浙江省杭州市2021届九年级上学期数学期末模拟试卷

浙江省杭州市2021届九年级上学期数学期末模拟试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是（）
A. B. C. D.
2.如图，在中，，若，则线段的长为（）
A. 3
B. 4
C.
D.
3.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣1）经过变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则这个变换可以是（）
A. 向左平移2个单位
B. 向右平移2个单位
C. 向左平移4个单位
D. 向右平移4个单位
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）
A. 30°
B. 25°
C. 15°
D. 10°
6.把二次函数化为的形式是（）
A. B. C. D.
7.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下.
身高
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（）
A. 0.32
B. 0.55
C. 0.68
D. 0.87
8.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）
A. 2：3：5
B. 4：9：25
C. 2：5：25
D. 4：10：25
9.设A（－1，）、B（1，）、C（3，）是抛物线上的三个点，则、、
的大小关系是（）
A. <<
B. <<
C. <<
D. <<
10.如图，等边的边长为，以O为圆心，为直径的半圆经过点A，连接，相交于
点P，将等边从与重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，交点P运动的路径长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（共6题；共24分）
11.若，则的值为________.
12.如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝________度
13.现有A，B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A立方体朝上的数字为x、小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为________.
14.如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C ＝________.
15.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c 的解是________．
16.如图，在正方形ABCD中，以CD为底边作等腰，使得点E在正方形ABCD内部，且
，连接BD交CE于点F．过点C作于点G，过点G作于点H，连接HF．若，，则四边形AEFH的面积为________．
三、综合题（共7题；共66分）
17.如图，已知点D是的边AC上的一点，连接，，.
（1）求证：∽；
（2）求线段CD的长.
18.小明和小亮玩一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记、、三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则小明获胜，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则小亮获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
19.已知，如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又△AOP的面积为，求a的值．
20.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠ABD=45°，BC=6，AC=8．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
21.如图1，已知正方形和正方形，点在同一直线上，连接，，
与相交于点．
（1）求证：．
（2）如图2，是边上的一点，连接交于点，且．
①求证：；
②若，直接写出的值．
22.如图，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图像与y轴交与点A，与x轴的负半轴交与点B，且△AOB 的面积为6．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）如果点p在坐标轴上，且△ABP是等腰三角形，求p的坐标．
23.如图1.已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，弦AB的弦心距MN为3，
（1）求⊙M的半径；
（2）求弦CD的长；
（3）如图2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ＝∠CQD时，求CQ的长；
（4）如图3.若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解析】【解答】解：将黄色区域平分成两部分，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，
∴两次指针都落在黄色区域的概率为：；
故答案为：B.
【分析】首先将黄色区域平分成两部分，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案.
2.【答案】C
【解析】【解答】解：，
.
，
，
，
故答案为：C.
【分析】直接根据平行线分线段成比例即可得出答案.
3.【答案】A
【解析】【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A选项正确；
∴，B选项错误；
∴，C选项错误；
∴OA：OC＝3：2，D选项错误.
故答案为：A.
【分析】由相似三角形的性质并结合各选项可求解.
4.【答案】B
【解析】【解答】解：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x+1）2﹣4，顶点坐标是（﹣1，﹣4），
y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标是（1，﹣4），
所以将抛物线y＝（x+3（x﹣1）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），
故答案为：B．
【分析】分别配方变换前后两个解析式，得出顶点坐标，进而根据顶点坐标找变换规律可得答案．
5.【答案】A
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵圆的半径为2，BC=2
∴OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°
∵弧BC=弧BC
∴∠A= ∠BOC= ×60°=30°.
故答案为：A.
【分析】连接OB，OC，利用已知易证△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠O的度数；再利用圆周角定理可求出∠A的度数。

6.【答案】B
【解析】【解答】原式＝（x2＋4x−4）
＝（x2＋4x＋4−8）
＝（x＋2）2−2
故答案为：B．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
7.【答案】C
【解析】【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68.
故答案为：C.
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解.
8.【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB，DC∥AB
∵DE：CE=2:3
∴DE：AB=2:5
∵DC∥AB
∴△DEF∽△BAF
∴，
∴
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF=4：10：25
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，求出对应边的比，根据等高三角形的面积比等于对应边的比，即可得到答案。

