【精品】山东省泰安市2019年中考数学一轮复习第一部分系统复习成绩基石第三章函数及其图象第13讲二次函数的
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第13讲 二次函数的综合及应用
考点 二次函数与一元二次方程的关系
根 两个 两个不相等 唯一的公共点 无 无
|x2－x1|
考点
二次函数的应用
命题点 二次函数与一元二次方程的关系
考情分析►从近几年中考的题目来看，二次函数与一元二次方程是中考重点内容，有时单独考查，有时 与二次函数的性质结合起来考查，通常以选择题的形式出现．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2018· 莱芜]函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立 的x的取值范围是( A ) A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
3．[2018· 贵阳]已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将 该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不 变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交 D 点时，m的取值范围是( ) A．－ 4 ＜m＜3 B．－ 4 ＜m＜2 C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
类型 二次函数与一元二次方程的关系
例1►[2018· 南京]已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝2(3)x＋2(3)的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在， 说明理由．
5．[2016· 泰安，T28，10分]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴 交于点E，B. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
1．[2017· 泰安，T15，3分]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部其图象的对称轴为x＝1；③当x<1时，函数值y随 x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有( B ) A．1个 B ．2 个 C．3个 D ．4 个
6．[2015· 泰安，T29，12分]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一交点为A(－6， 0)，与y轴的交点为C(0，3)，且经过点G(－2，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为 S，求S的最大值；
(3)若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D，M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB ＝∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
命题点
二次函数的综合题
考情分析►与二次函数有关的综合题是泰安中考题的压轴题之一，是每年必考的内容，分值一般为11分， 难度大、综合性强．将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起进行考查，解这类问题关键是善于 将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目 中的一些隐含条件．
3．[2018· 泰安，T24，11分]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0， 6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)， 作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出 最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行 四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．
解题要领►本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式， 解题的关键：①由方程2(x－1)(x－m－3)＝0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；②利用二 次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
1．[2018· 陕西]对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物 线的顶点一定在( C )
2．[2014· 泰安，T20，3分]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与 y的部分对应值如下表：
下列结论： (1)ac<0； (2)当x>1时，y的值随x值的增大而减小； (3)3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根； (4)当－1<x<3时，ax2＋(b－1)x＋c>0. 其中正确的个数为( B ) A ．4 B．3 C．2 D．1
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 点P的坐标，若不存在请说明理由．
4．[2017· 泰安，T28，11分]如图，是将抛物线y＝－x2平移后得到 的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)， 另一个交点为B，与y轴的交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式；
7．[2014· 泰安，T29，11分]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点 (－1，4)，且与直线y＝－2(1)x＋1相交于A，B两点(如图)，A点在y 轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(－3，0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点 M，求MN的最大值；
(3)在(2)的条件下，点N在何位置时，BM与NC互相垂直平分？并求出所有满足条件的 N点的坐标．
2 8．[2013· 泰安，T29，12分]如图，抛物线y= x 2 ＋bx＋c与y轴交 于点C(0，－4)，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为(2，0)．
1
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值；
考点 二次函数与一元二次方程的关系
根 两个 两个不相等 唯一的公共点 无 无
|x2－x1|
考点
二次函数的应用
命题点 二次函数与一元二次方程的关系
考情分析►从近几年中考的题目来看，二次函数与一元二次方程是中考重点内容，有时单独考查，有时 与二次函数的性质结合起来考查，通常以选择题的形式出现．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2018· 莱芜]函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立 的x的取值范围是( A ) A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
3．[2018· 贵阳]已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将 该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不 变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交 D 点时，m的取值范围是( ) A．－ 4 ＜m＜3 B．－ 4 ＜m＜2 C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
类型 二次函数与一元二次方程的关系
例1►[2018· 南京]已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝2(3)x＋2(3)的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在， 说明理由．
5．[2016· 泰安，T28，10分]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴 交于点E，B. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
1．[2017· 泰安，T15，3分]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部其图象的对称轴为x＝1；③当x<1时，函数值y随 x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有( B ) A．1个 B ．2 个 C．3个 D ．4 个
6．[2015· 泰安，T29，12分]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一交点为A(－6， 0)，与y轴的交点为C(0，3)，且经过点G(－2，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为 S，求S的最大值；
(3)若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D，M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB ＝∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
命题点
二次函数的综合题
考情分析►与二次函数有关的综合题是泰安中考题的压轴题之一，是每年必考的内容，分值一般为11分， 难度大、综合性强．将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起进行考查，解这类问题关键是善于 将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目 中的一些隐含条件．
3．[2018· 泰安，T24，11分]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0， 6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)， 作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出 最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行 四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．
解题要领►本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式， 解题的关键：①由方程2(x－1)(x－m－3)＝0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；②利用二 次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
1．[2018· 陕西]对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物 线的顶点一定在( C )
2．[2014· 泰安，T20，3分]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与 y的部分对应值如下表：
下列结论： (1)ac<0； (2)当x>1时，y的值随x值的增大而减小； (3)3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根； (4)当－1<x<3时，ax2＋(b－1)x＋c>0. 其中正确的个数为( B ) A ．4 B．3 C．2 D．1
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 点P的坐标，若不存在请说明理由．
4．[2017· 泰安，T28，11分]如图，是将抛物线y＝－x2平移后得到 的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)， 另一个交点为B，与y轴的交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式；
7．[2014· 泰安，T29，11分]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点 (－1，4)，且与直线y＝－2(1)x＋1相交于A，B两点(如图)，A点在y 轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(－3，0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点 M，求MN的最大值；
(3)在(2)的条件下，点N在何位置时，BM与NC互相垂直平分？并求出所有满足条件的 N点的坐标．
2 8．[2013· 泰安，T29，12分]如图，抛物线y= x 2 ＋bx＋c与y轴交 于点C(0，－4)，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为(2，0)．
1
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值；