临塑荷载、临界荷载及极限荷载的计算

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7.1.2 临塑荷载的计算
a、塑性区边界方程
图7-3
图7-3所示为地基表面作用条形均布荷载P时，讨论土中任意点M 有P 引起的最大、最小应力，并建立其极限平衡表达式，整理后得出塑性区边界方程为：
式中：γ---地基土的重度；
φ、C---土的抗剪强度指标；
d---基底埋深；
P---基底压力；
2α---讨论点M到条形基础两边缘之间的夹角。

若地基土是非均质的，即基础底部以上和以下土的重度不同，则塑性区边界方程可写成：
式中：γ---基底土的重度；
γ
---基底以上土的加权平均重度。

b、临塑荷载P cr计算
地基中塑性开展区的最大深度：
临塑荷载就是Z max=0时(也即地基中即将发生塑性变形区时)相对应的基底压力，
将上式可以写成：
用公式：
化简可得：
式中N q、N c称为承载力系数，可根据内摩擦角在表7-1中查。

表7-1 临塑荷载P cr及临界荷载P1/4的承载力系数N r、N q、N c值φ(度) N r N q N cφ(度) N r N q N c
0 0 1.00 3.14 22 0.61 3.44 6.04
2 0.0
3 1.12 3.32 2
4 0.80 3.87 6.45
4 0.06 1.2
5 3.51 2
6 1.10 4.3
7 6.90
6 0.10 1.39 3.71 28 1.40 4.93 7.40
8 0.14 1.55 3.93 30 1.90 5.59 7.95
10 0.18 1.73 4.17 32 2.60 6.35 8.55
12 0.23 1.94 4.42 34 3.40 7.21 9.22
14 0.29 2.17 4.69 36 4.20 8.25 9.97
16 0.36 2.43 5.00 38 5.00 9.44 10.80
18 0.43 2.72 5.31 40 5.80 10.84 11.73
20 0.51 3.06 5.66 45 3.66 15.64 14.64 7.1.3 界限荷载的计算
界限荷载(即临界荷载)就是Z max=b/3或Z max=b/4时所对应的荷载P1/3或P1/4(轴心荷载作用下的地基，Z max=b/4；偏心荷载作用下的地基，Z max=b/3)。

界限荷载的计算公式为：
-------①
-------②
利用以下公式：
分别代入①、②两式，则：
再利用公式
代表N1/3、N1/4，则有：
式中N1/4、N c、N q称承载力系数，可根据内摩擦角查表7-1。

表7-1 临塑荷载P cr及临界荷载P1/4的承载力系数N r、N q、N c值
φ(度) N r N q N cφ(度) N r N q N c
0 0 1.00 3.14 22 0.61 3.44 6.04
2 0.0
3 1.12 3.32 2
4 0.72 3.87 6.45
4 0.06 1.2
5 3.51 2
6 0.84 4.3
7 6.90
6 0.10 1.39 3.71 28 0.98 4.93 7.40
8 0.14 1.55 3.93 30 1.15 5.59 7.95
10 0.18 1.73 4.17 32 1.34 6.35 8.55
12 0.23 1.94 4.42 34 1.55 7.21 9.22
14 0.29 2.17 4.69 36 1.81 8.25 9.97
16 0.36 2.43 5.00 38 2.11 9.44 10.80
18 0.43 2.72 5.31 40 2.46 10.84 11.73
20 0.51 3.06 5.66 45 3.66 15.64 14.64
对于P cr 、P1/4公式的应用，注意以下几点：
<1> P cr、P1/4的计算公式都是按条形基础受均布荷载的情况下导出的，如用于矩形、圆形基础时有一定的误差，但结果偏于安全。

<2> 计算土自重应力时，假定K0=1，这与土的一般情况是不相符的，但这样可使公式简化；
<3> 在计算界限荷载时土中已出现塑性区，但仍按弹性力学计算土中应力，这在理论上是相互矛盾的，但当塑性区不大时引起的误差在工程上还是允许的；
<4> P cr与基础宽度无关，P1/4、P1/3与b有关，而且P cr、P1/3、P1/4都随埋深d的增加而加大；
<5> 对饱和软土，在不排水条件下，φ=0，N r=0，N q=1.0，N c=3.14，可得饱和软粘土的承载力设计值为：
式中C u为土的不排水抗剪强度，单位为KPa。

思考题:
什么叫临塑荷载、界限荷载和极限荷载？这三种荷载哪个最大？哪个最小？
对于P cr、P1/4公式的应用应注意哪几点？
7.2.5 安全系数的选择
将极限荷载P u除以安全系数K，即得设计的地基承载力f。

