苏教版数学高一 必修4学案 平面向量基本定理

2.3向量的坐标表示
2.3.1平面向量基本定理
1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点) 2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点) 3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1平面向量基本定理
阅读教材P74～P75第一自然段的内容，完成下列问题．
1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．()
(2)0能与另外一个向量a构成基底．()
(3)平面向量的基底不是唯一的．()
【解析】平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理2 平面向量的正交分解
阅读教材P 75第二自然段的有关内容，完成下列问题．
一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e 1，e 2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解．
如图2-3-1，在△ABC 中，P 为BC 边上一点，且BP →＝32PC →
.
图2-3-1
(1)用AB →，AC →为基底表示AP →
＝________； (2)用AB →，PC →为基底表示AP →
＝________. 【解析】 (1)∵AP →＝AB →＋BP →
， BP →＝32PC →＝35BC →，BC →＝AC →－AB →，
∴AP →＝AB →＋35BC →＝AB →＋35AC →－35AB →＝25AB →＋35AC →. (2)AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋32PC →. 【答案】 25AB →＋35AC → AB →＋32PC →
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：
疑问3： 解惑：
[小组合作型]
基底的概念理解
设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作
为基底的是________．
①e 1＋e 2和e 1－e 2；②3e 1－4e 2和6e 1－8e 2；③e 1＋2e 2和2e 1＋e 2；④e 1和e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2和e 1－1
10e 2.
【精彩点拨】 验证所给向量是否共线，若共线则不能构成基底． 【自主解答】 由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，3e 1－4e 2＝1
2(6e 1－8e 2)，即3e 1－4e 2与6e 1－8e 2共线，
∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫e 1－110e 2，
∴2e 1－15e 2与e 1－1
10e 2共线，不能作基底． 【答案】 ②⑤
向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若e 1，e 2是基底，则必有e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线，如0与e 1，e 1与2e 1，e 1＋e 2与2(e 1＋e 2)等均不能构成基底．
[再练一题]
1．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ，d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．
【解】 设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ(3a －2b )，即(2－3λ)a ＋(2λ－1)b ＝0.
由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底．
用基底表示向量
如图2-3-2所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →
，
CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →
表示出来．
图2-3-2
【精彩点拨】 以AB →，AC →为基底表示向量MN →，NP →，PM →
，注意三角形法则的应用．
【自主解答】 NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －2
3b ， MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝1
3(a ＋b )．
1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．
2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两
不共线向量作为基底，然后用上述方法求解．
[再练一题]
2．如图2-3-3所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →
＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.
【导学号：06460051】
图2-3-3
【解】 设AB →＝a ，AD →
＝b ，则 由⎩⎨⎧
AL →＝AD →＋DL →，
AK →＝AB →＋BK →，得⎩⎪⎨⎪⎧
e 2＝b ＋1
2a ，e 1＝a ＋1
2b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23(2e 1－e 2)，
b ＝23(2e 2－e 1)，
∴AB →＝－CD →＝2
3(2e 1－e 2)， ∴CD →＝23e 2－4
3e 1； BC →＝AD →＝43e 2－23e 1.
[探究共研型]
平面向量基本定理与向量共线 定理的应用
探究
【提示】 是的．
探究2 若e 1，e 2不共线，且λe 1＋μe 2＝0，则λ，μ满足什么关系？ 【提示】 λ＝μ＝0.
如图2-3-4，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在AC 上上且AN
＝2NC ，AM 与BN 交于点P ，求AP ∶PM 的值．
图2-3-4
【精彩点拨】 选取基底AB →，AC →→表示AM →，BN →→设AP →＝λAM →，BP →＝μBN →
→由AB →＝AP →＋PB →
求λ，μ的值．
【自主解答】 设AB →＝a ，AC →
＝b ， 则AM →＝12(a ＋b )，BN →＝－a ＋23b . ∵A ，P ，M 共线，∴设AP →＝λAM →
， ∴AP →＝λ
2(a ＋b )， 同理设BP →＝μBN →
， ∴BP →＝－μa ＋23μb . ∵AB →＝AP →＋PB →，
∴a ＝λ2(a ＋b )－⎝ ⎛
⎭⎪⎫－μa ＋23μb ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2－μa ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
λ2－23μb .
∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ2＋μ＝1，
λ2＝2
3μ，
∴λ＝45，μ＝3
5，
∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →， ∴AP ∶PM ＝4∶1.
1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．
2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
[再练一题]
3．如图2-3-5，平行四边形ABCD 中，H 为CD 的中点，且AH 与BD 交于I ，求AI ∶IH 的值．
图2-3-5
【解】 设AB →＝a ，AD →
＝b ， 则AH →＝12a ＋b ，DB →
＝a －b . 设AI →＝λAH →，DI →＝μDB →， ∴AI →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＝λ
2
a ＋λ
b ，
又AI →＝AD →＋DI →
＝b ＋μ(a －b )＝μa ＋(1－μ)b ， 故⎩⎨
⎧
λ
2＝μ，
λ＝1－μ，
∴32λ＝1，∴λ＝23.
