2020-2021学年高中北师大版数学必修2课件：1.4.1 空间图形基本关系的认识
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∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 方法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR， ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC 平面APR，又∵Q∈直线BC，
∴a，b，l共面． 即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则b α.
同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内． ∴a，b，c，l共面．
方法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α， 又∵A∈a，B∈b，∴AB α，即l α. ∵c∥b，∴c，b确定一个平面β， 而B∈b，C∈c，∴BC β，即l β. ∴b，l α，b，l β，而b∩l＝B， ∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．
是( ) A．l α
B．l∉α
C．l∩α＝A D．l∩α＝B
解析：∵l∩a＝A又a
α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且
B∈α.∴l α.
答案：A
3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是 ()
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D. 答案：D
解析：(1)A，C，D不正确，B正确． (2)∵M∈a，a α，∴M∈α. 答案：(1)B (2)M∈α
类型三 多线共点和多点共线问题 [例3]
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于 P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．
【证明】 方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
2.空间图形的公理 文字语言
过不在一条直线上的
公理1
三点，有且只有一个 平面(即可以确定一个
平面)
如果一条直线上的两
公理2
点在一个平面内，那 么这条直线在此平面
内(即直线在平面内)
图形语言
符号语言 若A、B、C三点不共 线，则存在唯一一个
平面α使A∈α， B∈α，C∈α
若A∈l，B∈l， A∈α，B∈α，则l α
方法归纳
解决点线共面问题的基本方法
跟踪训练 2 (1)下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平 面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，α间的关系为 ________．
跟踪训练 1 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的 中点分别是E，F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是 ()
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：方法一：与EF异面的直线有AD，A1D1，AA1，DD1， AB，CD，A1B1，D1C1，共8条．
方法二：正方体的12条棱中有BB1，BC，CC1，B1C1与EF共 面，其余8条棱都与EF异面．
4．下面空间图形画法错误的是( )
解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画． 答案：D
5．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线 上，这四点能确定________个平面．
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果 这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
答案：1或4
课堂探究 互动讲练 类型一 空间点、线、面的位置关系 [例1]
(1)如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么α与β的位 置关系是_α_∩__β_＝__l_；
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
【解析】 (1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2， l α，又l β，则α∩β＝l.
答案：C
类型二 点、线共面问题 [例2] 已知一条直线与另三条互相平行的直线都相交，求 证：这四条直线共面．
【思路点拨】 可运用已有的平行或相交条件，先确定一个 平面，然后证明剩余元素也在这个平面内，或者由两组元素分别 确定平面，然后证明两平面重合．
【解析】 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c，l共面． 证明：方法一：如图，∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l上有两点A，B在α内，即直线l α，
(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线 与直线BC′是异面直线．
方法归纳
(1)判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出 示意图；充分发挥空间想象能力，再对位置关系作出判断．
(2)对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永 远不具备确定平面的条件．“分别位于两个平面内的直线”不一 定是异面直线，它们可能平行，也可能相交．
类型 位置关系
公共点情况
图形表示
直线与 平面的 位置关
直线在平面 内(也称平面
经过直线)
有无数个公共点(这些公 共点的集合是该直线)
系
相交
有且只有一个公共点
直线与 平面的 位置关
系
平行
无公共点
符号表示 aα
a∩α＝A
a∥α
平面与 平面的 位置关
系
平行 相交
无公共点 有无数个公共点
α∥β α∩β＝l
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”直线确定一个平面．( √ ) (3)若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.( × ) (4)若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共 点．( √ )
2．如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的
【课标要求】 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间 的位置关系，并能用图形语言和符号语言表示. 2.理解空间图形的三个公理，并能用符号表示. 3.能应用公理进行简单的证明．
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．空间中点与直线、平面的位置关系 位置关系 符号语言
点A在直线a上 A∈a 点A在直线a外 A∉a 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点，那 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α 与β不重合，则α∩β
＝l，且A∈l
3.公理1的推论 (1)一条直线和直线外一点确定一个平面． (2)两条相交直线确定一个平面． (3)两条平行直线确定一个平面．
4．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
∴a，b，l共面． 即若a，l确定平面α，过l上一点B作b∥a，则b α.
