江苏省南京市金陵中学2020届高三下学期6月考前适应性训练数学试题

江苏省南京市金陵中学2020届高三下学期6月考前适应性训
练数学试题
xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明
一、填空题
1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}1,0,3B =-，则A B =______.
2．已知复数z 满足()2i 5z += ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为__．
3．已知双曲线2
221x y a
-=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率e =______.
4．某工生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产量之比为1:2:3．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的产品有8件，则样本容量n 的值为______．
5．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为__________
6．已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为⎡-⎣，则b a -的取
值范围是______.
7．下列四个命题：
①“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；
②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题；
③在ABC 中，“30A >︒”是“1sin 2
A >”的充分不必要条件； ④“函数()()tan f x x ϕ=+为奇函数”的充要条件是“()k k Z ϕπ=∈”.
其中真命题的序号是______(真命题的序号都填上)
8．在面积为2的ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是______.
9．设关于x 的不等式28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________
10．如图,△ABC 为等边三角形,分别延长BA ,CB ,AC 到点D ,E ,F ,使得AD ＝BE ＝CF ．若BA 2AD =,且DE
则AF CE ⋅的值是_______．
11．已知函数()32
232
x ax f x bx c =+++在区间()0,1内取极大值，在区间()1,2内取极小值，则()2
23z a b =++的取值范围为______.
12．公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V 1,正方体的体积为V 2,则12
V V 的值是_______．
13．已知函数()()()2log 10110x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩
，()f x x =的根从小到大构成数列{}n a ，则2012a =______.
14．已知函数()314
f x x ax =++，()ln
g x x =，记函数()()()()()22
f x
g x f x g x
h x -+=+，若()h x 在()0,∞+上恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是______.
二、解答题
15．（本小题共14分）已知动点()13,10,2P t t t t ⎛⎫+≠≠
⎪⎝⎭在角α的终边上. （1）若6
π
α=，求实数t 的值；
（2）记1sin 2cos 2=1sin 2cos 2S αααα
-+--，试用t 将S 表示出来. 16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.
（1）求证：1//A C 平面1AB D ；
（2）设M 为棱1CC 的中点，且满足1
BB BC =，求证：平面1AB D ⊥平面ABM .
17．在三角形ABC 中，已知1tan 2C =，cos 10B =-. （1）求tan A 的值；
（2）若ABC 的面积为310
，求边BC 的长. 18．如图所示的矩形区域长6m ，宽4m .现欲将矩形区域Ⅰ~Ⅳ设计成钢化玻璃舞台，将中间阴影部分设计成可升降的舞台，若区域Ⅰ和区域Ⅱ完全相同，长与宽之比为λ，区域Ⅲ和区域Ⅳ完全相同，长与宽之比为μ，1λ>，1μ>，区域Ⅱ和Ⅳ的较短边长分别为m a 和m b .
（1）试将a 和b 用λ，μ表示；
（2）若9λμ=，当λ，μ为何值时可升降舞台的面积最大，并求出最大面积.
19．设()2ln f x a x x
=+，(),0a R a ∈≠. （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；
（2）若[]
1,2x ∈时，()f x 的最小值为2，求实数a 的取值范围；
（3）试求函数()()2g x f x a =--的零点个数，并证明你的结论. 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q
-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；
（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？
若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之
和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．
21．已知曲线22y x =，先将曲线C 作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转90．
(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;
(2)求曲线C 在M T 作用下得到的曲线'C 的方程.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数).椭圆
C 的参数方程为sin 2cos x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 交于A ､B 两点，求线段AB 的长.
23．支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．
（1）通过现场调查12位市民得知，其中有10人使用支付宝．现从这12位市民中随机抽取3人，求至少抽到2位使用支付宝的市民的概率；
（2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有12，13，16
的概率获得0.1，0.2，0.3元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影响．若某位市民在一天内使用了2次支付宝，记X 为这一天他获得的奖励金数，求X 的概率分布和数学期望．
24．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知抛物线()2
20y px p =>上一点()4,M a 到抛物线焦点F 的距离为5.
（1）求抛物线的方程及实数a 的值；
（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且135αβ+=︒，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标
.
参考答案
1．{}0.3
【解析】
【分析】
本题通过交集的定义直接运算即可.
