(易错题)高中数学选修二第一单元《数列》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差
数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+
B ．2
()4f x x =
C ．3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．4()log f x x =
2．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（ ）． A ．29
B ．28
C ．27
D ．26
3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11
0,,22
n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．11
1143
3⨯- B ．12
1143
3⨯- C ．10
1243
3
⨯+
D ．11
1243
3
⨯+
5．已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且点1(,)()n n P a a n N *
+∈在直线
10x y -+=上，则
123
2019
1111S S S S ++++
=（ ）
A ．
2019
2020 B ．
2019
1010 C ．
2019
4040
D ．
20192020
2
⨯ 6．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a
7．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且72
3
n n S n T n +=+，则220715a a b b ++的值
为（ ）
A ．
149
24
B ．
7914
C ．
165
D ．
5110
8．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③
B ．①②
C ．①③
D ．①④
9．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足1
1
lim n n S a →∞
=，那么1a 的取值范围是（ ） A
．(
B ．()1,4
C ．()1,2
D ．()1,+∞
10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前
n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
11．在等差数列{}n a 中，10a >，10110a a ⋅<，若此数列的前10项和1036S =，前18项和
1812S =，则数列{||}n a 的前18项和18T 的值是（ ）.
A ．24
B ．48
C ．60
D ．84
12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5103
15S S ==，，则20S =（ ） A ．255
B ．375
C ．250
D ．200
二、填空题
13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11
2
a =，110n n n a S S +++=，则10S =________． 14．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则n a
n
的最小值为_________.
15．有一个数阵排列如下： 1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27……………………………… 28…………………………………… ………………………………………
则第40行从左至右第6个数字为______.
16．设数列{}n a 的前n 项和,n S 若11a =-，()*11
02
n n S a n N +-
=∈，则{}n a 的通项公
式为_______．
17．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()2
2
1110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项
公式n a =______.
18．设数列{}n a 满足11a =，且()
*
11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
前2020项的和为________．
19．已知函数()1e
e
x f x x
=+（e 是自然对数的底数），设(),
2020,1,2020,
4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫
> ⎪⎪-⎝
⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______.
20．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且8
7
1a a <-，则当0n S <时n 的最小值为
________.
三、解答题
21．设数列{}n a 满足12a =，12n
n n a a +-=；数列{}n b 前n 项和为n S ，且
()21
32
n S n n =
-． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
22．数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2
21n n n a S a -=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设42
41
n n b S =
-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使2
1(3)6
>
-n T m m 对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值．
23．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)*
12n n a S n N =-∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式， （2）设函数
13
()log f x x =，()()()12
n n b f a f a f a =++
+，
123111
1
n n
T b b b b =
+++求证：2n T <． 24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，
35730a a a ++=，2316b b a =.
（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .
①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；
②解关于n 的不等式n n S b ≥.
25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，
______，28b =，1334b b -=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前k 项和3
4k
T ≥，若存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由.从①420S =，②332S a =，
③3423a a b -=这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
26．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2
n S k n n n N
=⋅+∈，其中k 是常数.
（1）求1a 及n a 的值； （2）当k =2时，求证：
12n 1112
...3
S S S +++<； （3）设0k >
，记21
n n
b a =，求证：当2n ≥时，2341
1...14(1)
n n b b b b n k k -<++++<-+
+.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知
1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】
对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数，
因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于B ，函数2
()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2
4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为
常数，
因此1n n y y +-＝()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于C ，函数3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x
+-＝3
3
()()144n q
x
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等
差数列；
对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x
，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11
444
4log log log log n n n n
x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；
故选：D ． 【点睛】 方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
2．A
解析：A 【分析】
由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】 解：由题意知：
1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，
即：211a a -=，322a a -=，
，11n n n a a -=--，
把上述所有式子左右叠加一起得：(1)
12
n n n a -=
+， 88(81)
1292
a ⨯-∴=
+=. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11
b b k m m k =-=
-，， 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭ 是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于1
12(),n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，
m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；
（7）1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等
式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.
