2016张宇高数笔记-第一版-带封面-第一次修订

⃗( , , ) =
( → ) ( )
( , , ), ( , , ), ( , , )
= , = + +
=
= ，其中 、 为常数，
| | > ，证明 ′( )存在，且 ′( ) = 。 ( ) = ，则 ( ) = + ( )，其中 若
→• (
3、圆与椭圆
→•
( )=
( − ) +( − ) = = + = + 圆心( , ), 面积 =
[例] = ∭ , 由 = ②球面坐标系
平面切 锥面切 ⇒ 球面切
+
; = ; = 围成
( , , )
(
( ) ( , )
, ( ,
, ,
) )
( + )< ； )⋯( +
→
=
( ) ( , )
1、由拉格朗日中值定理得 ( ) − ( ) = ′( )( − ) 令 ( ) = ( + ), 在[ , ]上用拉格朗日中值定理 ( + )− + 2、 = + + < ( + )= < + ( − )
（1）精确定义
( , , ) =
→
2、极限化积分
( + − , + − , + − ) − ∙ − ∙ −
→
=
→
( )=
( )
2、计算
（1）基础题 ①直角坐标系，柱面坐标系 1°先一后二法——投影穿线法
( )
第二讲 一元函数微积分学
综述：①定义；②计算；③应用(几何,物理)；④逻辑证明(中值,不等式,零点)
三、数列极限的计算 1、通项已知且易于连续化，用归结原则（海涅定理） 。
记 x 为连续变量 。 。 。 由归结原则，原式= [例]计算①
→
（答题时写上） ( + + )
3
+ +
√
②
→
34
2、通项已知但不易于连续化，用夹逼准则。
= （1）当 n 为无穷大时， ∙ （2）当 n 为有限数时， ∙ （2016） 1、证明 > 时， 2、设 [分析] =( + < )( + + ≤∑ ≤∑ +⋯ ≤ ≤ ∙ ∙ ), 求
→
→
→
2、计算
（1）基础题——化为定积分 + = [
√
−
= ( − )( + ( −
+ ⋯+
+
)
（2）技术题 边界方程代入被积函数，对称性，格林公式，线积分与路径无关。 ①格林公式 封闭且取正向 ⟹ + = − 、 、 、 在 中连续 ②线积分与路径无关 = ⟹ + = ( , )− ( , ), 起点( 终点( , , ) )
<| −
| < 时, ( ) ≥ , 若∃则
( )≥ 。
二、函数极限的计算
化简先行，判别类型，使用工具，注意事项
+
1、重要极限
→
= √ = = ( ,
→
( + ) = √ = ( > )
→
+ ≫ ≫
=
七、空间第二型曲线积分（大题） 1、斯托克斯公式
为 内的光滑有向曲面片， 为光滑的 边界且方向与 外法线成右手系，则
一、定义 1、导数定义及其考法
( , , )
( )
( , , )
⇒
2°先二后一法——定限截面法 ( , , )
32
( )− ( +△ ) − ( ) = △ → → △ − [注] ( )在 处可导 ⇔ ( )在 处导数存在 ⟺ ′( ) = ( ), ( )∃, 且 ( ) = ( ) ′( )∃ ⇔ ′( )=
高等數學
張宇高數強化班筆記
Note:
Note:
八、重要例题
例 16.1、16.2、16.3、16.6、16.7、16.8、16.10、16.11 例 17.1、17.2、17.5、17.7、17.10、17.12 例 18.2、18.3、18.4、18.10、18.11
第一讲 极限
综述：①定义与性质；②函数极限计算；③数列极限计算；④应用
(
)
⇒
( , , )
求导规则：分段点用定义法，连续点用公式法。
5
[例] ( ) =
∙
,
≠
, = [例] 设 > , ( )在[− , ]上有定义, ( ) = , 满足 证明 ( )在 = 处可导，并求 ′( ) [例 2.7]设 ( )在 = 处连续，且
( → ) ( )
, 求 ′( )
2、散度与旋度
2、计算
（1）基础题——化为二重积分（一投二代三计算） ( , , ) = ( , , ( , )) +( ′ ) +( ′ )