【详解】
解：∵ {}0,1,2,3A =，{}1,0,3B =-，
∴ {}0.3A B =，
故答案为：{}0.3
【点睛】
本题考查集合的交集，是基础题.
2【解析】
【分析】
由复数的运算法则可得2i z =-，结合复数的模长公式得结果.
【详解】
由()2i 5z += ，得()()()52i 52i 2i 2i 2i z -=
==-++-，
z ∴==
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数模长的概念，属于基础题.
3 【解析】
【分析】
根据渐近线方程求出a ，再利用离心率c e a ==.
【详解】 双曲线2
221x y a
-=渐近线方程：x y a =± 由的一条渐近线方程为20x y -=，可得2a =
又1b =，所以c e a
===.
【点睛】 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.
4．48
【解析】
【分析】
直接根据分层抽样的定义求解即可．
【详解】
解：设出样本容量为n ，
由题意知产品的数量之比依次为1:2:3， ∴18123n
=++， 48n ∴=，
故答案为：48．
【点睛】
本题主要考查分层抽样的定义的应用，属于基础题．
5．21
【解析】
【分析】
先读懂流程图的功能，然后逐步运算即可得解.
【详解】
解:由题意可知：
当1i =时, 2135S =⨯+=,
当3i =时, 2339S =⨯+=,
当5i =时, 25313S =⨯+=,
当7i =时, 27317S =⨯+=,
当9i =时, 29321S =⨯+=,
当11=i 时, 10i ≥,输出当前的S ,
故输出S 的值为21,
故答案为:21.
【点睛】
本题考查了流程图的功能，重点考查了运算能力，属基础题.
6．33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ 【解析】
【分析】 依题意可求得444a x b πππ+
≤+≤+，利用正弦函数的性质即可求得答案．
【详解】
∵函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭， 又[],x a b ∈，∴444a x b πππ+
≤+≤+，
又14x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴sin 14πx ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭， 在正弦函数sin y x =的一个周期内，要满足上式，则5444x πππ-
≤+≤， ∴()53442max b a πππ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，()53424
min b a πππ-=-=． 故答案为：33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题考查正弦函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
7．①②
【解析】
【分析】
对于①中，根据全称命题与存在性命题的关系，可判定正确；对于②中，根据逆命题与否命题的等价关系，可判定正确的；对于③中，根据三角函数的性质和三角形的性质，可判定不正确的；对于④中，根据正切函数的性质，可判定不正确.
【详解】 对于①中，因为22131()024x x x -+=-+
>，所以命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”为假命题，所以命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定为真命题，所以是正确的；
对于②中，由2
6(3)(2)0x x x x +-=+-≥，解得2x ≥或3x ≤-，即命题“若260x x +-≥，则2x >”的逆命题为真命题，所以其否命题为真命题，所以是正确的； 对于③中，例如：160A =，此时1sin sin1502A <=
，所以充分性不成立， 反之，若1sin 2
A >且0180A <<，根据三角函数的性质，可得30A >︒，即必要性成立， 所以在ABC 中，“30A >︒”是“1sin 2
A >”的充分不必要条件是不正确的； 对于④中，由函数()()tan f x x ϕ=+为奇函数可得k ϕπ=或()2k k Z πϕπ=
+∈，所以不
正确.
故答案为：①②.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记四种命题的关系，以及充分条件、必要条件的判定，三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与论证能力.
8．【解析】 【分析】 由平面几何的知识结合三角形面积公式可得2sin PB PC BPC
⋅=
∠，由平面向量数量积的运算可得2cos sin BP PC P C B B PC ∠=∠⋅，由余弦定理结合基本不等式可得244cos sin BP B C BP C C
-∠∠≥，进而可得242cos sin PC P BPC BP B C BC ⋅-∠∠+≥，令()42cos (),0,sin x f x x x π-=∈，利用导数求得()f x 的最小值后即可得解.