3．A
解析：A 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1
102n q -⨯>，
1
(1)
221n q q
-<-，即可求出参数q 的取值范围；
【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠． 11
0,2
n a a >=
，2n S <，
∴1
102n q -⨯>，1
(1)221n q q
-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得3
4
q
． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤
⎥⎝⎦
．
故选：A ． 【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
4．D
解析：D 【分析】 当2n ≥时，1n
n a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得
22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,
,2，结合等比数列的求
和公式，即可求解. 【详解】
由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===， 当2n ≥时，1n
n a S -=，又由1n n a S +=，
两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即1
2n n
a a +=， 则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即2
2,2n n a n -=≥，
又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +
<∈，所以“和谐项”共有12项，
则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，
可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为
111110
(112
44)11416413
431-++++
+=+=⨯+-.
故选：D. 【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
5．B
解析：B 【分析】
由点在直线上得到数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，根据公式特征利用裂项相消可得答案. 【详解】
点1(,)()n n P a a n N *
+∈在直线10x y -+=上，所以11n n a a +=+，即1=1n n a a +-
所以{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，即=n a n ，(1)=2
n n n
S +， 所以
1211=2(1)1n S n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
， 123
2019
111
1111
1112121223
201920202020S S S S ⎛⎫⎛
⎫++++=-+-++
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2019
1010=
. 故选：B. 【点睛】 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.
6．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+n a n n
=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<，
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113+
+122
n
n n b n --==，所以2+1212+n n
b n a
n n n n
===， 所以()()()()
+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，
所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ，
即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：22021
71521
a a S
b b T +=+，再根据题意得到答案．
【详解】
解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．
所以12122021
71521
121
1
21()2121()2
a a a a S
b b T b b ⨯+⨯
+==+⨯+⨯， 又因为723
n n S n T n +=+， 所以
220715149
24
a a
b b +=+． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．
8．B
解析：B 【分析】
利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项． 【详解】
由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>， 所以60a >，所以0d <，①正确； 111
116111102a a S a +=
⨯=>，故②正确； 1126712
126()02
a a S a a +=
⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n 项和的性质.
9．A
解析：A 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出11
1
lim 1n n a S q a →∞
=
=-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由于1
1
lim n n S a →∞
=
，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q
-=
-，则()111
11lim lim
11n n n n a q a S q
q a →∞
→∞
-==
=--，得2
11q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2
112a <<，11a >
，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2
101a <<，
11a >，则2101a <<不成立.
综上所述，1a
的取值范围是(. 故选A. 【点睛】
本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.
10．B
解析：B 【分析】
根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由
21n m T +>恒成立求解.
【详解】
因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，
所以11554
5352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
，
解得132
a d =⎧⎨
=⎩，
故32(1)21n a n n =+-=+，
所以
111111
()·(21)(23)22123
n n a a n n n n +==-++++，
所以11111111111()()23557212323236
n T n n n =
-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，
所以121
6+m ，解得5
12
≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{||}n a 的前18项和． 【详解】 解：
10a >，10110a a <，
0d ∴<，100a >，110a <，
181101118101810()60T a a a a S S S ∴=+⋯+--⋯-=--=．
故选：C ． 【点睛】
求数列{||}n a 的前n 项和，关键是求出其正负转折项，然后转化成等差数列求和，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】
由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由
51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，
可得20S . 【详解】
由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有2
10551510()()S S S S S -=-，
215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.
