高中人教A版数学必修1综合微评3 Word版含解析

第三章综合微评
(时间：120分钟分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中没有零点的是()
A．f(x)＝log2x－3 B．f(x)＝x－4C．f(x)＝
1
x－1
D．f(x)＝x2＋2x
答案：C解析：由于函数f(x)＝
1
x－1
中，对任意自变量x的值，均
有1
x－1
≠0，故该函数不存在零点．
2．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为() A．(－2,0) B．(0,2) C．[－2,0] D．[0,2]
答案：B解析：由题意，f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，
∴0<m<2.
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不确定
答案：B解析：因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以由零点存在性定理，可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．
4．下表表示一球自一斜面滚下t秒内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)．
当t＝2.5
A．45 B．62.5 C．70 D．75
答案：B解析：由题表可知，距离s同时间t的关系是s＝10t2，当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5.
5．不论m为何值时，函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有() A．2个B．1个
C．0个D．都有可能
答案：A解析：方程x2－mx＋m－2＝0的判别式Δ＝m2－4(m －2)＝(m－2)2＋4＞0，
∴函数f(x)＝x2－mx＋m－2的零点有2个．
6．已知f(x)＝2x2－2x，则在下列区间中，方程f(x)＝0一定有实数解的是()
A．(－3，－2) B．(－1,0)
C．(2,3) D．(4,5)
答案：B解析：∵f(－1)＝2－1
2＞0，f(0)＝0－1＜0，∴在(－1,0)内方程f(x)＝0一定有实数解．
7．设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为() A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案：C解析：∵f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e－1＝0，f(2)·f(3)<0.
由零点存在定理，得x0所在的区间为(2,3)．故选C.
8．已知x0是函数f(x)＝2x＋1
1－x
的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
答案：B 解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f (x )在(1，＋∞)为增函数，又1<x 1<x 0<x 2，x 0为f (x )的一个零点，所以f (x 1)<f (x 0)＝0<f (x 2)．
9．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
答案：C 解析：操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭
⎪⎫910n ＋1＜10%，得n ＋1＞－1lg 910
＝－12lg 3－1≈21.8， ∴n ≥21.
10．若函数y ＝a x －x －a 有两个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0,1)
C ．(0，＋∞)
D ．∅
答案：A 解析：令f (x )＝a x ，g (x )＝x ＋a ，作出它们的图象如图所示．
显然当a ＞1时，f (x )与g (x )的图象有两个交点，即函数y ＝a x －x －a 有两个零点．
11．用二分法判断方程2x 3＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度
0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)()
A．0.25 B．0.375
C．0.635 D．0.825
答案：C解析：令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)＜0，f(1)＞0，f(0.5)＜0，f(0.75)＞0，f(0.625)＜0，则方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内．
∵0.75－0.625＝0.125＜0.25，
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．
12．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1＜v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为()
答案：A解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1＜v2，可知两人的
运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． 答案：2 解析：当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x >0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，
f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．
综上，函数f (x )的零点个数为2.
14．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为________．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1 解析：令f (x )＝x 2＋ax －2， 则f (0)＝－2＜0，
∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要
⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a －1≤0，23＋5a ≥0，解得－235≤a ≤1. 15．若函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________.
答案：2 解析：∵函数f (x )＝lg|x －1|－m 有两个零点，
∴函数y 1＝lg|x －1|与函数y 2＝m 由两个交点，
∵y 1＝lg|x －1|的图象关于x ＝1对称，
lg|x 1－1|＝lg|x 2－1|，
∴x 1＋x 2＝2.
16．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据．
现有如下5①y ＝0.58x －0.16；②y ＝2x －3.02；③y ＝x 2－5.5x ＋8；④y ＝log 2x ；⑤y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋1.74. 请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
答案：④
解析：画出散点图如图所示．
由图可知，上述点大体在函数y ＝log 2x 上(对于y ＝0.58x －0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y ＝log 2x 可以比较近似地反映这些数据的规律．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)已知函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋6，x ≤0，x 2－2x ＋2，x >0. (1)求不等式f (x )>5的解集；
(2)若方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，由x ＋6>5，得－1<x ≤0；
当x >0时，由x 2－2x ＋2>5，得x >3.