【详解】
因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，
所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，
所以2ABC PBC S
S =， 又2ABC S =，所以11sin 2
PBC S PB PC BPC ==⋅⋅∠， 因此2sin PB PC BPC
⋅=∠，所以2cos cos sin BPC PB PC BP PC B PC P C B ∠⋅⋅∠∠⋅==； 又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC
44cos s 22cos in PB PC PB PC BP BPC BPC
C ≥⋅-⋅-∠=∠∠， 当且仅当PB PC =时，取等号； 所以2
2cos 44cos 42cos sin sin sin BPC BPC BP PC PB BC C BPC BPC BPC
∠-∠-∠++∠∠≥=∠⋅， 令=∠x BPC ，42cos ()sin x f x x -=，()0,x π∈； 又2222sin (42cos )cos 24cos ()sin sin x x x x f x x x ---'==， 由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2
x >，所以03x π<<； 所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3π
π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上单调递增； 所以min ()3f x f π⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
因此2
PC PB
BC ⋅+的最小值是故答案为：【点睛】
本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
9．10-
【解析】
【分析】
先确定0a <，再利用0为其中的一个解，a Z ∈，求出a 的值，从而可得不等式，由此确
定不等式的整数解，从而可得结论.
【详解】
设28(1)716y ax a x a =++++，其图象为抛物线，
对于任意一个给定的a 值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足0y ≥而整数解只有有限个，所以0a <，
因为0为其中一个解可以求得167
a ≥-， 又a Z ∈，所以2a =-或1a =-，
则不等式为22820x x --+≥和290x -+≥，
可分别求得22x --≤≤和33x -≤≤，
因为x 位整数，所以4,3,2,1x =----和3,2,1,0,1,2,3x =---，
所以全部不等式的整数解的和为10-.
故答案为：10-.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数a 的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.
10．92
- 【解析】
【分析】
设AD ＝x ,再在△BDE 中根据余弦定理求解得出1x =,再利用数量积公式求解AF CE ⋅即可.
【详解】
易知△DEF 也为等边三角形,设AD ＝x ,则BD ＝3x ,
△BDE 中,由余弦定理得：()()221133232x x x x ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭
,解得x ＝1, 故BD ＝3,则9AF CE 33cos1202
⋅=⨯⨯︒=-
． 故答案为：92- 【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积以及余弦定理的运用,属于基础题.
11．1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【解析】
【分析】
本题先求导2'()2f x x ax b =++，再建立不等式组012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
，接着根据不等式组画
出可行域，最后根据可行域求目标函数的取值范围.
【详解】
解：∵ ()32
232
x ax f x bx c =+++， ∴ 2'()2f x x ax b =++，
∵ ()f x 区间()0,1内取极大值，在区间()1,2内取极小值，
∴ '(0)0'(1)0'(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
由012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
画出有序实数对(,)a b 所构成的区域，如图.
目标函数()2
23z a b =++，表示点(,)a b 到点(3,0)P -的距离的平方， 有题意：12020a b a b ++=⎧⎨++=⎩，得点(3,1)A -，1200a b b ++=⎧⎨=⎩
，得点(1,0)B -， 21PA =，24PB =，
点(3,0)P -到直线20a b ++=
的距离的平方：2212d == 则()223z a b =++的取值范围为1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故答案为：1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】 本题考查借函数在某区间的极值建立不等式，画可行域，利用目标函数的几何意义求范围，是偏难题.
12．56
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为2a 即可得出V 2,再利用总体积减去正方体八个角上的三棱锥的体积求出
V 1,继而得出12
V V 即可. 【详解】
解析：设正方体的棱长为2a ,
则V 2＝8a 3,23331211420883233
V V a a a a a =-⨯⨯⋅=-=, 故3132205386
a V V a ==． 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的体积问题,属于基础题.
13．2011
【解析】
【分析】
分别求得当x ≤0时，当01x <≤时，⋯，当1n x n <+时，方程()f x x =的解，即可得所求解.
【详解】
当0x 时，2log (1)x x -=，即21x x +=，由2x y x =+为增函数，可得0x =为方程的解； 当01x <时，2()(1)1log (2)1f x f x x =-+=-+，由()f x x =，可得122x x -+=，同理可得1x =；
当12x <时，2()(1)1log (3)2f x f x x =-+=-+，由()f x x =，可得223x x -+=，同理可得2x =；
当23x <时，2()(1)1log (4)3f x f x x =-+=-+，由()f x x =，可得324x x -+=，同理可得3x =；
⋯
当1n x n <+时，由()f x x =，可得12x n x n -++=，同理可得1x n =+．
则20122011a =．
故答案为：2011．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
14．3,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
求出()f x 的导数，通过导数分析()f x 的变化情况，从而列出满足条件的不等式，即可求解.
