2019年浙江省湖州市轧村中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2019年浙江省湖州市轧村中学高一数学理下学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 集合A={y|y=x+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B为（）
A．{（0，1），（1，2）} B．{0，1} C．{1，2} D．（0，+∞）
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【分析】先理解两个集合，可以看到A=R，B={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），由此求出
A∩B．
【解答】解：∵A={y|y=x+1，x∈R}=R，B={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），
∴A∩B=（0，+∞），
故选：D．
2. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则（）
A. 27
B. 36
C. 45
D. 54
参考答案：
B
【分析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.
【详解】依题意，所以，故选B.
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 3. 若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则
＜0的解集为（）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，
+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
参考答案：
A
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；数形结合；转化思想．
【分析】根据函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，判断函
数f（x）在R上的符号，根据奇函数把＜0转化为＜0，根据积商符
号法则及函数的单调性即可求得＜0的解集．
【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（2）=0，
所以x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0；x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0；
＜0，即＜0，
可知﹣2＜x＜0或0＜x＜2．
故选A．
【点评】考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题．
4. 已知函数，使函数值为5的的值是（）
A、-2
B、2或
C、 2或-2
D、2或-2或
参考答案：
A
5. 已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则( )
A．a，b，c成等差数列B．，，成等比数列
C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列
参考答案：
C
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案．
解答：解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，
根据正弦、余弦定理得，2??a?c=b2，
化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，
所以a2、b2、c2成等差数列，
故选：C．
点评：本题考查正弦、余弦定理，以及等差中项的性质，考查化简、计算能力，属于中档题．
6. 若向量满足，，，则的最小值为（）
A．B．C．D．
B
7. 在中，若则的形状是
（）
A 直角三角形
B 等腰直角三角形
C 等边三角形
D 等腰三角形
参考答案：
D
略
8. (8)在数列的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第69项 ( )
(A) 是原数列的第18项 (B) 是原数列的第13项
(C) 是原数列的第19项 (D) 不是原数列中的项
参考答案：
A
略
9. 函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）
A. B.
C. D.
A
【分析】
根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】由图像知，，，解得，
因函数过点，所以，
，即，
解得，因为，所以，
.
故选：A
【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 10. 已知，则的值为：
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则_________
参考答案：
略
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为，用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长为 .
参考答案：
13. 设函数f（x）=，其中a＞0，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．
参考答案：
[7，+∞）
【考点】函数的值域．
【分析】根据指数函数性质可知y=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y＞27+4a，y=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a即可，从而可得实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=，其中a＞0，
令y1=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y1＞27+4a，
y2=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y2≤9+a2．
要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a
解得：a≥7或a≤﹣3．
∵a＞0，
∴实数a的取值范围是[7，+∞）
故答案为：[7，+∞）．
14. 若，且，则四边形的形状是________．
参考答案：
等腰梯形
略
15. 设函数且，若，则
的值等于
参考答案：
18
16. 函数f（x）=的最大值与最小值的乘积是_________________.
参考答案：
．
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，.、
分别为、的中点，则二面角的正切值为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，c cos B+（ b﹣2a ）cos C=0．
（1）求角 C 的大小；
（2）求△ABC 面积的最大值．
参考答案：
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用正弦定理表示出a，b，进而表示出三角形面积，求出面积最大值即可．
【解答】解：（1）已知等式ccosB+（b﹣2a）cosC=0，
利用正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC﹣2sinAcosC=0，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=，
则C=；
（2）由正弦定理得====4，
∴a=4sinA，b=4sinB，
∵A+B=，即B=﹣A，
∴S△ABC=absinC=4sinAsinB=4sinAsin（﹣A）=2sin（2A﹣）+，
当2A﹣=，即A=时，S max=3．
19. 已知设函数．
（1）求的定义域．
（2）判断的奇偶性并予以证明．
（3）求使的的取值范围．
参考答案：
（1）要使函数（且）有意义，
则，解得．
故函数的定义域为．
（2）由（1）可知的定义域为，关于原点对称，
又，
∴为奇函数．
（3），即，
当时，原不等式等价为，解得．
当，原不等式等价为，记得．
又∵的定义域为，
∴当时，使的的取值范围是．
当时，使的的取值范围是．
20. 规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．
(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；
(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．
参考答案：
(1)当x＝时，4x＝，
∴f1(x)＝＝1，g(x)＝－＝，
∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.
(2)由f1(x)＝[4x]＝1，得g(x)＝4x－1，
于是f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
∴
∴≤x<．
21. （本题满分16分）
已知圆,直线
（1）求证：直线l过定点；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值；
（3）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
参考答案：
解：（1）依题意得，
令且，得
直线过定点……4分
（2）当时，所截得弦长最短，由题知，
，得，由得……8分（3）法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，则设，，得，且
整理得，……12分
上式对任意恒成立，且
解得,说以（舍去，与重合），
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数……16分
法二：设直线上的点
取直线与圆的交点，则
取直线与圆的交点，则
令，解得或（舍去，与重合），此时
若存在这样的定点满足题意，则必为，…12分
下证：点满足题意，
设圆上任意一点，则
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数…16分
22. （本小题满分14分）
已知圆经过两点，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求过点且与圆相切的直线方程；
（Ⅲ）设圆与轴相交于、两点，点为圆上不同于、的任意一点，直线、
交轴于、点．当点变化时，以为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论．
参考答案：
（Ⅰ）法一：设圆圆心为，由得，
，……………1分
解得，，…………………………………………2分
半径为，……………………3分
所以圆：…………………………………………4分
法二：设圆为，
则…………………………………………2分
解得，…………………………………………………………3分
所以圆：…………………………………………4分
法三：设圆的一般方程或其它解法相应给分.
（Ⅱ）当切线斜率不存在时，……………………………………………5分当切线斜率存在时，设切线，
即，由圆心到切线的距离，
解得，此时；……………………………………8分
综上：：或．……………………………………9分（Ⅲ）设P(，)(≠0)，则＋＝4．
又A(－6，0)，B(－2，0)，
所以：y＝(x＋6)，M(0，)，
：y＝(x＋1)，N(0，)．…………………………………10分
圆的方程为＋＝．………11分
化简得＋－(＋)y－12＝0，（※）………………………12分
法一：由动点P(，)关于轴的对称性可知，定点必在轴上，
令y＝0，得x＝．
又点(，0)在圆内，
所以当点P变化时，以MN为直径的圆经过定点．………14分
法二：若先取两个特殊点P(，)确定出两圆的定点（给2分），必须再
加以证明，即对所求的定点再代（※）式，证出恒成立。

（相应给分）
法三：若由（※）化成恒等式求出定点（相应给分）。