福建省漳州市平和县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文

平和一中2015-2016学年上学期期末考试高二文科数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“2
(0,),0x x x ∀∈+∞-≤”的否定是（ ）
A ．2
(,0],0x x x ∃∈-∞-> B ．2
(0,),0x x x ∃∈+∞->
C ．2
(0,),0x x x ∀∈+∞-> D ．2
(,0],0
x x x ∃∈-∞-≤
2．命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中 抽取7人，则其中成绩在区间[136,151]上的运动员人数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知抛物线2
2(0)x
py p
的准线经过椭圆2
212
y x +=的一个
焦点，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．(0,2)-B ．(0,2)C ．(0,1)
-D ．(0,1)
5．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入的,m n 分别为 112，91，则输出的m 为（ ）
A ．3
B ．7
C ．0
D ．21
6．已知变量x 和y 满足关系0.23y x =-+，变量y 与z 负相关. 下列结论中正确的是（ ）
A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关
B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关
（第5题图）
C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关
D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关
7．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则使得该点到此三角形的三个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）
A ．1-
2π B ．1-4π C ．1-8π D ．1-16
π 8．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女
生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ） A.这种抽样方法是一种分层抽样 是一种系统抽样
9．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为2，，则C 的
焦距等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．
D ．10．已知函数2
1()43ln 2
f x x x x =-
+-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的单调递减区间为(1,3) B ．3x 是函数()f x 的极小值点 C ．()f x 的单调递减区间为(0,1)∪(3,)+∞ D ．1x
是函数()f x 的极小值点
11．已知抛物线2
2(0)y
px p
与椭圆2
22
2
1(0)x y a b a b 有相同的焦点F ，点A 是
两曲线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率为（ ）
A 1
B 1
C ．
512 D ．21
2
12．已知函数2()x
x
f x e e
x -=++（其中e 为自然对数的底数），则使得()(21)f x f x >- 成
立的x 的取值X 围为（ ）
A ．1
(,1)3 B ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞ C ．11(,)33- D ．11(,)(,)33
-∞-⋃+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13．某校老年、中年和青年教师的人数分别为900、1800、1600，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有240人，则该样本的老年教师人数为
14．若函数3
()f x x ax =+在[1,)+∞上是单调递增函数，则实数a 的取值X 围为 15．函数ln y x x =-在其极值点处的切线方程为____________
16．设1F 、2F 分别是椭圆
22
12516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则1PM PF +的最大值为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,A A 和2个白球12,B B 的甲箱与装有3个红球123,,a a a 和1个白球1b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 18．(本小题满分10分)
为了分析某次考试数学成绩情况，用简单随机抽样从某班中抽取40名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下： 分数 [90,100） [100,110） [110,120） [120,130） [130,140） [140,150] 频数 2 8 12 a 6 2 频率
b
（Ⅰ）求样本频率分布表中a ，b 的值，并根据上述频率分布表，在答题卡中作出样本频率分布直方图； （Ⅱ）用样本估计总体，估计这个班这次数学成绩的平均数． （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
19．(本小题满分12分)
已知函数3
2
()f x x x ax b =--+(,)a b ∈R ，当1x 时()f x 取得极值2．
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]b 上的最大值．