【详解】 由题意，函数(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩
， 因为2()3f x x a '=+,
当0a ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在()0,∞+单调递增，1()(0)4
f x f ， 此时()h x 在()0,∞+上无法满足恰有2个不同的零点，所以0a <，
则2()33f x x a x x ⎛=+=+ ⎝'，
所以()f x
在⎛
⎝
上为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭
上为增函数， 要使得若()h x 在()0,∞+上恰有2个不同的零点，
只需(1)0f <或(
)1010f f ⎧≤⎪⎪<⎪⎪<⎪⎩
， 解得54a <-或5344
a -≤<-，即34a <-. 故答案为：3,4⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.
15．（1
）t =
（2）31t S t =-+ 【解析】
【分析】
【详解】
分析：（1）利用正切函数的定义，得1tan 3t t
α+=；（2）将已知表达式恒等变换，化为1=tan S α
-，再将1tan 3t t α+=代入，化简即可． 详解：解：（1） ()13,10,2P t t t t ⎛⎫+≠≠ ⎪⎝
⎭是角α的终边上一点， 则1tan 3t t α+=
又6πα=
，则
13t t +=
，所以t = （2） 1sin2cos21sin2cos2S αααα-+=--=2212sin cos 2cos 112sin cos 12sin αααααα-⋅+--⋅-+=()()
cos cos sin sin sin cos αααααα--
cos 1sin tan ααα
=-
=- 111tan 3S t t
α
∴=-=-+ 31t S t ∴=-+ 点睛：本题主要考查了三角函数的定义以及三角函数恒等变换，考查了二倍角公式等，属于中档题．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）本小题先作辅助线，再证明O 是1AB 的中点，接着证明1//OD A C ，最后证明1//A C 平面1AB D .
（2）先证明1B D BM ⊥，再证明AD ⊥平面11B BCC ，接着证明AD BM ⊥，从而证明1BM ADB ⊥，最后证明平面1AB D ⊥平面ABM .
【详解】
（1）连接1A B 交1AB 于O ，连接OD .
因为在正三棱柱111ABC A B C -中，面11A B BA 是平行四边形，
所以O 是1AB 的中点.
由点D 是BC 的中点，
所以OD 是1A C 的中位线.所以1//OD A C .
又因为1
1AC B AD ⊄，1OD B AD ⊂， 所以1//A C 平面1AB D ；
（2）在平面11B BCC 中，
∵点D 是BC 的中点，M 为棱1CC 的中点，且满足1
BB BC =，
∴1B BD BCM △△≌.∴1B D BM ⊥.
∵正三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，
∴AD BC ⊥.
∵侧面11B BCC ⊥平面ABC ，11B BCC ⋂平面ABC BC =，
∴AD ⊥平面11B BCC ，
∴AD BM ⊥.
∵1B D BM ⊥，AD BM ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ⊂平面1AB D ，1B D ⊂平面1AB D ∴1BM ADB ⊥，而BM ⊂平面ABM ，
∴ 平面1AB D ⊥平面ABM .
【点睛】
本题考查通过线线平行证明线面平行、通过线面垂直证明面面垂直，是中档题.
17．（1）1；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由题可知，cos 10
C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ；
（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210
S AB BC B =
⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】
（1）ABC 中，因为0B π<<，
所以sin B=
sin
tan3
cos
B
B
B
==-.
所以()
()
1
3
tan tan2
tan tan1
1
1tan tan13
2
B C
A B C
B C
-
+
=-+=-=-=
--⨯-
；
（2）由（1）知45
A=︒，设BC a
=，
利用正弦定理：
sin sin
AB BC
C A
=
得：
5
a
AB a
==，
又
22
sin1
cos2
sin cos1
B
B
B B
⎧
=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，解得sin
5
B=，
所以ABC
的面积为：2
1133
sin
221010
S AB BC B a a
=⋅=⨯==，
所以1
a=，即1
BC=.
【点睛】
本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.
18．（1）
64
1
46
1
a
b
μ
λμ
λ
λμ
-
⎧
=
⎪-
⎪
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
；（2）2
λ=，
9
2
μ=时，最大面积为6.
