.,11a b a b ≥-<-若则
C.
,11
a b a b ≤-≤-若则 D.
,11
a b a b <-<-若则
3.已知等比数列 满足 （ ）
A. 21
B. 42
C. 63
D. 84 4.抛物线y ＝ax 2
的准线方程为y ＝－1，则实数a 的值是( ) A ．
41 B ．21 C ． －41 D ． －2
1
5.已知椭圆E ：122
22=+b
y a x 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2作x 轴的垂线，交椭圆于A ，
B 两点．若等边△ABF 1的周长为 ，则椭圆的方程为( )
A ．＋＝1
B ．＋＝1
C ．＋＝1
D ．＋＝1
6.如果双曲线
()0,0122>>=-n m n y m x 的渐近线方程渐近线为x y 2
1±=，则椭圆122=+n y m x 的离心率为 A.
23 B. 43 C. 45 D. 16
5 7.过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2
＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )． A ． 132 B ．152 C ． 172 D ． 192
8.（1）已知命题p:
恒过（1,2）点；命题q ： 为偶函数，则 的图像关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（ ）
:a b,a 1b 1,p p >->-命题若则则命题的否命题为=
++=++=7
535311,21,3a a a a a a a 则{}
n a 34()1
=201x y a a a +->≠函数且()1f x -若函数y=()f x 1x =
A. B. C. D. 9.已知双曲线1222
=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥则21PF F ∆的面积是( )
A. 4
B. 2
C. 1
D.
2
1 10.已知点P 在曲线 上，点Q 在曲线 上，点R 在曲线 上，则
的最大值是（ ） A.6 B. 8 C.12 D.10
11.ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为222
4
a b c
+-，则C =
（ ）
A.
π2 B. π
3 C. π
4 D. π6
12.已知A ，B ，C 是双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过
右焦F ，若AC BF ⊥，且CF AF =3，则该双曲线的离心率为（ ） A.
210 B. 25 C. 310 D. 3
2
二．填空题：本大题共4道小题，每道小题5分，共20分
13.已知命题3
:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是 . 14.双曲线 上一点到点的距离为，则点到点的距离
为 ．
15.已知F 是抛物线 2
x y =的焦点，M 、N 是该抛物线的两点，3=+NF MF ,则线段MN 的中点到x 轴的距离为 .
16.设1F 、2F 别是椭圆 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为（6，4），则
的最大值为 .
三.解答题：本题共6道小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19
16:221=-y x C ()15:222=+-y x C ()15:22
3=++y x C PR PQ -p q Λp q ⌝Λ⌝p q
⌝Λp q Λ⌝
17.（本小题满分10分）
18.（本小题满分12分）抛物线)0(22
>=p px y 上有一点),4(m Q 到焦点的距离为5， （1）求m p ,的值；
（2）过焦点且斜率为1的直线L 交抛物线于B A ,两点，求线段AB 的长。

19.（本小题满分12分）
在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，
2225()ac a b c =--.
（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值.
20.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ,1
,2
AB BC AD BAD ==
∠ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;
（2）若△PCD 的面积为7，求四棱锥P ABCD -的体积.
21.（本小题满分12分）已知椭圆 过点 ，离心率是2
3. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线
与椭圆C 交于A,B 两点，线段AB 的中点为 .求直线
与坐标轴围成的三角形的面积.
22.(本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，B （2,0）
AB AF 7=,抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F. （1）求1C 的标准方程；
（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 的交点分别是P,Q 和M,N 使得OMN OPQ S S ∆∆=2
1
?如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
参考答案
90.ABC =∠=︒⎪
⎭⎫
⎝⎛21,21M l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3p )0(1:2
222>>=+b a b y a x C
一.选择题
二．填空题
13. 14. 13 15. 4
5
16. 15 三.解答题（本题共6道小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：由 得，112x ≤≤
由
得 因为 的必要不充分条件， 所以p 是q 的充分不必要条件.实数 的取值范围是 18、解：（1））抛物线的焦点是)0,2(
p ，由题可得52
4=+p
，解得2=p 所以，抛物线的方程为x y 42
=，又点),4(m Q 在抛物线上， 所以4,442
±=⨯=m m （2）设),(),,(2211y x B y x A ，直线L 的方程为1-=x y
联立⎩⎨⎧-==1
42x y x y 得0162
=+-x x 所以，621=+x x ，82||21=++=x x AB ，
19.（1）解：由sin 4sin a A b B =，及
sin sin a b
A B
=
，得2a b =. 由2
2
2
)ac a b c =--，及余弦定理，得222
5cos 25
b c a A bc
ac +-=
==-.
（2）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =
，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 45
a A B
b ==.
3002,80
x x ∃<-≥2
2310x x -+≤2(21)(1)0x a x a a -+++≤{}
1q x a x a ≤≤+命题为p q ⌝⌝是a
10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
112p x x ⎧⎫∴≤≤⎨⎬⎩⎭
命题为
由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以2
25cos 1sin 5B B =-=
.于是4
sin 22sin cos 5
B B B ==， 23
cos 212sin 5
B B =-=，故
4532525
sin(2)sin 2cos cos 2sin ()55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-
20.解：
（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC ∥AD.又BC PAD ⊄平面，
AD PAD ⊂平面，故BC ∥平面PAD.
（2）去AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由1
2
AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD.
因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为CM ABCD ⊂底面，所以PM ⊥CM. 设BC=x ，则CM=x ，CD=
，PM=
，PC=PD=2x.取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以
因为△PCD 的面积为
，所以 ，
解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=
，
所以四棱锥P-ABCD 的体积.
21.解（1）由已知得
3,1,21413,2322====+=c b a b
a a c 得 14
22
=+∴y x 椭圆的标准方程为
（2）()()14
,14,,,2
22
221212211=+=+y x y x y x B y x A 带入椭圆方程得设两式相减得
()()()
()04
2121
2121=+-++-y y y y
x x x x ，中点坐标公式得1,12121=+=+y y x x
2
5
,085,021412141====⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=∴x y y x x y AB k AB 令令方程为直线
32
25
258521=
⨯⨯=S 22.解：（1
=所以2227b a a +=由右顶点B （2,0）得3,22
==b a 所以
13
42
21=+y x C 的标准方程为.
（2）存在。

由题可知2C 的方程为x y 42
-=，假设存在符合题意的直线，设该直线为
()()()()44332211,,,,,,,,1y x N y x M y x Q y x P ky x -=联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
1
22y x ky x 得()096432
2=--+ky y k
()
4
31
124,4
39
,43622212
2121221221++=-+=
-+-=+=+k k y y y y y y k y y k k y y 则联立
4,4,0444143432
2
-=-=+=-+⎩⎨⎧-=-=y y k y y ky y x
y ky x 得所以14243+=-k y y 若OMN OPQ S S ∆∆=
2
1
则36214321±
=-=-k y y y y 得 所以符合题意的直线为013
60136=+-=++
y x y x 或。