直线的一般式方程教学设计

环节五 直线的一般式方程——教学方案
引入新课
问题1：我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？ 答案：
区别：四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的，因此方程的应用条件也不同，呈现的表达形式也不同.
联系：四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征，利用几何要素的代数形式进行刻画，得到直线的代数表示，即直线上点的横纵坐标x ，y 之间关系，且这四种方程均有各自的限制条件.
追问：以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性?
答案：对于点斜式和斜截式方程，它们使用的前提是要满足直线斜率存在这一要求，因此，这两种方程都不能表示斜率不存在的直线；
对于两点式，它使用的前提是要满足给定两点的横纵坐标均不相等，因此不能表示斜率不存在或斜率为0这样的垂直或平行于x 轴的直线；
对于截距式，它使用的前提是要满足直线在x ，y 轴上的截距均不为0，因此除了不能表示斜率不存在或斜率为0这样的直线外，它还不能表示过原点的直线. 可见这四种方程都不能表示出所有的直线.
课堂探究
问题2：能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线l ？
答案：直线上任意点的几何特征，可借助已知几何要素的特点，转化为直线上点的横纵坐标x ，y 之间关系的代数表示，本质上是关于任意点的横纵坐标x ，y 的一个二元一次方程，可借助方程0Ax By C ++=来表示直线的几何特征.
追问1：在平面直角坐标系中的任意一条直线l 是否都能用关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=表示？
答案：通过之前的学习与分析，我们不难发现，在平面直角坐标系中的任意一条直线都能用关于x ，y 的二元一次方程Ax+By+C =0来表示.
比如我们熟悉的点斜式方程，就可以改写为00(1)0kx y y kx +-+-=；
再比如当斜率不存在时，直线的方程x =x 0可改写为x +0y-x 0=0，因此只需要将直线的方程恒等变形即可.
这里请大家注意，如要表示直线的方程，则x ，y 前面的系数A ，B 不能同时为0，因为当A ，B 同时为0时，C =0没有任何意义.
只要A ，B 不同时为0，方程中就含有x ，或含有y ，就可以表示直线上任意点的坐标所满足的特征，所以利用二元一次方程Ax +By +C =0表示直线时，要求A ，B 不同时为0.
追问2：对于任意一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=（其中A ，B 不同时为0），是否都表示一条直线？
答案：尝试将0Ax By C ++=改写成直线方程的形式，比如改写成斜截式y kx b =+，要注意0Ax By C ++=中y 前的系数B .
如果当0B ≠时，0Ax By C ++=可改写为A C y x B B =-
-，因此可得直线的斜截式方程，直线的斜率为A B -，在y 轴上截距为C B
-. 如果当0B =时，此时要求0A ≠，0Ax By C ++=可改写为C x A =-，得到过点(,0)C A
-且垂直于x 轴的直线. 同样的，可将二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）改写成其他直线方程的形式.
由此可知，二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）都可以表示一条直线. 小结：如果已知一条直线的方程，都可以将其变形为Ax +By +C =0（其中A ，B 不同时为0）的形式；
如果已知二元一次方程，也可以按照不同的直线的方程的形式来进行转化，从而来表示直线.
因此这种转化都是方程的同解变形，转化的方向是“凑成”相应的方程的形式.
在坐标系中，任意一个二元一次方程都表示一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的
任意一条直线都可以用一个确定的二元一次方程表示；所以说直线的方程，方程的直线.
由于二元一次方程的每一组解都可以看成坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合构成一条直线.
因此，我们将关于x ，y 的二元一次方程Ax +By +C =0（其中A ，B 不同时为0），称为直线的一般式方程，简称一般式.
问题3：在方程0Ax By C ++=中，,,A B C 为何值时，方程表示以下直线．
（1）平行于x 轴？（2）平行于y 轴？（3）与x 轴重合？（4）与y 轴重合？ 答案：方程0Ax By C ++=若要表示直线，前提要求A ，B 不同时为0．
（1）由直线平行于x 轴的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y 轴截距不为0，因此没有x 项，即x 前的系数0A =，则0B ≠；可将方程改写为A C y x B B =-
-，其中在y 轴上截距0C B -≠，则0C ≠，因此0A =，0B ≠，0C ≠，直线方程为C y B
=-. （2）由直线平行于y 轴的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x 轴截距不为0，因此没有y 项，即y 前的系数0B =，则0A ≠；可将方程改写为0Ax C +=，其中在x 轴上截距0C A -≠，则0C ≠，因此0A ≠，0B =，0C ≠，直线方程为C x A
=-. （3）由直线与x 轴重合的几何特征可知，直线的斜率为0，且在y 轴截距为0，因此没有x 项，即x 前的系数0A =，则0B ≠；可将方程改写为A C y x B B
=--，其中在y 轴上截距0C B
-=，则0C =，因此0A =，0B ≠，0C =，直线方程为0y =. （4）由直线与y 轴重合的几何特征可知，直线的斜率不存在，且在x 轴上截距为0，因此没有y 项，即y 前的系数0B =，则0A ≠；可将方程改写为0Ax C +=，其中在x 轴上截距0C A
-=，则0C =，因此0A ≠，0B =，0C =. 知识应用
例1 已知直线经过点(6,4)A -，斜率为43
-，求直线的点斜式及一般式方程. 解：经过点(6,4)A -，斜率为43-的直线的点斜式方程为44(6)3
y x +=--，化为一般式，得43120x y +-=.
例2 把直线l 的一般式方程260x y -+=化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.
解：把直线l 的一般式方程化为斜截式：132
y x =+. 因此，直线l 的斜率12
k =，它在y 轴上的截距是3. 在直线l 的方程260x y -+=中，令0y =，得6x =-，即直线在x 轴上的截距是6-. 则直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为(6,0),(0,3)A B -，过,A B 两点作直线，即可得到直线l （如图所示）.。