同理，过l上一点C作c∥a，则c也在a，l确定的平面内． ∴a，b，c，l共面．
方法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α， 又∵A∈a，B∈b，∴AB α，即l α. ∵c∥b，∴c，b确定一个平面β， 而B∈b，C∈c，∴BC β，即l β. ∴b，l α，b，l β，而b∩l＝B， ∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．
是( ) A．l α
B．l∉α
C．l∩α＝A D．l∩α＝B
解析：∵l∩a＝A又a
α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且
B∈α.∴l α.
答案：A
3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是 ()
A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面
解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D. 答案：D
解析：(1)A，C，D不正确，B正确． (2)∵M∈a，a α，∴M∈α. 答案：(1)B (2)M∈α
类型三 多线共点和多点共线问题 [例3]
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于 P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．
【证明】 方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
2.空间图形的公理 文字语言
过不在一条直线上的
公理1
三点，有且只有一个 平面(即可以确定一个
平面)
如果一条直线上的两
公理2
点在一个平面内，那 么这条直线在此平面
内(即直线在平面内)
图形语言
符号语言 若A、B、C三点不共 线，则存在唯一一个
平面α使A∈α， B∈α，C∈α
若A∈l，B∈l， A∈α，B∈α，则l α
方法归纳
解决点线共面问题的基本方法
跟踪训练 2 (1)下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平 面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，α间的关系为 ________．
跟踪训练 1 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的 中点分别是E，F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是 ()
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：方法一：与EF异面的直线有AD，A1D1，AA1，DD1， AB，CD，A1B1，D1C1，共8条．
方法二：正方体的12条棱中有BB1，BC，CC1，B1C1与EF共 面，其余8条棱都与EF异面．
4．下面空间图形画法错误的是( )
解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画． 答案：D
5．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线 上，这四点能确定________个平面．
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果 这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
答案：1或4
课堂探究 互动讲练 类型一 空间点、线、面的位置关系 [例1]
(1)如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么α与β的位 置关系是_α_∩__β_＝__l_；
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
【解析】 (1)如图，l上有两点A，B在α内，根据公理2， l α，又l β，则α∩β＝l.
答案：C
类型二 点、线共面问题 [例2] 已知一条直线与另三条互相平行的直线都相交，求 证：这四条直线共面．
【思路点拨】 可运用已有的平行或相交条件，先确定一个 平面，然后证明剩余元素也在这个平面内，或者由两组元素分别 确定平面，然后证明两平面重合．
【解析】 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c，l共面． 证明：方法一：如图，∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l上有两点A，B在α内，即直线l α，
(2)棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线 与直线BC′是异面直线．
方法归纳
(1)判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出 示意图；充分发挥空间想象能力，再对位置关系作出判断．
(2)对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永 远不具备确定平面的条件．“分别位于两个平面内的直线”不一 定是异面直线，它们可能平行，也可能相交．
类型 位置关系
公共点情况
图形表示
直线与 平面的 位置关
直线在平面 内(也称平面
经过直线)
有无数个公共点(这些公 共点的集合是该直线)
系
相交
有且只有一个公共点
直线与 平面的 位置关
系
平行
无公共点
符号表示 aα
a∩α＝A
a∥α
平面与 平面的 位置关
系
平行 相交
无公共点 有无数个公共点
α∥β α∩β＝l
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”直线确定一个平面．( √ ) (3)若直线l上有无数个点在平面α外，则直线l∥α.( × ) (4)若两个平面平行，则在两个平面内的直线一定没有公共 点．( √ )
2．如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的
【课标要求】 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间 的位置关系，并能用图形语言和符号语言表示. 2.理解空间图形的三个公理，并能用符号表示. 3.能应用公理进行简单的证明．
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．空间中点与直线、平面的位置关系 位置关系 符号语言
点A在直线a上 A∈a 点A在直线a外 A∉a 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点，那 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α 与β不重合，则α∩β
＝l，且A∈l
3.公理1的推论 (1)一条直线和直线外一点确定一个平面． (2)两条相交直线确定一个平面． (3)两条平行直线确定一个平面．
4．空间直线与平面、平面与平面的位置关系