故选：A 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由5103
15S S ==，求出数列的首项和
公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。

二、填空题
13．【分析】将化为两边同除以可得数列数列是等差数列进而可求出再令即可求出【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：与关系问题的求解思路根据所求结 解析：
111
【分析】
将110n n n a S S +++=化为110n n n n S S S S ++-+=，两边同除以1n n S S +，可得数列数列1{}n
S 是等差数列，进而可求出n S ，再令10n =即可求出10S . 【详解】
因为110n n n a S S +++=，所以110n n n n S S S S ++-+=，所以11n n n n S S S S ++-=， 所以1111n n S S +-=，又11112S a ==，所以数列1{}n S 是以2为首项，1为公差的等差数
列， 所以
1
2(1)11n n n S =+-⨯=+，所以11n S n =+，所以10111
S =. 故答案为：1
11
【点睛】
思路点睛：n S 与n a 关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：
(1)利用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为只含n S ，1n S -的关系式，再求解； (2)利用1(2)n n n S S a n --=≥转化为只含n a ，1n a -的关系式，再求解．
14．【分析】由累加法求出数列的通项公式进而可得到的解析式再根据基本不等式可求得最小值【详解】解：即：…将这个式子累加可得：…即当时又又也适合上式由对勾函数的性质可知：当且仅当时取得最小值即时取得最小值又 解析：
225
【分析】
由累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而可得到
n
a n
的解析式，再根据基本不等式可求得n
a n
最小值.
解：
1n n a a n +=+，
1n n a a n +∴-=，
即：211a a -=，322a a -=，433a a -=，...，11(2,)n n a a n n n z ---≥∈=， 将这1n -个式子累加可得：1123n a a -=+++ (1)
+12
n n n --=， 即当2n ≥时，1(1)
2
n n n a a -=+， 又112a =，
()2(1)24
12=222
n n n n n a n n z --+∴=+≥∈，，
又112a =也适合上式，
()2(1)24
12=22n n n n n a n z --+∴=+∈
224121
=222
n a n n n n n n -+∴=+-， 由对勾函数的性质可知：当且仅当12
=2n n
时取得最小值，
即n =
又
n z ∈且45<<，
44121942422a =+-=，551212252525a =+-= ， 92225>， n a n ∴
的最小值为：
22
5
. 故答案为：22
5
. 【点睛】
易错点点睛：运用累加法求数列通项时，注意验证首项是否满足，若不满足，则需要写成分段的形式.
15．1030【分析】利用观察法和累加法得到进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：第2行从左至右第6个数字：；第3行从左至右第6个数字：；第4行从左至右第6个数字：；第5行从左至右第6个数字：；…
解析：1030 【分析】
利用观察法和累加法得到()17895n a a n -=+++
++，进而求解即可
第1行从左至右第6个数字：116a = 第2行从左至右第6个数字：223a =； 第3行从左至右第6个数字：331a =； 第4行从左至右第6个数字：440a =； 第5行从左至右第6个数字：550a =； ……………………………………；
第n 行从左至右第6个数字：n a ； 利用累加法得：
21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-，
()17895n a a n -=+++
++，
()()175162
n n n a -++⎡⎤⎣⎦
=
+
得，403952
1639261610302
a ⨯=
+=⨯+= 故答案为：1030 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于观察得到，
21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-
最后，使用累加法求出数列的通项n a ，属于中档题
16．【分析】时化为：时解得不满足上式利用等比数列的通项公式即可得出【详解】解：时化为：时解得不满足上式∴时故答案为：【点睛】本题考查由求通项公式在应用时要注意其中因此求出关系式后要对进行检验否则易出错
解析：2
1,6
23,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯⎩
【分析】
2n ≥时，1n n n a S S --=，化为：13n n a a +=，1n =时，121
12
a a -==，解得22a =-．不满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】
解：2n ≥时，1118
22
n n n n n a S S a a -+=-=
-，化为：13n n a a +=． 1n =时，123
12
a a -==
，解得22a =-．不满足上式． ∴2n ≥时，2
23n n a -=-⨯．
故答案为：2
1,623,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯⎩
． 【点睛】
本题考查由n S 求通项公式n a ，在应用1n n n a S S -=-时要注意其中2n ≥，因此求出关系式后要对1a 进行检验，否则易出错．
17．【分析】由条件有由数列为正项数列即得然后利用累乘法可求出数列的通项公式【详解】由则又数列为正项数列即所以即所以故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列的通项公式考查累乘法属于中档题
解析：1
n
【分析】
由条件有()()
1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦，由数列{}n a 为正项数列，即得
()101n n n a na ++-=，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.