综上所述，不等式的解集为(－1,0]∪(3，＋∞)．
(2)方程f (x )－m 22＝0有三个不同实数根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝m 22的图象有三个不同的交点．
由图可知，1<m 22<2，
解得－2<m <－2或 2<m <2.
所以，实数m 的取值范围(－2，－2)∪(2，2) .
18. (本小题满分12分)有一小型自来水厂，蓄水池中已有水450吨，水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池向居民小区供水，x 小时内供水总量为8020x 吨．现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，问：
(1)多少小时后蓄水池中的水量最少？
(2)如果蓄水池中存水量少于150吨时，就会出现供水紧张，那
么有几个小时供水紧张？
解：设x小时后蓄水池中的水量为y吨，则有y＝450＋80x－8020x
＝450＋80x－1605x(x≥0)．
(1)y＝16(5x－5)2＋50(x≥0)，
则当5x＝5，即x＝5时，y min＝50，
∴5小时后蓄水池中水量最少为50吨．
(2)由题意，450＋80x－1605x<150，可得
5
2<x<35
2，即
5
4<x<
45
4.
∵45
4－
5
4＝10，故有10小时供水紧张．
19. (本小题满分12分)已知定义在R上的奇函数f(x)在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．
(1)请补全函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的表达式(只写明结果，无需过程)；
(3)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数(只写明结果，无需过程)．
解：(1)补全f(x)的图象如图所示：
(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2－4x ，x ≥0，－2x 2－4x ，x <0. (3)当a <0时，方程无解；
当a ＝0时，方程有三个解；
当0<a <2时，方程有6个解；
当a ＝2时，方程有4个解；
当a >2时，方程有2个解．
20. (本小题满分12分)某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2011年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：
若f (x )＋b ，f (x )＝2x ＋a ，
f (x )＝lo
g 12x ＋a .
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取11年和13年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．
解：(1)符合条件的是f (x )＝ax ＋b .
若模型为f (x )＝2x ＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x ＋2，
此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合．
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝52，
所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N .
(2)2015年预计年产量为f (7)＝32×7＋52＝13，
2015年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.
所以，2015年的实际产量为9.1万件．
21. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx ，(k ∈R )为偶函数．
(1)求k 的值；
(2)若函数 f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且仅有一个根，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，
即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，
∴log 44x ＋14x －log 4(4x ＋1)＝2kx ，
∴(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.
(2)依题意知，log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )，
整理得log 4(4x ＋1)＝ log 4[(a ·2x －a ) 2x ]，
∴4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x .(*)
令t ＝2x ，t >0，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0.(**)
只需其仅有一正根．
①当a ＝1时，t ＝－1不合题意；
②当(**)式有一正一负根时，
∴⎩⎨⎧ Δ＝a 2－4(1－a )>0，t 1t 2＝11－a <0，解得a ＞1；
③当(**)式有两相等的正根时，Δ＝0，
∴a ＝±22－2，且a 2(a －1)
>0， ∴a ＝－2－2 2.
综上所述，a 的取值范围为{a |a ＞1或a ＝－2－22}．
22. (本小题满分12分)某上市股票在30天内每股交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：
(1)P (元)与时间
t (天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；
(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解：(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，
易求得直线方程为P ＝15t ＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，
求得方程为P ＝－110t ＋8，
故每股交易价格P (元)与时间t (元)所满足的函数关系式为
P ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N ，
－110t ＋8，20<t ≤30，t ∈N .
(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系，即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N .
(3)由以上两问，可知
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20<t ≤30，t ∈N
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N ，110
(t －60)2－40，20<t ≤30，t ∈N ， 当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，
当20<t≤30，y随t的增大而减小，y<120，
∴在30天中的第15天，日交易额最大，最大值为125万元．。