（2）技术题 边界方程代入被积函数，对称性，形心公式（见后总结） 。 [习 16.14]设 为椭球面 + + = 的上半部分，点 ( , , ) ∈ ， 为 在点 处的切平面， ( , , )是原点到平面 的距离， 求 =∬
( , , )
( − )
( + ) = [ − [例]计算① + (2016) (2016) ( ), ( ) + ( ), ( ) ] − (2016) (2016)
→ → → →
+ ( ( − +
)] ) ④
五、平面第二型曲线积分（大题） 1、概念
变力做功 =∫ =∫
→
② + − + +√ ) −√ ∙ +
⇔ ∀ > ,∃
> ,当
}单调增，∀ > ，总存在 ≤ ≤ ，使得 − ≤ − ≤ − 又 − < ，得 − < − ≤ − ≤ − < ⇒| − |< 故 = ，即数列{ }收敛于 A。
→
②取 ，讨论 ( )或者
范围 ( ) = (∃)，则 A 唯一 + ∙ [ ] ∃，求 , 。
2、性质及其考法
→
→
+
⃗={ 单位余弦 ° [例]曲线 : = +( − = − ,
+
, − + )
=
}, 且 ,√ , + ，终点 + , −√ , = ，计算
→
> )
→
= ( ,
> )
2、等价无穷小
~ ~
2
，起点 +
~ ~
−
~ − ~−
=∫ ( + )
35
四、第一型曲面积分（大题） 1、概念
①∬ ② ( , ) →∬ ( , , ) , = ( , ) +( ′ ) +( ′ )
五、重要例题
例 1.1、1.2、1.6、1.7、1.10、1.24、1.25、1.30、1.31、1.35、1.37、1.44。
= {( , )| ≤
六、相关公式概念 1、复合函数奇偶性
奇×偶为奇函数；奇×奇为偶函数；偶×偶为偶函数 奇与奇复合为奇函数；奇与偶为偶函数；偶与偶为偶函数
二、三重积分 1、概念
( ) √
( )
, ,
= {( , )|
+
≤ , ,
≥ }
(
+
)
= {( , )|| | + | | ≤ }
四、极限的应用 1、用于无穷小比阶
[例] ( ) = [例] ∫
( )
2、计算
（1）基础题 后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限 直角坐标系
( )
+
( + )+ 与
, ( )=
, ( )~ ( ), 求 , , 。
为等价无穷小，求 ,
2、用于判别连续与间断
①只讨论无定义点和分段点 ②第一类：跳跃，可去 第二类：无穷，震荡
( , )
极坐标系
( )
( , )
=
( ) ( )
( , )
=
( ) ( )
(
,
)
[例] ( ) = [例] ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
| | ( (
) | | )
的可去间断点的个数为（ ） < > ，讨论其连续性
( )| | →
六、第二型曲面积分（大题） 1、概念
向量函数通过某有向曲面的通量 ①⃗={ , , } ② ⃗={ , , } ③ =∬ + +
2、计算
（1）基础题——化为二重积分（一投二代三计算） + + = + + ⃗ ∧ ⃗ = 锐角 ⟹ + ⃗ ∧ ⃗ = 钝角 ⟹ −
在其定义域内的有界性。 | < 时, ( ) > 。
（1）唯一性——若 [例 1.11]若 =
→•
→
若
→
（2）局部有界性（会证明会使用） ( ) = (∃)，则∃ > ，∃ > ，当 < | −
| < 时，| ( )| ≤
[证明]
∀ > , ∃ > , 当 < | − | < 时, | ( ) − | < | ( )| = | ( ) + − | | ( )+ − | ≤ | ( )− |+| |< +| | 将 + | |记为 ，得| ( ) + − | ≤ 即| ( )| ≤
( + )~ − ( + )~ ( )~ ( )~ ( )
( + ) − ~ − ~ , ( )~ ⟹ [ ( )]~ ( ) ~
( )与 ( )连续且不为
− ~ − ~ ( )
③伪三元 ( , , ) = ( , , ( , ))
3、泰勒公式
= − = = = + − + + ( + ( + ( + ( ) ) ) ) = ( + )= = ( + ) = + ③ ∙ − + + − − + + + + + + ( + ( + ( ) + ( ) ) )