【详解】
由()2
2
1110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则()()
1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦
又数列{}n a 为正项数列，即0n a >，11a = 所以()101n n n a na ++-=，即11
n n a a n
n +=+ 所以1
2112
11211
11
2n n n n n a a a n n a a a a a n n n
-----=
⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=- 故答案为：1n
【点睛】
本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查累乘法，属于中档题.
18．【分析】由得到用累加法求得从而得到然后利用裂项相消法求解【详解】因为所以左右分别相加得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查累加法求通项裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：
4040
2021
【分析】
由(
)*
11n n a a n n N
+-=+∈得到
1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得
22
n n n
a +=
，从而得到2121121
n a n n
n
n ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】
因为(
)*
11n n a a n n N
+-=+∈,
所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ， 左右分别相加得()()112234 (2)
-+=++++=
-n n n n a a ，
所以22
n n n
a +=，
所以
212112
1
n
a n n
n
n ，
所以20201111111
140402 (2122320202021120212021)
⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S ， 故答案为：4040
2021
【点睛】
本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．【分析】由题意可得且进而可得结合数列的通项公式可得从而可得答案【详解】根据题意因为所以所以因为所以故答案为：【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系关键是分析属于中档题 解析：
4039
2
【分析】
由题意可得， 1()11()111()e
e e x
f x x x
==++，且11(1)112
f ==+，进而可得1
()()1f x f x
+=，结合数列的通项公式可得
4039111
(1)(2)(2020)()()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020
f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++，
从而可得答案. 【详解】 根据题意，
因为()1e
e x
f x x =+，所以1()11()111()
e
e e x
f x x x
==++，11(1)112f ==+，
所以1()()1f x f x
+=，
因为(),
2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪
=⎨⎛⎫
> ⎪
⎪-⎝
⎭⎩ 所以4039111
(1)(2)(2020)(
)()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++
14039
201922
=
+= 故答案为：4039
2
【点睛】
此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x
+=，属于中档题.
20．14【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档题解题时
解析：14 【分析】
等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由
8
7
1a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．
【详解】
由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <， 再由
8
7
1a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】
本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
三、解答题
21．（1）()*2n n a n N =∈，()*32n b n n N =-∈；（2）()110352n n T n +=+-⋅．
【分析】
（1）由12n
n n a a +-=，得到()1
12
2n n n a a n ---=≥，再利用累加法求解；根据
()2
132n S n n =-，利用通项和前n 项的的关系11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.
（2）由（1）得()322n
n n n c a b n ==⋅-，然后利用错位相减法求和.