∴AI ∶IH ＝2∶1.
[构建·体系]
1．对于下列说法中：
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量． 其中正确的说法是________．
【解析】 由平面向量基本定理直接就可推知②③正确． 【答案】 ②③
2．如图2-3-6所示，△ABC 中，若D ，E ，F 依次是AB 的四等分点，则以CB →
＝e 1，CA →＝e 2为基底时，CF →
＝________.
图2-3-6
【解析】 CB →＝e 1，CA →＝e 2，∴AB →
＝e 1－e 2. ∵AF →＝34AB →，∴AF →＝3
4(e 1－e 2)，
∴CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2. 【答案】 34e 1＋1
4e 2
3．向量a 在基底{e 1，e 2}下可以表示为a ＝2e 1＋3e 2，若a 在基底{e 1＋e 2，e 1－e 2}下可表示为a ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(e 1－e 2)，则λ＝________，μ＝________.
【解析】 由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧
λ＋μ＝2，
λ－μ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝5
2，μ＝－1
2.
【答案】 52 －12
4．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →
(m ≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP →用OA →，OB →
表示为________. 【导学号：06460052】
【解析】 由AP →＝mPB →，得OP →－OA →＝m (OB →－OP →
)， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →
＝OA →＋mOB →1＋m
＝1m ＋1OA →＋m 1＋m
OB →. 【答案】 OP →＝1m ＋1OA →＋m 1＋m
OB →
5．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a ，b 表示向量AG →
.
【解】 连结AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →) ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →
＝23AB →＋13BC →
＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .
我还有这些不足：
(1) (2)
我的课下提升方案： (1) (2)
学业分层测评(十八) 平面向量基本定理
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．
【解析】 如图所示，AD →与AB →
为不共线向量，可以作为基底.CA →与DC →为不共线向量，可以作为基底.DA →与BC →，OD →与OB →
均为共线向量，不能作为基底．
【答案】 ①③
2．已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．
【解析】 由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－1，∴x ＋y ＝
1.
【答案】 1
3．(2016·苏州高一检测)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →
，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ＝________.
【解析】 ∵AD →＝2DB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →
＋23CB →.
又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23. 【答案】 2
3
4．若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________．
【解析】 易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3＝6λ，－4＝kλ，∴k ＝－8. 【答案】 －8
5．如图2-3-7所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→
，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，b ________0.(填“＞”或“＜”)
图2-3-7
【解析】 由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】 ＜ ＞
6．设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则n
m ＝________. 【解析】 由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴n
m ＝2. 【答案】 2
7．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
【导学号：06460053】
【解析】 设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝1
2b －a ， AE →＝b －1
2a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →， 得b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2b －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
λ2＋μa ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ
2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝4
3.
【答案】 43
8．如图2-3-8，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中点依次为D ，E ，F ，则AD →＋BE →＋CF →
＝________.
图2-3-8
【解析】 原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋12(CB →＋CA →
)＝0. 【答案】 0 二、解答题
9．如图2-3-9，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →
.
图2-3-9
【解】 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →
＝AB →＋12AD →＝a ＋12b . EG →＝EA →＋AD →＋DG → ＝－12AB →＋AD →＋13DC →
＝－12a ＋b ＋13a ＝－1
6a ＋b .
10．设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .
【解】 设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则 －e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
4λ1－3λ2＝－1，
2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝－1
18，λ2＝727，
∴a ＝－118b ＋7
27c .
[能力提升]
1．如图2-3-10，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →
＝________.
图2-3-10
【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →
＝AB →＋34BC → ＝AB →＋34(AC →－AB →) ＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】 34b ＋1
4a
2.如图2-3-11，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →
＋
29AC →
，则实数m 的值为________．
图2-3-11
【解析】 设NP →＝λNB →
，
NP →＝AP →－AN →＝mAB →＋29AC →－14AC →＝mAB →－136AC →， λNB →＝λ(AB →－AN →)＝λ⎝
⎛⎭⎪⎫
AB →－14AC →＝λAB →－λ4AC →，
∴⎩⎨⎧
m ＝λ，
－136＝－λ4，
∴m ＝λ＝1
9.
【答案】 19
3．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →
，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．
【解析】 如图，分别在AB →，AC →
上取点E ，F ， 使AE →＝34AB →，AF →＝14AC →， 在BC →上取点G ，使BG →＝14BC →， 则EG ∥AC ，FG ∥AE ， ∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →，
∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝1
4.
【答案】 1
4
4．如图2-3-12，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，试问：1
x ＋1
y 是否为定值？
图2-3-12
【解】 设AB →＝a ，AC →
＝b ， 则AM →＝x a ，AN →
＝y b ，
AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝1
4(a ＋b )，
∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，
MN →＝AN →－AM →
＝y b －x a ＝－x a ＋y b .
∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋1
4b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b . ∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
14－x ＝－λx ，14＝λy ，
消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1
y 为定值.。