20．(本小题满分12分)
已知抛物线2:2(0)E y px p =>，焦点为F ，若点(2,)(0)A m m
在抛物线E 上，且
3AF ．
（Ⅰ）求抛物线E 的方程和A 点的坐标；
（Ⅱ）若过点(2,0)且平行于AF 的直线l 与抛物线E 相交于,M N 两点，求MN ．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>经过点(0,1)A ．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若直线:l (1)1y k x =-+与椭圆E 交于不同两点,M N ，线段MN 的中点为P ，O 为坐标原点，且直线OP 的斜率存在，求直线l 与直线PO 的斜率之积．
22．(本小题满分12分)
已知函数2
()ln f x ax x x x =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y
f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线230x y --=，求a 的值；
（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值X 围．
平和一中2015-2016学年上学期期末考试高二文科数学试题
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1-5：BACDB 6-10：DBCAD 11-12：BA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13：135 14：[3,) 15：1y 16：15
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：
11121311{,},{,},{,},{,}A a A a A a A b ，21222321{,},{,},{,},{,}A a A a A a A b ，
11121311{,},{,},{,},{,}B a B a B a B b ，21222321{,},{,},{,},{,}B a B a B a B b ． ……6分
（Ⅱ）不正确，理由如下： ……7分 由（I ）知，所有可能的摸出结果共16种， ……8分 其中摸出的2个球都是红球的结果为
111213{,},{,},{,},A a A a A a 212223{,},{,},{,}A a A a A a ，共6种， ……9分
故中奖的概率为
63168P
，不中奖的概率为35
1
883
8
， ……11分 故该说法不正确．……12分 ……12分 18．(本小题满分10分) 解析：（Ⅰ）由28126240a ，得10a ；
由
100.2540
，得0.25b . ……2分
频率分布直方图（略） ……6分 （Ⅱ）这40名学生数学成绩的平均数估计为
950.051050.201150.301250.251350.151450.05119x
由此估计这个班这次数学成绩的平均数为119分． ……10分 19．(本小题满分12分) 解析：（Ⅰ）2
()32f x x x a ……2分
因为1x
时()f x 取得极值2，所以
(1)2,(1)0,f f 即112,
320,
a b a ……4分 解得1,3a
b
，经检验符合题意． ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3b ，32
()
3f x x x x ，2
()
321f x x x ……8分
当(0,1)x
时()
0f x ，()f x 单调递减；当(1,3)x 时，()0f x ，()f x 单调递增，
又(0)
3f ，(3)
18f ，而318……11分
故()f x 在区间[0,]b 上的最大值为(3)18f ．……12分
20．(本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由题意和抛物线定义得232
p
，解得2p ，
故抛物线E 的方程为2
4y
x ， ……3分
因为点A 在抛物线E 上，所以2
8m ，又0m ，
故22m
，于是(2,A ．……6分
（Ⅱ）由（I ）知(1,0)F ，(2,A ，故直线AF 的斜率为由题意得直线l 的方程为22(2)y x ， ……8分
把它代入2
4y
x 整理得22980x x ，
2
(9)428
设1122(,),(,)M x y N x y ，则12
129
,42
x x x x ……10分
故22
221
9317
11(22)()44
2
2
MN
k x x ……12分 21．(本小题满分12分) 解析：(I)由题意知21,
2
c b
a ，又2
22a b c ，故2a
于是椭圆E 的方程为
2
2
12
x y ． ……5分
(II)设1122(,),(,)M x y N x y 把(1)1y
k x 代入
2
212
x y 整理得222
2
(12)(44)240k x k k x
k k
由已知有
0，故212
2
4412k k
x x k ， ……8分
12121
2
(1)1(1)1
(2)
2
y y k x k x k x x 2
2(1)
12k k ， ……9分
于是P 222
221
(
,)1212k k k k k ，直线PO 的斜率为1
2k
， ……11分
又直线l 的斜率为k ，所以直线l 与直线PO 的斜率之积为1
2
． ……12分 备注：用点差法求解相应给分． 22．(本小题满分12分) 解析：（I ）()2ln f x ax x ，
由题意(1)
2f ，得22a ，解得1a
． ……4分
（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)……5分
因为()0f x 恒成立，所以1ln 0ax x 恒成立，即1ln x
a
x
恒成立．……6分 令1ln ()
x
g x x (0)x ， ……7分 则2
ln 2
()x g x x
， ……8分 由()
0g x 得2x
e ；由()
0g x 得20
x e ．
所以()g x 在2
(0,)e 上单调递减，在2
(,)e 上单调递增， ……10分
因此()g x 的最小值为2
21
()g e e ……11分 又1ln x
a x
恒成立，故21
a e
，即a 的取值X 围为21
(,
]e
．……12分。