基于非对称Laplace分布的ES方法在我国沪深300股指期货市场的研究

基于非对称Laplace分布的ES方法在我国沪深300股指期货市场的研究
作者：王梦琨
来源：《时代金融》2015年第33期
【摘要】股指期货具有价格发现，规避风险以及提高资金配置效率等功能。

我国于2010年4月16日正式推出沪深300股指期货，这是我国资本市场发展的一大里程碑。

股指期货的跨期性、杠杆性、联动性和多样性等特点很好地弥补金融市场的缺陷，不仅可以健全股票市场的价格机制还可以大大降低交易成本，并且为广大参与者提供了一个可以避险的投资工具。

沪深300股指期货的推出彻底改变了我国金融市场风险管理工具缺乏的现状，但同时也面临股指期货高杠杆交易巨大风险的挑战。

本文将运用ES模型度量股指期货的基差风险，最后实证研究预测沪深300股指期货的基差风险。

本文将在国内外相关理论的研究基础上，运用非对称Laplace分布来拟合沪深300股指期货的基差;建立非对称Laplace分布下的Expected Shortfall模型来分析沪深300股指期货的波动情况;计算出该模型下的ES值和VaR值;分别将模型得出的VaR和ES值与实际的基差波动进行比较，考察ES和VaR对实际基差波动的拟合情况;对ES 和VaR分别进行有效性检验;最后对我国目前使用Expected Shortfall模型还存在的问题进行简要的阐述，给出我国沪深300股指期货管理的相关经验。

【关键词】基差 ;ES模型 ;非对称Laplace分布
一、理论模型
Expected Shortfall即ES表示的是期望损失，也就是在一定的置信水平下，某个资产组合的损失超过VaR的尾部时间的期望损失值。

与VaR相比，ES是一种更为保守的风险测度，其值一般会大于VaR。

Expected Shortfall的数学定义如下：设X为定义在概率空间（Ω，∑，p）上且表示某种资产或者某个投资组合收益分布的随机变量，用E（X）表示概率p的数学期望，则当时a∈（0，1），X在置信水平为1-a时的期望损失为：
■（1.1）
其中，■，是X的低分位数。

在实际计算中，ES有如下的定义：
■（1.2）
ES还可以表示成与VaR相关的形式：
■
（1.3）
即ES值实际上实在VaR的基础上加上损失高于VaR时的期望损失。

由于期货基差具有“尖峰厚尾”的特征，我们选取非对称Laplace分布进行ES的计算。

非对称Laplace分布的定义：若X是一个连续的随机变量，若x的密度函数为：
■（1.4）
则称X～■，其中μ为位置参数，σ为标准差，m为控制着密度函数偏度与峰度的形状参数，■，I为示性函数。

基于非对称Laplace分布下的ES计算公式：若X～■，根据公式（3.9），在（1-a）置信度下，
■（1.5）
■ （1.6）
对于式3.11，若观测值为R1，R2，Rn，那么极大似然函数为：
■
取对数，得：
■
由于μ很小，令其为0，并且lnL关于σ和m可微分，分别对σ和m求偏导，有：
■
令■，■，得到AL（μ，σ，m）的估计值■和■：
■
其中：■
因此，由式3.12可得VaR和ES的估计公式VaRa，t，ESa，t表示为：
■ （1.7）
■
（1.8）
其中，■，σt、mt、kt为参数，ht为条件标准差。

根据VaR和ES计算公式（3.14）、（3.15），其中μt、mt、kt、都可用极大似然法估计得出，描述波动性的ht未知。

金融时间序列往往具有波动聚集性与持续性，并且存在明显的异方差性。

GARCH模型既能够很好的描述这种波动聚集性与持续性，也可以很好地体现现有信息，还能够解决异方差性问题。

因此对于ht，我们利用GARCH模型对其进行拟合。

有效性检验：对于VaR模型的有效性，我们采用Kupiec在1995年提出的似然比检验方法：
■（1.9）
其中：p1表示失败的期望概率，即95%置信度下p1=0.05，99%置信度下p1=0.01;N表示实际损失超过VaR计算值的次数;T表示实际考察次数;p表示实际失败频率，即p=N/T。

在原假设下，也即p=p1条件下，统计量LR服从χ2（1）分布。

在95%置信度下，χ2（1）分布的临界值为3.841;在99%置信度下，χ2（1）分布的临界值为6.635。

对于VaR模型而言，如果算出来的LR值小于临界值，则接受原假设，认为模型的准确率很高，反之则拒绝原假设，认为模型的准确率较低。

由于计算中ES的值始终大于VaR值，如果使用似然比检验方法得到的LR值必定会小于VaR模型的LR值，实际上ES表示的是在实际损失超过VaR的条件下损失的期望值，因此用似然比检验方法检验ES模型效果会不太明显。

