考点11 基本不等式-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 (1)

考点11 基本不等式
考点梳理
1．基本不等式
①若a ，b ∈R ，则有
a 2＋
b 2≥2ab ，a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立． ②若a ，b ∈R ＋，则有a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
2．基本不等式的应用
应用基本不等式及其变形求最值、范围、证明不等式等．
例题讲解
【例1】已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )
A ．ab ≤12
B ．ab ≥12
C ．a 2＋b 2≥2
D ．a 2＋b 2≤2 【解析】 a ＋b ＝2，a ≥0，b ≥0.则2ab ≤a ＋b ＝2，即ab ≤1.又(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≤2＋(a 2＋b 2)，得a 2＋b 2≥2，故选C.
【变式训练】当a ，b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( )
A.a ＋b 2
B.ab
C.a 2＋b 22
D.2ab a ＋b
【答案】D
【分析】∵a >0，b >0，a ≠b ，∴a ＋b 2>ab ，∵a 2＋b 2>2ab ，∴a 2＋b 22>ab ，所以选项A ，B ，C 中，ab 最小．又a ＋b >2ab >0，∴2ab a ＋b <1，得2ab a ＋b •ab <ab ，∴2ab a ＋b <ab ，∴2ab a ＋b
最小．故选D. 【例2】设正实数a ，b 满足a ＋λb ＝2(其中λ为正常数)．若ab 的最大值为3，则λ＝( )
A ．3 B.32 C.23 D.13
【解析】 ∵a ＋λb ＝2≥2λab ，∴λab ≤1，∴ab ≤1λ，∴1λ＝3，∴λ＝13
.故选D. 【变式训练】已知a ，b 为正实数，则3a b ＋b a
的最小值为____________． 【答案】23 【分析】3a b ＋b a ≥23a b •b a ＝23，当且仅当3a b ＝b a 即b ＝3a 时，3a b ＋b a
的最大值为2 3. 【例3】已知x >2，则4x －2
＋x 的最小值为____________．
【解析】 4x －2＋x ＝4x －2＋()x －2＋2≥24x －2•()x －2＋2＝6，当且仅当4x －2＝x －2即x ＝4时，4x －2＋x 取最小值6.
【变式训练】已知m <1，则
4m －1
＋m 的最大值为____________． 【答案】－3 【分析】4m －1＋m ＝4m －1＋(m －1)＋1＝－[41－m
＋(1－m )]＋1 ≤－241－m •（1－m ）＋1＝－3，当且仅当41－m ＝1－m 即m ＝－1时，4m －1＋m 的最大值为－3. 【例4】 已知x ，y ∈R ＋，且满足3x ＋4y
＝1，则x ＋y 的最小值为____________． 【解析】 x ＋y ＝()x ＋y ⎝⎛⎭⎫3x ＋4y ＝3＋4x y ＋3y x ＋4≥7＋24×3＝7＋43，当且仅当4x y ＝3y x 且3x ＋4y
＝1即x ＝3＋23，y ＝4＋23时，x ＋y 的最小值为7＋4 3.
【变式训练】 已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4
＝1，则xy 的最大值为____________． 【答案】 3 【分析】∵1＝x 3＋y 4≥2x 3•y 4＝xy 3，∴xy ≤3，∴xy ≤3，当且仅当x ＝32
，y ＝2时，xy 的最大值为3. 【例5】若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y
＝5，则x ＋y 的最大值为____________． 【解析】 5＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，∴1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值为4.
【变式训练】若正实数a ，b 满足4a 2＋9b 2＋3ab ＝30，则ab 的最大值为____________．
【答案】2
【分析】30＝4a 2＋9b 2＋3ab ≥2×(2a )×(3b )＋3ab ，当且仅当2a ＝3b 时取等号，∴12ab ＋3ab ≤30，即ab ≤2，故ab 的最大值为2.