【解析】
【分析】
（1）由题可直接写出；
（2）要使可升降舞台的面积最大，则需满足区域Ⅰ和区域Ⅲ的面积和最小，求出区域Ⅰ和区域Ⅲ的面积和，用,λμ表示，利用基本不等式可求出.
【详解】
（1）由题意，得64a b b a μλ+=⎧⎨+=⎩，解得641461a b μλμλλμ-⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩
； （2）因为9λμ=，所以234324a b μλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， 记区域Ⅰ和区域Ⅲ的面积和为S ，则
()()22221123321616S a b λμμλλμ=+=
-+- ()()2214129912416μμλλλμ⎡⎤=-++-+⎣
⎦ ()149492416
λμμλμλλμ=+++-⎡⎤⎣⎦ ()1104924916
μλ=+-⨯⎡⎤⎣⎦
110249916
⎡⎤≥⨯⨯=⎣⎦， 当且仅当49μλ=，即2λ=，92
μ=时，S 有最小值9， 此时升降舞台有最大面积，最大面积为6.
【点睛】
本题考查方程在研究实际问题中的应用，一般地，当实际问题能够归结为平面上的一个图形问题时，可以利用解析法解决，对于实际应用问题，求解时一定要注意其中包含的实际意义. 19．（1）函数()f x 的单调减区间为()0,2，单调增区间为()2,+∞；（2）[)2,+∞；（3）存在唯一零点，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数()22x f x x
-'=，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）求出()22ax f x x
-'=，讨论0a <或0a >，讨论函数的单调性，根据最值为2，求出实数a 的取值范围.
（3）求出()2
2ax g x x -'=，讨论0a <或0a >，判断函数的单调性，当0a <时，利用零点存在性定理可判断存在唯一零点；当0a >时，利用导数求出函数的最值，结合单调性求出
在2,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上存在唯一零点，即证. 【详解】
（1）()2
ln f x x x =+
，其导函数()22122x f x x x x
='-=-， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
所以，函数()f x 的单调减区间为()0,2，单调增区间为()2,+∞； （2）由已知，()12f =且()22
22
a ax f x x x x -'=
-=， 当0a <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数的最小值为()()212f f <=.矛盾； 当0a >时，由()0f x '=得2x a
=， 若
2
1a
≤，即2a ≥时，[]1,2x ∈，()0f x '>， 函数()f x 单调递增，所以函数的最小值为()12f =.满足题意；
若
21>a ，即2a a <<，21,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0f x '<， 函数()f x 单调递减，所以函数的最小值为()12f <=.矛盾. 综上所述，实数a 的取值范围为[)2,+∞； （3）由已知， ()()22
22
a ax g x f x x x x -''==
-=. 当0a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 又()10g a =->，()2
20g e e
=
-<， 故函数()g x 有且只有一个零点； 当0a >时，由()0g x '=得2x a
=
， 故当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；
当2,x a ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 而222ln 0g a a a a ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(因为ln x x <)，又2
220a a a a g e e ++⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 由1x
e x ≥+，得2
22
1a a
a e
a a
++≥
+>， 所以，在2,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上存在唯一零点. 而2222ln 022a a g a a a a ⎛⎫++⎛⎫
=-> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，且2
222a a a <++， 因为设()22ln 2x x h x x ++=-，0x ≥，有()2222111022
x x x h x x x x x +-+'=-=>++++
故()h x 单调递增.又()00h =，所以()0h x >成立. 所以在20,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一零点. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值、利用导数研究函数的零点，属于难题.
20．解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在 【解析】 【分析】
（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；
（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n
q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除
以1n
q ，再结合条件，即可得出结论；
（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可. 【详解】
（1）n=1时，11a S a ==，
2n ≥时，()
1111n n n n n n a
a S S q q aq q
---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1
n n
a q a +∴
=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n
q q q q q N q =++∈≥ 可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n
q q q -----=
因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．
（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n
q q q q q N q =++∈≥
可设4321n n n n >>>，
3q ≥，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴
4321n n n n a a a a =++不成立．
【点睛】
本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.