ES表示的是在实际损失超过VaR的条件下损失的期望值，因此对于基于非对称Laplace 分布的ES模型而言，它的准确性应当为：实际损失超过VaR的条件下，实际损失与ES值的差别大小。

对于实际损失超过VaR的条件下，实际损失与ES值差别大小的计算，周小敏（2007）定义一个统计量LE，它表示的是实际损失超过VaR的条件下，实际损失与ES值之差的绝对值：
■ （1.10）
式中，R't表示实际损失超过VaR的条件下的实际损失，n表示实际损失超过VaR的次数，■表示实际损失超过VaR的条件下的实际损失的平均值，■表示实际损失超过VaR条件下的期望损失平均值。

LE值越小，说明实际损失与ES值越接近，ES的预测效果越好，ES模型的有效性越高。

二、实证研究及结论
数据来源：由于期货合约存在不连续性的问题，当一个期货合约到期时，该期货合约的基差数据也就中断了。

为了使基差数据序列能够具有连续性，本文选择距离当月最近的期货合约，例如在选择2015年三月份的数据时，挑选合约IF1504的基差数据来构建连续基差数据序列。

本文数据的选取区间为2014年1月2日到2015年6月30日，扣除节假日后共有352个数据。

根据沪深300股指期货基差序列的正态性检验，得出基差描述性统计量：观测值个数351，样本均值-11.63383，中位数1.906000，最大值534.2900，最小值-716.2430，标准差100.1447，偏度-2.301578，峰度19.89344，JB值4483.696，接受概率0.00000。

可以看出基差序列波动幅度很大，基差风险很大。

偏度为-2.301678<0，说明基差序列的分布与正态分布相比负偏或左偏，呈现出厚尾的特征。

峰度为19.89344>3，说明基差序列的分布与正态分布相比较为陡峭，呈现出尖顶峰特征，异于正态分布。

JB检验值为4483.696，明显大于任意水平的x2（2）临界值5.99147，所以拒绝正态分布的零假设，即基差分布不是正态分布。

沪深300股指期货基差的分布特征符合尖峰厚尾的特征，因此可以用非对称的Laplace分布来研究。

对序列进行单位根检验：ADF值为-3.900055，1%临界值为-2.571586，5%临界值为-
1.941732，10%临界值为-1.616093。

基差序列的ADF值小于在1%、5%、10%显著水平下的ADF临界值，因此我们拒绝原假设，即认为基差序列不存在单位根，基差序列是平稳的，可以直接对基差序列建模。

对基差序列的相关性进行检验，用Eviews对基差序列进行相关性检验，结果表明基差序列存在三阶自相关。

金融时间序列除了需要检验是否平稳，还需要检验条件异方差效应。

首先根据三阶自相关建立均值方程：对基差序列的ARCH效应检验
基差序列的均值方程估计结果如表：
注：“**”表示在5%的水平下显著
由结果显示，P值均接近于0，且小于0.05，表示在0.05的显著水平下，回归结果显著。

拟合优度为0.720825，均值方程基本可以拟合沪深300股指期货基差序列。

为了进一步验证其具有ARCH效应，对残差序列进行ARCH-LM检验。

设定原假设为：残差不存在ARCH效应。

我们取q=1、q=2、q=3及q=4，分别进行检验，结果表明沪深300股指期货基差序列存在ARCH效应。

对沪深300股指期货基差序列的残差进行GARCH（1，1）建模，根据相关性检验的结果沪深300股指期货基差序列存在三阶滞后自相关，于是建立滞后三阶的均值方程。

条件均值方程和条件方差方程的结果如表：
从上表可以看出，所以的系数都通过了显著性检验，条件方差方程各个系数均大于0且ARCH（-1）的系数与GARCH（-1）的系数之和为0.534855小于1，满足GARCH（1，1）模型的参数约束条件。

根据表4-12中GARCH（1，1）模型的参数估计结果可以出沪深300股指期货基差序列的均值方程以及条件方差方程：
均值方程：
条件方差方程：
根据公式■、■由Excel算出ut和vt，基由ut和vt计算出形状参数mt，根据形状参数得出式3.14中的σt、μt、kt。