【详解】 （1）
12n n n a a +-=，
()1122n n n a a n --∴-=≥， ()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+
122222n n --=++
++
()()121222212
n n n --=
+=≥-，
又12a =满足上式，()
*
2n n a n N ∴=∈．
数列{}n b 中()21
32
n S n n =
-， ∴当2n ≥时，()()()2
211133113222n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=
-----=-⎣
⎦， 又当1n =时，111b S ==，满足上式．
()*32n b n n ∴=-∈N ．
（2）由（1）得()322n
n n n c a b n ==⋅-，
()()211242352322n n n T n n -∴=⨯+⨯++-⋅+-⋅①， ()()23121242352322n n n T n n +∴=⨯+⨯+
+-⋅+-⋅②，
①-②得
()()23123222322n n n T n +-=+++
+--⋅
()()2112122332212
n n n -+-=+⨯
--⋅-
()110532n n +=-+-⋅，
()110352n n T n +∴=+-⋅．
【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n n na q S a q q q
=⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 22．（1
）=n a 2）3． 【分析】
（1）根据题意，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理，即可求得n a ，检验11a S =满足此式，即可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）可得2
n S n =，代入即可求得n b 表达式，利用裂项相消法求和，即可求得n
T 的表达式，根据n T 的单调性，可得12
3
n T T ≥=，代入所求，利用一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】
（1）∵2
21n n n a S a -=，
∴当2n ≥时，2
112()()1-----=n n n n n S S S S S ，
整理得，22
11(2)n n S S n --=≥，又211S =，
∴数列{}
2
n S 为首项和公差都是1的等差数列．
∴2
n S n =，又0n S >，
∴=n S ，
∴2n ≥
时，1-=-=n n n a S S 又111a S ==适合此式，
∴数列{}n a
的通项公式为n a （2）∵422
2211
41
41
(21)(21)2121
n n b S n n n n n =
=
=
=----+-+
∴111111
11335
212121
n T n n n =-
+-++
-=--++， ∴随着n 逐渐增大，n T 逐渐增大，
∴123n T T ≥=
，依题意有，2
21(3)36
>-m m ，即2340m m --<， 解得14-<<m ，故所求最大正整数m 的值为3 【点睛】
解题的关键是熟练应用1(2)n n n a S S n -=-≥，根据不同条件，选择替换n a 或n S 进行求解，易错点为：需检验11a S =是否满足题意，若1a 不满足题意，需写成分段函数形式，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
23．（1）13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由12n n a S =-，结合n a 和n S 的关系，化简得到数列{}n a 为首项为13，公比为13
的等比数列，即可求得数列的通项公式；
（2）由函数
13()log f x x =，结合对数的运算性质，求得(1)2
n
n n b +=，再利用“裂项法”
求得数列的前n 项和，即可证得结论. 【详解】
（1）因为12n n a S =-，所以1112(2)n n a S n --=-≥， 所以11222(2)n n n n n a a S S a n ---=-=-≥，
可得11(2)3n n a a n -=≥，即1
1(2)3n n a n a -=≥， 又由1112a S =-，所以113
a =， 所以数列{}n a 为首项为
13，公比为1
3
的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为1113n n
n a q a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
=．
（2）由题意，函数
13
()log f x x =，所以11121n 3
3
3
log log log n b a a a =++
+
()12112
13
31log ,log 3n
n a a a +++⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
(1)
122
n n n +=+++=
则12112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，
所以12111n n T b b b =+++11111212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
221n =-+， 因为n *∈N ，所以
201
n >+，所以2221n -<+，即2n T <. 【点睛】 关于数列的裂项法求和的基本策略：
基本步骤：
裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
累加：将数列裂项后的各项相加；
消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 消项的规律：
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
24．（1）2n a n =，2n n b =；（2）①存在，5k =；②{}1,2,3,4.
【分析】
（1）由等差数列以及等比数列的性质以及通项公式得出答案；
（2）①11k k k b T T ++-=结合数列{}n b 的通项公式得出k 的值；②由()1n S n n =+将不等式化为()210n n n -+≤，令()()21n
f n n n =-+并得出其单调性，再由单调性确定解集. 【详解】
（1）因为等差数列{}n a 中，357
5330a a a a ++==，所以510a =. 设等差数列{}n a 的公差是d ，所以51251a a d -=
=- 所以()112n a a n d n =+-=.
设等比数列{}n b 的公比是q ，因为23
16b b a = 所以2331432b q q ==，所以2q ，所以112n n n b b q -==.
（2）①若存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立，则1
32k k b b +=+ 所以12232k k +=+，即232k =，解得5k =.
存在正整数5k =满足条件.
②()
()112
n n n a a S n n +==+ 所以()12n n n +≥，即()210n n n -+≤
令()()21n
f n n n =-+， 因为()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦ 所以当4n ≥时，(){}
f n 单调递增.