21．（1）1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,0110B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
（2）2
2x y =-
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）反射变换对应的矩阵为1001A ⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
，旋转变换对应的矩阵为()(
)()
()
cos 90
sin 900110sin 90cos 90B ⎡⎤---⎡⎤
⎢
⎥==⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
⎣
⎦；
（2在曲线C 上任取一点(),x y ，在M T 作用下对应点为(),x y ''，即0110x y x y x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x y y x
=-⎧⎨=-''⎩，又2
2y x =，所以22x y '=-'，从而可得曲线C 在M T 作用下得到的曲线C '的方程.
试题解析：（1）由题意，反射变换对应的矩阵为1001A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，
旋转变换对应的矩阵为()(
)()
()
cos 90
sin 900110sin 90cos 90B ⎡⎤---⎡⎤
⎢
⎥==⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
⎣
⎦ ∴
100101011010M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（2）在曲线C 上任取一点(),x y ，在M T 作用下对应点为(),x y ''，即
0110x y x y x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x y y x
=-⎧⎨=-''⎩，又22y x =，所以2
2x y '=-' 即曲线C '的方程为：2
2x y =- .
22
【解析】 【分析】
本题先求椭圆C 的普通方程为2
2
14
y x +=，
再将直线的参数方程代入得2134120t t +-=， 接着得到12124,13
12.13t t t t ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，最后求线段AB 的长即可.
【详解】
据椭圆C 的参数方程为sin ,
2cos ,
x y θθ=⎧⎨
=⎩(θ为参数)，
可得椭圆C 的普通方程为2
2
14
y x +=.
将直线l
的参数方程为,211,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)代入椭圆C 的普通方程， 化简得，2134120t t +-=.
设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，得12124,13
12.13t t t t ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以
1213AB t t =-=
==
.即线段
AB
的长为
13
. 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程互化，借参数方程的几何意义求距离，是中档题. 23．（1）21
22；（2）分布列见解析，数学期望为13
． 【解析】 【分析】
（1）“至少抽到2位”包括“抽到2位”或“抽到3位”，结合古典概型概率计算公式、组合数的计算，计算出至少抽到2位使用支付宝的市民的概率. （2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出X 的分布列和数学期望. 【详解】
（1）“至少抽到2位”包括“抽到2位”或“抽到3位”，所以至少抽到2位使用支付宝
的市民的概率为：213
102103
1221
22
C C C C += （2）X 的可能取值有：0.2,0.3,0.4,0.5,0.6.
()111
0.2224
P X ==⨯=； ()11111
0.323323
P X ==⨯+⨯=；
()111111115
0.43326629618P X ==⨯+⨯+⨯=+=；
()11111
0.536639P X ==⨯+⨯=；
()111
0.66636
P X
==⨯=.
所以X 的概率分布如下：
115111
0.20.30.40.50.643189363
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属于中档题.
24．（1）2
4y x =，4a =；（2）证明见解析，定点()8,8-.
【解析】 【分析】
（1）由抛物线的定义，得点()4,M a 到抛物线2
p
x =-的距离为，求得2p =，得到抛物线的方程，代入点()4,M a ，即可求解；
（2）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，分别求得14tan 4y α=+，24tan 4y β=+及124AB k y y =+，
再由135a β+=︒，结合两角和的正切公式，化简求得()1212832y y y y =-+-，代入即可求解. 【详解】
（1）因为点()4,M a 到抛物线焦点F 的距离为5， 由抛物线的定义，得点()4,M a 到抛物线2p x =-的距离为452p ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，即2p =，
所以抛物线的方程为2
4y x =.
又因为点()4,M a 在抛物线上，即24416a =⨯=，解得4a =.
（2）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又由()4,4M ，所以121144tan 444
y y y α-==
+-，
同理24
tan 4
y β=
+，
直线AB 的斜率为
2122
12124
44
AB y y k y y y y -=
=+-. 所以直线AB 的方程为2111244y y y x y y ⎛
⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭
，即()()121040*x y y y y y -++= 又因为135a β+=︒，
所以()()()()
1212121244
4844tan tan tan 1441tan tan 4416144
y y y y y y y y αβ
αβαβ+
++++++=
===--++--⋅++. 化简得()1212832y y y y =-+-，
将它代入(*)式，得()()121248320x y y y y y -+-+-=， 即()()()124880x y y y --++=， 所以直线AB 过定点()8,8-. 【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程的求解及应用，以及直线过定点问题，其中解答中熟记抛物线的定义，以及合理应用抛物线的标准方程和斜率公式，进行化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。