河北省保定市高阳中学1415学年度高二上学期期中——数

河北省保定市高阳中学
2014—2015学年度上学期期中考试
高二数学理试题
（考试时间：120分钟；分值150分）
一、选择题（每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验，下列说法正确的是（ ）
A. 80件产品是总体
B.10件产品是样本
C.样本容量是80
D.样本容量是10
2．要从已编号（1～50）的50枚最新研制的奥运会特型烟花中随机抽取5枚来进行燃放试验。

用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样的方法确定所选取的5枚烟花的编号可能是（ ）
A.5，10，15，20，25
B.3，13，23，33，43
C.1，2，3，4，5
D.2，4，8，16，32
3．某市对上下班交通情况作抽样调查，作出上下班时间各抽取 的
12辆机动车行驶时速(单位：km/h)的茎叶图如图.则上、下班行驶时
速的中位数分别为( )
A ．28与28.5
B ．29与28.5
C ．28与27.5
D ．29
与27.5
4．与下列哪个值相等( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．从集合,中各取任意一个数,则这两数之和等于5的概率（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知取值如表：从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则 ( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65
D ．1.80
7．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且椭圆上一点到其
两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为( )
A ．x 24＋y 29＝1
B ．x 29＋y 24＝1
C ．x 236＋y 29＝1 D. x 29＋y 2
36
＝1 8．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．
9．在一组样本数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ),,,,221不全相等（n x x x n 的散点图 中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样
本相关系数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．方程和 (,)，所表示的曲线可能是（ ）
11．在区域内任意取一点，则的概率是（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．
12．设分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点．若在双曲线右支 上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该
双曲线的渐近线方程为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为
14．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长
为
15．设分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点. 若在双曲线上存在点.使，且,则双曲线
的离心率为___________.
16.方程表示曲线C ，给出以下命题：
①曲线C 不可能为圆； ②若曲线C 为双曲线，则或；
③若，则曲线C 为椭圆； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t<.
其中真命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号)．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，6小题，共70分）
17．（本小题10分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽门功课，得到的观测值
如表，问：甲、乙谁的平均成绩最好？
谁的各门功课发展较平衡？
18. (本小题12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
(1) 求图中a 的值；
(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的
平均分；
(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学
成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.
19.（本小题12分）设有关于x 的一元二次方程.
⑴ 若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
⑵ 若是从区间任取得一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
20.(本小题12分）已知某校高二文科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级，设x ，y 分别表示化学成绩与物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18.
(1) 求抽取的学生人数； (2) 设该样本中，化学成绩优秀率是30%，求，值； (3) 在物理成绩为C 等级的学生中，已知a ≥10，b ≥8， 求化学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数少的概率.
21.（本小题12分）在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原
点，左焦点为
,且过.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，点，求线段中点的轨迹方程.
22.（本小题12分）已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点的直线交双曲线于A 、B 两点，为左焦点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若的面积等于62，求直线的方程．
参考答案
17. 解：74)7090708060(51=++++=甲x -------------------1分 73)7580706080(5
1=++++=乙x -------------------2分 10441646145
1222222=++++=）（甲s ------------------5分 562731375
1222222=++++=）（乙s -------------------8分 ∵
∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 ----------------10分
18、解：(1) 依题意，得10×(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a ＝0.005. -------3分
(2) 100名学生语文成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73
分． -------7分
(3) 数学成绩在[50，60)的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)的人数为100×0.4×12
＝20，数学成绩在[70，80)的人数为100×0.3×43
＝40，数学成绩在[80，90)的人数为100×0.2×54
＝25. ----------------10分 所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10. ---12分
19.解：⑴设事件A 为“方程有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a≥b ------------1分
基本事件有12个：，，，，，，，，，
，，，其中第一个表示a 的取值，第二个表示b 的取值. -----4分
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）== --------6分
⑵试验的全部结果所构成的区域为{}20,30|),(≤≤≤≤b a b a --------7分
构成事件A 的区域为{}b a b a b a ≥≤≤≤≤,20,30|),(-----8分
如图1，所以所求的概率为
P （A ）=2
3221232
⨯⨯-⨯=--------12分
20.解：(1)由题意可知＝0.18，得n ＝100.故抽取的学生人数是100. …………4分
(2)由(1)知n ＝100，所以＝0.3，故a ＝14，
而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17. …………8分
(3)由(2)易知a ＋b ＝31，且a≥10，b≥8，
满足条件的(a ，b)有(10,21)，(11,20)，(12,19)，…，(23,8)，共有14组，其中b>a 的有6
组，则所求
概率为P ＝.…………………12分
21.解：(1)由已知得椭圆的半长轴,半焦距，则半短轴.…………2分 又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为…………4分
(2)设线段PA 的中点为,点P 的坐标是， 由00
122
x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得 …………6分 因为点P 在椭圆上,得 …………8分
∴线段PA 中点M 的轨迹方程是. …………12分
22.解：(1) 依题意 ∴…………2分
∴ 双曲线的方程为：…………4分
(2) 设，，，直线的方程为：…………5分
由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=13)2(22y x x k y 消元得0344)3(2222=++--k x k x k …………6分 当时，3
34,3422212221-+=⋅-=+k k x x k k x x …………7分 到直线的距离为： …………8分
∴的面积： 21221224)(11|
|4x x x x k k k ⋅-+⋅+⋅+⋅ =3
)3()34(4)4(||23344)34(||22222222222
--⋅+-⋅=-+⋅--⋅⋅k k k k k k k k k k。