又()()210f f -<，()()320f f -<，()()430f f -=
所以()()()()()1234f f f f f n >>=<<<
因为()10f =，()44f =-，()52f =，
所以1n =，2，3，4时，()0f n ≤，5n ≥时，()0f n >，
所以不等式n n S b ≥，的解集为{}1,2,3,4.
【点睛】
解决本题的关键是构造新函数，通过作出确定函数的单调性，从而求得()0f n ≤的解集. 25．答案见解析
【分析】
设等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，将13,b b 用2,b q 表示，建立q 的方程，求解得出4b ，即为1a ，选①或②或③，均可求出等差数列的公差，进而求出n S ，从而得出1n
S ，最后利用裂项相消法求出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前k 项和k T ，然后求解不等式34k T ≥，即可求出k 的最小值. 【详解】
解：由题可知，28b =，1334b b -=，
设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则218b b q q
==，328b b q q ==， 于是8384q q -⨯=，即2620q q +-=，解得：12q =，23
q =-（舍去）， 所以2
2421822b b q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 若选①：则142a b ==，420S =， 则41434202
S a d ⨯=+=，解得2d =， 所以()21222n n n S n n n -=+
⨯=+，则()111111n S n n n n ==-++， 于是121111111111122311k k T S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令13114
k -≥+，解得：3k ≥， 因为k 为正整数，所以k 的最小值为3；
若选②：则142a b ==，332S a =， 则()311323222
S a d a d ⨯=+=+，解得：12a d ==，下同①； 若选③：则142a b ==，3423a a b -=，
则()()113238a d a d +-+=，解得：43
d =， 于是()2142422333
n n n S n n n -=+⨯=+，则()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭， 于是3111111114324112k T k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 311114212k k ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭93118412k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
， 令34k T ≥，即9311384124k k ⎛⎫-+≥ ⎪++⎝⎭， 得111122
k k +≤++，得240k k --≥，
所以k ≥
或k ≤， 又因为k 为正整数，解得：3k ≥，所以k 的最小值为3.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的基本量的计算、等差数列的前n 项和以及利用裂项相消法求数列和，解题的关键在于熟练掌握等差等比和数列相关公式以及裂项相消法求和，考查计算求解能力.
26．（1）1121n a k a kn k =+=-+；；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解；
（2）转化条件得12(21)(21)
n S n n <-+，由裂项相消法即可得证； （3）通过放缩可得1n b >、111114n n n b k a a -⎛⎫<+
- ⎪⎝⎭，结合裂项相消法即可得证. 【详解】
（1）1n =时， 111a S k ==+，
2n ≥时，221[(1)(1)]21n n n a S S k n n k n n kn k -=-=⋅+-⋅-+-=-+，
又11a k =+也满足21n a kn k =-+，
11,21n a k a kn k ∴=+=-+；
（2）证明：当 2k =时， 22n S n n =+
112211(21)2(21)(21)(21)2121
n S n n n n n n n n ∴==<=-++-+-+ 2n ∴≥时，
12311111111111335572121n S S S S n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 2123213
n =-<+；
显然1n =时，111233
S =<成立； 123111123
n S S S S ∴++++<； （3）证明：当0k >时，1n a >，24
11n n
a a ∴>，
2222111111n n n n n b a a a a ⎛⎫∴=>=+-= ⎪⎝
⎭ 231n b b b n ∴+++>
-； 又当2n ≥时，22221131111111111112224n n n n n n n n n a b a a a a a k a a --++
⎛⎫=<-=+<+=+- ⎪⎝⎭
， 231223
1111111114n n n b b b n k a a a a a a -⎛⎫∴+++<-+-+-++- ⎪⎝⎭111111111144(1)44(1)
n n n n n k a a k k k a k k ⎛⎫=-+-=-+-<-+ ⎪+⋅+⎝⎭， 综上所述，当2n ≥时，()2311141n n b b b n k k -<++
+<-++. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对数列进行合理放缩，细心计算即可得解.。