安全系数的选择与许多因素有关。

一般地，对太沙基公式而言，K =2～3；对于魏锡克、汉森公式，
K =2～4；对于斯肯普特公式，K =1.1～1.5。

另外还和勘察情况有关，对经过详细勘察的公寓及办公楼，K =2；对未经过详细勘察的，K =4；对经过详细勘察的公共建筑，K =2.5。

为了保证地基不发生剪切破坏而失稳，作用在建筑物基底压力P必须小于地基的承载力。

思考题：
在相同的基础和地基土条件下，试比较P cr、P1/4、P u三者的大小？
7.2.1 太沙基公式
地基极限荷载是指地基土体完全发生剪切破坏时所承受的荷载，目前对于地基极限荷载的计算理论仅限于整体剪切破坏型式。

对于局部剪切破坏及刺入剪切破坏，尚无可靠的计算方法，通常是先按整体剪切破坏型式进行计算，再作某种修正。

极限荷载的求解有两类途径：一类是根据土体的极限平衡原理，另一类是根据模型试验。

先假定在极限荷载作用时土中滑动面的形状，然后根据滑动土体的静力平衡条件求解极限荷载。

这类方法又由于假设的滑动面形状不同，导出了多种形式的计算公式。

•太沙基公式
太沙基在1943年提出了确定条形浅基础的极限荷载公式。

太沙基认为当基础的长宽比l/b≥5及基础埋深d ≤b时，就可视为条形浅基，基底以上土体看作是作用在基础两侧的均布荷载q=γd。

太沙基假定基础底面是粗糙的，地基的滑动面形状如图7-4所示，可分为三个区：
图7-4
I区---基础底面下的土楔ABC，由于假定基底是粗糙的，具有很大的摩擦力，因此AB不会发生剪切位移，该区内土体处于弹性压密状态，它像一个“弹性核”随基础一起向下移动；
II区---滑动面按对数螺旋线变化，在C点处螺旋线的切线垂直，D、E点处螺旋线的切线与水平线成45°-φ/2角；
III区---被动朗金区(底角与水平线成45°-φ/2角的等腰三角形)。

根据弹性土楔的静力平衡条件，可求得地基的极限荷载：
式中：C---土的粘聚力，KPa；
q---基础两侧土压力q=γ0d，若地基土是均质，则基础两侧土压力q=γd；若地基土是非均质，则γ0是基底以上土的加权平均重度；
d---基底埋深，m；
b---基础宽度，m；
N r、N q、N c---无量纲承载力系数，可根据内摩擦角从表7-2查出。

以上公式只适用于地基土整体剪切破坏情况，即地基土较密实，其P-S曲线有明显的转折点，破坏前沉降不大等情况。

对于松软土质，地基破坏是局部剪切破坏，沉降较大，其极限荷载较小。

太沙基建议采用较少的φ′，C′值代入公式计算极限荷载，即得：
此时极限荷载公式为：
式中N r′、N c′、N q′是相应于局部剪切破坏情况的承载力系数，根据降低后的摩擦角φ′查表7-2。

φ0°5°10°15°20°25°30°35°40°45°
N r0 0.51 1.20 1.80 4.0 11.0 21.8 45.4 125 326
N q 1.0 1.64 2.69 4.45 7.42 12.7 22.5 41.4 81.3 173.3
N c 5.71 7.32 9.58 12.9 17.6 25.1 37.2 57.7 95.7 172.2 上述公式只适用于条形基础，对方形和圆形基础，太沙基建议按下列修正公式计算地基极限荷载：
方形基础：
整体剪切破坏：
局部剪切破坏：
圆形基础：
整体剪切破坏：
局部剪切破坏：
式中r为圆形基础的半径，其余符号同前。

对于矩形基础(宽为b，长为l)，可近似按b/l值，在条形基础(b/l=0)与方形基础(b/l=1)的承载力之间用插入法求得。

思考题：
什么是极限承载力(极限荷载)？
极限荷载的求解途径是什么？
7.2.2 魏锡克公式
20世纪70年代，魏锡克在太沙基公式的基础上，分别考虑了矩形、方形和圆形基础的极限荷载的计算公式。

式中S c、S q、S r为无量纲的基础形状系数，与土的内摩擦角φ，基础平面几何形状有关，其表达式见表7-3公式。

基础形状Sc Sq Sr
条形 1.0 1.0 1.0
矩形1+b/l·N q/N c1+b tanφ/L1-0.4b/L
圆形或方形1+N q/N c1+tanφ0.6
式中N c、N q、N r为承载力系数，N q/N c均可查表7-4。