【例6】若正实数x ，y 满足
x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为____________． 【解析】 x
12＋y 22≤x 2＋（
12＋y 22）22＝x 2＋12＋y 222＝34，当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，∴x 1＋y 2＝2x 12＋y 22≤342，∴x 1＋y 2的最大值为34
2. 【变式训练】 若正实数a ，b 满足4a 2＋b 2
9＝3，则b a 22＋2的最大值为____________．
【答案】578
2 【分析】b
a 22＋2＝322×
b 3（a 22＋2）×8≤322×（b 3）2＋（a 22＋2）×82＝322×b 92＋4a 2＋162＝322×192＝5782， 故b
a 22＋2的最大值为578
2.
巩固训练
一、选择题 1．若xy >0，则对x y ＋y x
说法正确的是( ) A ．有最大值－2 B ．有最小值2
C ．无最大值和最小值
D ．无法确定
【答案】B
【分析】∵x y ，y x 均为正数，∴x y ＋y x ≥2x y •y x
＝2，当且仅当x ＝y 时取等号．故选B. 2．已知m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )
A ．100
B ．50
C ．20
D ．10
【答案】B
【分析】m 2＋n 2＝100≥2mn ，mn ≤50，当且仅当m ＝n 时取等号．故选B.
3．若x ＋3y ＝2，则z ＝3x ＋27y ＋3的最小值是( )
A.113
B ．3＋2 2
C ．6
D ．9 【答案】D
【分析】z ＝3x ＋27y ＋3＝3x ＋33y ＋3≥23x •33y ＋3＝23x
＋3y ＋3＝232＋3＝9，当且仅当x ＝1，y ＝13
时取等号．故选D.
4．已知a ，b 为正实数，1a ＋1b
＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5
【答案】C
【分析】1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥221ab •2ab ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号．故选C. 5．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝xy ，则x ＋2y 的最小值是( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．0
【答案】A
【分析】∵x ＋2y ＝xy ，∴1y ＋2x ＝1.x ＋2y ＝(x ＋2y )•(1y ＋2x )＝x y ＋2＋2＋4y x
≥4＋2x y •4y x ＝8，当且仅当x y ＝4y x
即x ＝4，y ＝2时取等号．故选A.
6．若x 2＋2x <a b ＋16b a
对任意正实数a ，b 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A.()－4，2 B.()－∞，－4∪()2，＋∞
C.()－2，0
D.()－∞，－2∪()0，＋∞
【答案】A 【分析】a b ＋16b a ≥2a b •16b a ＝8，当且仅当a b ＝16b a 即a ＝4b 时取等号．故x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选A.
二、填空题
7．当x ＝________时，y ＝3x 2＋27x
2＋2的最小值是________． 【答案】3，20
【分析】y ＝3x 2＋27x 2＋2≥23x 2•27x 2＋2＝20，当且仅当3x 2＝27x 2即x 2＝3即x ＝±3时取等号． 故y ＝3x 2＋27x
2＋2有最小值20. 8．函数y ＝x 2＋5
x 2＋1的最小值是__________．
【答案】4
【分析】y ＝x 2＋5x 2＋1＝（x 2＋1）＋4x 2＋1＝x 2＋1＋4x 2＋1≥2x 2＋1•4x 2＋1＝4，当且仅当x 2＋1＝4x 2＋1
即x ＝±3时取等号．故y ≥4，即其最小值是4.
9．若a ，b 为正实数，不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值是________． 【答案】－4
【分析】∵1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，∴k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋a b
＋2≥4， ∴－（a ＋b ）2
ab
≤－4，当且仅当a ＝b 时取等号． 故k ≥－4，即k 的最小值是－4.
三、解答题
10．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1•⎝⎛⎭⎫1b －1•⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.
【解析】 (1a －1)•(1b －1)•(1c －1)＝a ＋b ＋c －a a •a ＋b ＋c －b b •a ＋b ＋c －c c
＝b ＋c a •a ＋c b •a ＋b c ≥2bc a •2ac b •2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 故(1a －1)•(1b
－1)•(1c －1)≥8成立．。