( )式左边=
→
= ；( )式右边= 故( )式左边=
( )
→
=
又( )式右边= 故∑
→
∙
= =√
= ；即
→
②曲线 L 用直角方程（ ( , )
3、通项由递推式给出，用单调有界准则 单调增且有上界 { } ⇒ → 单调减且有下界
[例]1、 ( ) = 2、{ }满足 + ，求 ( )最小值 + < ，证明
→
( , ( )) ≤ , ( )
= (∃)
③曲线 L 用极坐标方程（ = ( ), ( , ) = ( ( )
存在并求极限。
（2）技术题 边界方程代入被积函数，对称性，形心公式（见后总结） 。 [例 16.9]计算 = ∮ ,其周长为 。 + + + − ,其中 : +( − ) =
33
4
[例] = ∬ [例] = ∬
九、相关公式概念 1、形心公式
∬ = ∬ = ∫ ∫ ⇒ ⇒ = = ∙ ∙ ∭ = ∭ = ∬ ∬ ⇒ ⇒ = = ∙ ∙
一、定义及其性质 1、定义及其考法
（1） （2）
→
( )=
⇔
→
∀ > , ∃ > , 当 < | − | < 时, | ( ) − | < = ⇔ ∀ > , ∃ > , 当 > 时, | − | < [注] →•有 6 种情形
（3）局部保号性（会证明会使用） ( ) = > , 则∃ > , < | − 若
→
如
=±
, , ( , )
, 其中
[证明]
∀ > , ∃ > , 当 < | − | < 时, | ( ) − | < ⇒ − < ( )< + 取 = 若∃ > , ⇒ < < ( )< ⇒ < ( )
→
（2）技术题 边界方程代入被积函数，对称性，高斯公式。 ①高斯公式 封闭且取正向 , , 及其偏导数在 中连续 = + ⟹ + +
( , )
=
( )
( , )
( , )
=
(
,
)
, ,
(
)
（2）技术题 换序（基础计算的逆序） ，对称性，形心公式（见后总结） 。 [例]换序① ∫ ∫ , ( , + ) ≤ ；② ∫ + + ∫ + } ≤ , , ≥ } ( , ) [例] = ∬ ( + ) [例] = ∬ = {( , )| ,
1
36
[注] →•有 6 种情形 讨论 ( )有界性，结论总结如下： 1°理论法 若 ( )在[ , ]上连续 ⇒ ( )在[ , ]上有界。 2°计算法 ( )在( , )内连续 ( )∃ 若 ⇒ ( )在( , )内有界。 → ( )∃ 3°四则运算法（有限个） 有界±有界=有界 有界×有界=有界 (2016)讨论 ( ) =
2、曲线积分的联系
( + ) = +
（3）考法 ① − , − 语言的简单使用 (2016)证明：若单调数列{ }的某一子数列{ 敛于 A。 [分析] 不妨设{ }单调增，即 ≤ 由 由{
→
}收敛于 A，则该数列{ ≤⋯≤ > 时, ≤⋯ − <
}必收
3、曲面积分的联系
( + + ) = + +
=
[例] = ∭ , = ( , , )| ≤ + （2）技术题 换序，对称性，形心公式（见后总结） 。 [例] = ∭ ( [例] = ∭ ( + + − ) ) , : {( , , )| + +
≤√
,
≤
≤
, : {( , , )|( − ) + ( − ) + ≤ , > }
≤
,
> }
< + + ( + ) < ( ) + <∑ ⋯ + =∑ <∑ ( )
( − )
[证明] 有
)
因为
( )
( →
)
( )
=
→
=
+ ( )，其中
( ) = ，于是
( − ) + = = + = + 中心( , ), 面积 =
三、第一型曲线积分 1、概念
①∫ ( ) →∫ ( , ) ② = ( ) +( ) > , = ( ) ③伪二元： ( , ) = , ( )
根据( )式得∑
( )式左边=∑ 继续缩放得∑
( )
<∑
<∑
(
( )
)
2、计算
（1）基础题——化为定积分（一投二代三计算） = ( ) ①曲线 L 用参数方程（ , ≤ ≤ ） = ( ) ( , ) = ( ( ), ( )) ( ′ ) + ( ′ ) = = ( ), = ≤ ≤ ） +( ′ ) ≤ ） ) + ( ′)