高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》分类汇编含答案

【高中数学】数学《平面向量》复习知识点
一、选择题
1．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r （ ）
A ．134
- B ．54 C ．5 D ．154
【答案】B
【解析】
【分析】 据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r
的方向为y 轴，建立直角坐标系， 则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u r ， 所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r . 故选：B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
2．若向量a b r r ，的夹角为3
π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．12- B ．12 C 3D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r ，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r . 即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3b a b π=r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r ，即20t a a b ⋅+⋅=r r r . 所以2221122b a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A
【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
3．在平行四边形OABC 中，2OA =
，OC =6AOC π
∠=，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则43λμ+的最大值为（ ） A
．2+B
．3+ C
．5+D
．7+ 【答案】D
【解析】
【分析】 先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6AOC π
∠=，
由余弦定理得24+3221,1AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o ,
∴圆B 与AC 相切于点A ， 又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
； ∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ； 如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=, 所以22333333,,(2)()1322222
AD DB OB =⨯==∴=++=, 所以7
2cos 13213
BOA ∠==, 所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r 的最大值为32cos023⨯⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是723+.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，22
20OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r ，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y =-⎧⎨
=-⎩，再根据22
20OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.
【详解】 设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r .
由3PB PA =u u u r u u u r 可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，
故选：C.
【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
5．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λ＋μ的值为（ ）
A ．65
B ．85
C ．2
D ．83
【答案】B
【解析】
【分析】 建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，列出方程组求解即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=. 故选：B
【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
6．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v ，则λ=（ ）
A ．13
B ．12
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】
因为2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ， 所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 因为AD DC λ=u u u v u u u v ， 所以λ=
12
， 故选：B
【点睛】 本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
7．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r
，则AE BF ⋅=u u u r u u u r （ ）
A ．24
B ．7-
C ．10-
D ．12-
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r 用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.
【详解】 由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12
BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r ,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13
BF AF AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||16(8)16126666
AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.
8．已知点1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆C 的离心率为（ ）
A
1
B
．2 C ．12 D
【答案】A
【解析】
【分析】 由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在
12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】 将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即
12121||2
MF MF OM F F c ⊥==，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =
，1MF =
，∴2a c =
+
，∴1c e a
==. 故选:A.
【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
9．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C
【解析】
【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r ，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==，
向量BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，
设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r ， ∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC BA AC BA AC BA AC
θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u ur r u ， 故夹角为120°，
故选：C .
【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
10．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2
=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu r =2，则△ABC 的面积为（ ）
A B ．32
C ．
D ．【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面
积．
【详解】
在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，
可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB = BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，
∴△ABC 的面积为：
116223acsinB =⨯⨯=． 故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
11．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.
【详解】
设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →→-=-+=，
即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题. 12．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）
A．
1
3
-B
．
1
3
C．
1
2
-D．
1
2
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD
=+=-
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出
()()
22
BP AB AC BD PD
λμμλλμ
=+=-++
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ
+.
【详解】
解：已知D、P分别为BC、AD的中点，
由向量的加减法运算，
得BP BD DP BD PD
=+=-
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
2
AB AD DB BD PD
=+=-+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
2
AC AD DC BD PD
=+=+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又()()
22
BP AB AC BD PD
λμμλλμ
=+=-++
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
Q，
则
1
221
μλ
λμ
-=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
则
1
2
λμ
+=-.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
13．已知点()
2,1
A，O是坐标原点，点()
,
P x y的坐标满足：
20
230
x y
x y
y
-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎩
，设z OP OA
=⋅
u u u r u u u r
，则z的最大值是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.
【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r ，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C.
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
14．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>3F 且斜率为()0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r ，则k =（ ）
A ．2
B 3
C 2
D ．1 【答案】C
【解析】
【分析】 由3e =3a =，3b =，可设椭圆的方程为222334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r 得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由
22211334x y c +=，22222334
x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
因为c e a ===，所以2a b =，
所以a =
，b =，则椭圆方程22221x y a b
+=变为222334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><，
又3AF FB =uu u r uu r
，所以()()1122,3,c x y x c y --=-， 所以()121
233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩ 因为A ，B 在椭圆上，所以22211334
x y c +=，① 22222334
x y c +=②. 由①—9×②，得2121212123(3)(3)3(3)(3)84
x x x x y y y y c +-++-=-， 所以21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833
x x c -=-， 所以123x c =，2109x c =
，从而1y =
，2y =
所以2(,)33A c -
，10(,)99B c c
，故9102393
k c c +==- 故选：C.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
15．已知椭圆C ：2
212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v ，则AF u u u v ＝( )
A
B ．2 C
D ．3
【答案】A
【解析】
设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v ，得043x =，013
y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v
【详解】
根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =， 即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v ，得()()001,31,n x y =-．
所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=， 得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=
故选A
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
16．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．23- B ．43- C ．83- D ．2-
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．
【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r ， 则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） 1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223
AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故选：D
【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
17．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．12
D ．12- 【答案】C
【解析】
【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322
AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22111362BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622
=-⨯⨯⨯=. 故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
18．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．上述均不是
【答案】B
【解析】
【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r
代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，
则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，
由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．
19．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形
【答案】C
【解析】 由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=12
|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.
选C
20．已知向量(),1a x =-r ， (b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ）
A
B C ．2 D ．4 【答案】C
【解析】
由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r
所以2a =
=r 故选C。