由GARCH模型估计结果得出ht序列图
将μt、mt、kt和ht代入公式（1.7）与公式（1.8），分别取95%和99%的置信水平，得出VaR序列和ES序列。

图不同置信度下VaR和ES的计算结果
从VaR序列和ES序列变化表中可以发现：同样的置信度下ES值都大于VaR值，这说明ES比VaR估计的更为保守，这也符合ES和VaR的定义，同时ES对置信度的敏感程度相对于VaR要低;99%置信度下的ES值和VaR值都大于95%置信度下的相应值，这说明置信水平的大小直接表明造成损失的概率，置信度越高，说明投资者越厌恶风险，相应的损失概率就越小，这时就需要更多的风险资本来弥补可能造成的损失，所以估计出的ES值就越大。

从图中可以发现VaR和ES序列在2014年12月之前一直比较稳定，从2014年12月开始出现小幅波动，从2015年4月开始出现剧烈波动并且波动幅度越来越大。

VaR和ES值作为损失的估计量，它们的强烈波动说明了沪深300股指期货基差序列发生了强烈波动。

通过两个不同月份真实基差波动情况的比较我们发现，2015年3月底到2015年6月沪深300股指期货确实发生了剧烈波动，这与我国今年年中出现的股市大动荡以及我们的预测结果都相吻合。

从VaR值、ES值与真实基差波动的比较情况可以初步得出结论：基于非对称Laplace分布的ES模型可以较好的描述沪深300股指期货的基差风险。

为了更好的判断模型的有效性，我们对基于非对称Laplace分布的ES模型做进一步的检验。

检验：从2014年3月17日开始到2015年6月30日，共有304个数据接受检验。

在95%置信度下，实际损失值（当天基差-后一天基差）超过VaR的次数为18次，根据公式（3.15）计算得出LR=0.513983;在99%置信度下，实际损失值（当天基差-后一天基差）超过VaR的次数为4次，计算得出LR=0.27856。

在95%置信度下，χ2（1）分布的临界值为3.841;在99%置信度下，χ2（1）分布的临界值为6.635。

在95%和99%置信度下，LR值都小于χ2（1）分布的临界值，因此模型效果明显。

根据公式（3.16），95%置信度下，LE=0.700368;在99%置信度下，LE=23.25884。

对于95%置信度下的LE，显然ES模型效果明显;对于99%置信度下的LE，考虑到实际损失的均值较大（均值为142.8145），LE值与之比较而言属于较小数值，因此认为ES模型效果也比较明显。

从检验结果可以进一步说明：基于非对称Laplace分布的ES模型可以很好的度量沪深300股指期货的基差风险。

三、相关建议
ES模型在我国基差风险管理中的应用：
第一，ES模型能够帮助投资者制定合适的股指期货投资策略，不论是套期保值者还是套利者，他们所面临的风险并不是来自股指期货价格的波动。

基差波动所带来的风险。

如果基差不变，则投资者面临的风险为零，然而当基差波动较大时，投资者就会面对较大的风险。

因此投资者可以利用ES模型来度量基差波动进而有效的规避风险。

当ES计算值明显偏离实际值出现强烈的波动时，投资者应当及时的发现风险调整投资策略，以最大限度地规避风险。

投资者还可以利用ES模型对基差风险进行度量，制定相应的投资策略。

每个投资者都有一定的风险承受能力，也有着不同的风险偏好，将自身的风险偏好于风险承受能力与相应的ES值进行比较，进而确定是否进行该股指期货的投资。

同时，ES值的计算可以帮助投资者进行决策，何时能够进入股指期货市场，何时应该退出股指期货市场以减小风险暴露。

总而言之，ES模型能够让投资者充分了解自身所面临的风险，在一定条件下所面对的最大期望损失，从而帮助投资者做出理性的投资决策。

第二，ES模型能够有助于监管部门对市场进行有效的监管，ES模型除了能够帮助投资者进行投资决策，还可以帮助监管部分实现对股指期货的金融监管。

影响股指期货基差的因素很多，除了市场因素以外还有一些故意扰乱市场的行为。

股指期货的风险高度集中，其高杠杆操作的存在导致其对整个金融市场的稳定性都有很大的影响。

由于我国股指期货是新生事物，政府及相关监管部门在金融监管上手段较为单一，监管制度也不够完善。

中国金融市场急需一项能够有效监管股指期货风险的手段，而ES方法可以提供这样一种监管手段。

由于影响基差波动的因素有很多，相互之间还存在联系，因此很难准确的判断它们具体的影响程度。

ES方法不需要测定各种因素对基差风险的影响程度，它能够利用统计计量方法从前期的基差波动数据中得到基差波动的概率值。

当ES值出现异常波动时，监管部门能够及时的发现股指期货市场存在的异常，进而分析异常波动的原因并及时采取措施稳定市场。

ES方法将难以度量的诸多
基差风险因素转换为具体的数值，使监管者能够直观的发现风险，便于基差风险管理，提高了监管水平。