表7-4
φNc Nq Nr Nq/Nc tanφ
0 5.14 1.00 0.00 0.20 0.00
1 5.38 1.09 0.07 0.20 0.02
2 5.6
3 1.20 0.15 0.21 0.03
3 5.90 1.31 0.2
4 0.22 0.05
4 6.19 1.43 0.34 0.23 0.07
5 6.49 1.57 0.45 0.24 0.09
6 6.81 1.72 0.5
7 0.25 0.11
7 7.16 1.88 0.71 0.26 0.12
8 7.53 2.06 0.86 0.27 0.14
9 7.92 2.25 1.03 0.28 0.16
10 8.35 2.47 1.22 0.30 0.18
11 8.80 2.71 1.44 0.31 0.19
12 9.28 2.97 1.69 0.32 0.21
13 9.81 3.26 1.97 0.33 0.23
14 10.37 3.59 2.29 0.35 0.25
15 10.98 3.94 2.65 0.36 0.27
16 11.63 4.34 3.06 0.37 0.29
17 12.34 4.77 3.53 0.39 0.31
18 13.10 5.26 4.07 0.40 0.32
19 13.93 5.80 4.68 0.42 0.34
20 14.83 6.40 5.39 0.43 0.36
21 15.82 7.07 6.20 0.45 0.38
22 16.88 7.82 7.13 0.46 0.40
23 18.05 8.66 8.20 0.48 0.42
24 19.32 9.60 9.44 0.50 0.45
25 20.72 10.66 10.88 0.52 0.47
26 22.25 11.85 12.54 0.53 0.49
27 23.94 13.20 14.47 0.55 0.51
28 25.80 14.72 16.72 0.57 0.53
29 27.86 16.44 19.34 0.59 0.55
30 30.14 18.40 22.40 0.61 0.58
31 32.67 20.63 25.99 0.63 0.60
32 35.49 23.18 30.22 0.65 0.62
33 38.64 26.09 35.19 0.68 0.65
34 42.16 29.44 41.06 0.70 0.67
35 46.12 33.30 48.03 0.72 0.70
7.2.3 汉森公式
除了考虑基础形状对极限荷载的影响外，汉森比较仔细地考虑了基础埋深和荷载偏心，倾斜等的影响。

公式如下：
式中：N c、N q、N r---承载力系数，查表7-5。

d c、d q、d r---与基础埋深有关的深度系数；
i c、i q、i r---倾斜系数，与作用荷载倾斜角δ0有关，根据φ与δ0查表7-6。

S c、S q、S r---基础形状系数。

表7-6
34 0.668 0.811 0.817 0.422 0.638 0.650 0.254 0.486 0.504 0.144 0.358 0.380
35 0.663 0.808 0.814 0.417 0.635 0.646 0.250 0.485 0.500 0.142 0.358 0.377
36 0.658 0.806 0.811 0.411 0.631 0.641 0.245 0.482 0.495 0.140 0.357 0.374
37 0.653 0.803 0.808 0.404 0.628 0.636 0.240 0.478 0.490 0.137 0.355 0.370
38 0.646 0.800 0.804 0.398 0.624 0.631 0.235 0.474 0.485 0.133 0.352 0.365
39 0.642 0.797 0.801 0.392 0.619 0.626 0.230 0.470 0.480 0.130 0.349 0.361
40 0.635 0.794 0.797 0.386 0.615 0.621 0.226 0.466 0.475 0.127 0.346 0.356
若考虑基础底面以上两侧覆盖层土的抗剪强度的影响，则承载力应有所提高。

通过深度系数来反映，其计算公式如下：
7.2.4 斯肯普特公式
斯肯普特提出了饱和软土(φ=0)上浅基础(d/b≤2.5)的极限荷载半径公式，考虑了埋深d的效应和基础形状的影响。

计算公式为：
式中：C u---地基土的不排水剪切强度，取基底以下0.707b深度范围内的平均值，KPa；
γ0---基础埋深范围内土的加权平均重度。

工程实践表明，按斯肯普特公式计算的地基极限荷载与实际接近，安全系数可取1.1～1.5 。

思考题：
试比较常用的几种计算极限荷载的公式？
地基的极限荷载取决于哪些因素？说明各个因素如何影响地基极限荷载？
7.2.5 安全系数的选择
将极限荷载P u除以安全系数K，即得设计的地基承载力f。

安全系数的选择与许多因素有关。

一般地，对太沙基公式而言，K =2～3；对于魏锡克、汉森公式，
K =2～4；对于斯肯普特公式，K =1.1～1.5。

另外还和勘察情况有关，对经过详细勘察的公寓及办公楼，K =2；对未经过详细勘察的，K =4；对经过详细勘察的公共建筑，K =2.5。

为了保证地基不发生剪切破坏而失稳，作用在建筑物基底压力P必须小于地基的承载力。

思考题：
在相同的基础和地基土条件下，试比较P cr、P1/4、P u三者的大小？。