9.【答案】C
【解析】【解答】∵此函数的对称轴为x= ，且开口向下，∴x＞时，是减函数．
∵A（﹣1，y1）对应A′（2，y1），∴y3＜y1＜y2．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象和性质得出A（﹣1，y1）的对称点的坐标为（2，y1），当x＞时，y随x 的增大而减小，即可得解.
10.【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60°，
∴∠AOC+∠BOD=120°，
∴∠BCD+∠ADC= (∠AOC+∠BOD)=60°，
∴∠CPD =120°，
∴点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形CDM的外接圆的半径，
连接O O' ，
∵CO=DO，
∴O ⊥CD，
∵四边形CMDP是圆内接四边形，
∴∠CMD+∠CPD=180°，
∴∠CMD=60°，
∴∠C D=2∠CMD=120°，
∴∠C O=60°，
在Rt△C O中，CO=AO= ,
∴C = ,
∴交点运动的路径长为，
故答案为：B.
【分析】点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形CDM的外接圆的半径，利用弧长公式计算即可.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴设y=3k，x=4k，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意设y=3k，x=4k，然后代入所求式子进行计算即可.
12.【答案】40
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′
∴∠B′=∠B′BC
∵∠BCA′＝45°，
∴∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70°
∴∠ABC=∠B′=∠B′BC=70°
∴∠A′BA=180°－∠B′BC－∠ABC=40°
故答案为：40
【分析】由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′，根据等边对等角可得：∠B′=∠B′BC，根据三角形外角的性质可得：∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70°，从而求出∠B′BC和∠ABC，即可求出∠A′BA. 13.【答案】
【解析】【解答】解：列表如下：
点P共有36种等可能的情况，其中（1，3）、（2，4）、（3，3）三个点在抛物线y=﹣x2+4x上，
所以它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为
故答案为.
【分析】根据题意列出表格可知，点P共有36种等可能的情况，而符合题意的有3个点，根据概率公式可求解.
14.【答案】70°
【解析】【解答】解：
四边形ABCD为圆的内接四边形，
故答案为：70°.
【分析】因为∠ABC是三角形PAB的一个外角，所以由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得∠PAB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求解.
15.【答案】x1＝﹣2，x2＝1
【解析】【解答】由图象可知，关于的方程的解，
就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1）的横坐标，所以方程ax2=bx+c的解是：x1=﹣2，x2=1
故答案为：x1=﹣2，x2=1．
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
16.【答案】
【解析】【解答】解：作于K，于M，于N．如下图所示：
∵CG⊥DE于G，
∴∠CGE＝90°，
∴CG＝，
在Rt△CDG中，CD＝，
∵，
∴EK＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC= ，∠FBM＝45°，
∴FM＝B M，设FM＝BM＝x，则CM＝，
∵△ECK∽△CFM，
，代入数据：
∴，∴，
∵△DHG∽△EKD，，代入数据：
，∴DH＝，
∴S四边形AHFE＝S△ADE+S△EDC﹣S△FHD﹣S△FDC
故答案为：．
【分析】利用勾股定理和正方形的性质求出CK，CM，EK的长，再证出△ECK∽△CFM，得出，代入数值求出EM的长，再由△DHG∽△EKD，得出，求出DH的长，利用S四边形AHFE＝S△ADE+S△EDC﹣S△FHD﹣S△FDC进行计算，即可求解.
三、综合题
17.【答案】（1）解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB
（2）解：由（1）知：△ABD∽△ACB，
∵相似三角形的对应线段成比例，∴= ，即＝，
解得：CD＝5
【解析】【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD 长.
18.【答案】解：不公平，
列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，
所以按照游戏规则，小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
由知这个游戏不公平；
【解析】【分析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可．
19.【答案】解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx＋b，
将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx＋b，
得k＝﹣1，b＝4，
故y＝﹣x＋4，
∵△AOP的面积为，
∴×4×y P＝，
∴y P＝，
再把y P＝代入y＝﹣x＋4，得x＝，
所以P（，）．
把P（，）代入到y＝ax2中得：a＝．
故a的值为．
【解析】【分析】首先求得直线AB的解析式，然后根据面积求得P点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解．
20.【答案】（1）解：如图，连结OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∴OB=OD=5．
∵∠ABD=45°，
∴∠BOD=90°，
∴．
∴BD的长为．
（2）解：∵，
，
∴．
∴图中阴影部分的面积为
【解析】【分析】（1）连接OD，利用直径所对的圆周角是直角，可证△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；再证明△OBD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BD的长。

