频域卷积定理证明

具体答案如下：
函数卷积的傅立叶变换是函数的傅立叶变换的产物。

时域的卷积定理对应于频域的乘积；频域中的卷积定理与时域中的乘积相对应。

频域中的卷积定理与时域中的乘积相对应。

扩展数据：
卷积与傅立叶变换密切相关。

利用两个函数的傅里叶变换的乘积等于它们的卷积傅里叶变换的性质，可以简化傅里叶分析中的许多问题。

通过卷积获得的函数f * g通常比f和G光滑。

特别是，如果G 是具有紧集的光滑函数并且F是局部可积分的，则它们的卷积f * g 也是光滑函数。

通过使用此属性，对于任何可积分函数f，我们都可以简单地构造一系列近似于F的平滑函数FS。

此方法称为函数平滑或正则化。

频域卷积定理
频域中的卷积定理表明，时域中两个信号的乘积对应于这两个信号的傅立叶变换的卷积除以2π。

卷积定理揭示了时域和频域之间的对应关系。

该定理也适用于Laplace变换，z变换和Mellin变换的变体。

应当注意，以上描述仅对某些形式的变换是正确的，因为可以通过其他方式将变换归一化，从而使其他常数因子出现在上述关系中。

傅立叶变换属于谐波分析。

傅里叶变换的逆变换很容易得到，其形式与正向变换非常相似。

正弦基函数是微分运算的本征函数，因此线性微分方程的解可以转换为常数系数的代数方程的解。

在线性时不变物理系统中，频率是不变的，因此可以通过组合系统对不同频率正弦信号的响应来获得系统对复杂激励的响应。

卷积定理指出，傅里叶变换可以将复杂的卷积运算转换为简单的乘积运算，从而为计算卷积提供了一种简便的方法。

离散形式的傅立叶变换可以通过数字计算机快速计算（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT））。