（2）利用S阴影部分=S扇形BOD-S△BOD，再利用三角形和扇形的面积公式进行计算。

21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴BC=CD=AB，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE=FD；
（2）解：①∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴CD//GE，GF=EC
∴，
∴
∴
∵
∴
∵BC=CD
∴
②∵
∴
∵
∴
∵AB=CD
∴
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出BC=CD，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应边相等BE=FD；（2）①由正方形的性质得出CD//GE，得出，从而得到，再结合已知条件利用比例的性质即可得证②由得出
，结合①可得，从而即可得出的值
22.【答案】（1）在y=-x²+（k-1）x+4中，令x=0,y=4
A（0，4）
ΔAOB的面积＝=6
OB＝3所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（-3，0）
（2）由B（－3，0）在二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图像上
0＝－（－3）2+（k－1）（－3）+4
解得k-1=- ,
∴二次函数的表达式为∴所求二次函数的解析式为y=-x2- x+4；
（3）因为△ABP是等腰三角形，
所以：①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）
③如图，3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得．解得x= ．
∴点P的坐标为（，0）
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（-8，0），（，0）．
【解析】【分析】（1）令x=0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B的坐标；（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；（3）若△ABP 是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可
23.【答案】（1）解：连接MB，如图1所示：
∵A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，∴AB＝8，
∵MN⊥AB，∴BN＝4，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM＝＝＝5，
即⊙M的半径为5
（2）解：作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，如图2所示：
则AN＝4，MN＝3，MG＝ON＝AN﹣AO＝3，
∴MN＝MG，
∴CD＝AB＝8.
（3）解：∵∠CPQ＝∠CQD，∠PCQ＝∠QCD，
∴△CPQ∽△CQD，
，
∴CQ2＝CP×CD＝2×8＝16，
∴CQ＝4
（4）解：∵CF是⊙M的直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠DCF＝90°，
∵∠CQD＝∠F，∴∠CQD+∠DCF＝90°，
∵∠CPQ+∠CQD＝90°，∴∠DCF＝∠CPQ，
∴CE＝PE，
作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，如图3所示：
则CK＝PK，＝，
设EK＝3x，则CK＝4x，CE＝PE＝5x，PC＝8x，
同（2）得：△CPT∽△CFD，
∴＝＝，
∴PT＝x，CT＝x，
∴△PEM的面积S＝EM×PT＝（5﹣5x）× x＝﹣12x2+12x＝﹣12（x﹣）2+3，
∵﹣12＜0，∴S有最大值，
当x＝时，S的最大值为3，
即△PEM面积的最大值为3
【解析】【分析】（1）先根据A、B两点坐标求出AB的长度，结合MN的长度，利用勾股定理求出MB 长度即可；
（2）作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，由垂径定理求出AN的长，结合A的坐标，可求ON的长度，然后根据平行线间的距离相等可得MG=ON，最后根据同圆中弦心距相等则弦相等，得出CD=AB，从而求出CD的长；
（3）先利用两个角分别相等的两个三角形相似证出△CPQ∽△CQD，利用相似三角形的性质列比例式求出CQ即可；
（4）先证出∠DCF=∠CPQ，得出CE=PE，作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，则CK=PK，，设设EK＝3x，把CK、CE、PE和PC全部用含x的代数式表示，利用三角形相似的性质列比例式，把PY和CT 也用x表示出来，然后用三角形面积公式得出△PEM的面积是关于x的二次函数，最后配方求最值即可.。