阿基米德三角形与三道高考试题

以上各结论的证明即是将 Q、A、B 三点的坐标代入进行检验，限于篇幅恕不赘述，详细可参看 文[1]． 参考文献 [1]．吴跃生．再谈抛物线的阿基米德三角形的性质．数学通讯，1999（8） ．
2 ；设 BI 与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线所围 3
面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积为 S ，则
3 3 S ABI S QAB S QST S1 S 2 = 2 2
3 3 3 3 3 S S QST S1 S 2 = ( S S1 S2 ) S QST = S ABI S QST ，∴ S ABI 2 S QST ． 2 2 2 2 2
此性质即为题 3 考查内容． 性质 2 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线． 证明： 设 Q(x， y)， 由性质 1， x= ∴ y1 y2 2 px 由 A、B、C 三点共线知
y1 y2 y y2 ， y= 1 ， 2 2p
l
y y0 y1 y2 1 ，即 2 2 y1 y2 y12 x0 2p 2p 2p
的交点纵坐标为 y = p(t1 t2 t3 ) 4 pt1t2t3 ， 显然这个纵坐标是关于 t1 , t2 , t3 对称的， 因此从 S 点向 Q B 引垂线， 从 Q 点向 ST 引垂线， 它们与准线的交点 也是上述点，故结论得证． 性质 9 |AF|·|BF|=|QF|2． 证明：|AF|·|BF|= ( x1
x Q百度文库l
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由． 上述三道高考试题都涉及到抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形， 这个三角形又常 被称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封 闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的
2 ． 阿基米德三角形有许多有趣的性质， 上述三题都是某些 3
2
性质的体现，可以预见，今后围绕该三角形性质的高考试题还会出现，因此对该三角形的性质作进一 步的研究是必要的、 有益的． 下面给出阿基米德三角形的一些有趣性质， 证明时均以抛物线 y 2 px 为例，且称弦 AB 为阿基米德三角形的底边，M 为底边 AB 的中点，下不赘述． 性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 证明：设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为 y1 y p( x x1 ) ，过 B
y1 ，显然 p
kFA' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，由三角形
全等可得∠QAA'=∠QAF，∴△QAA' △QAF， ∴| QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA，同理可证|QB'|=|QF|，∠QB 'B=∠QFB，∴|QA'|=|QB'|，即∠QA'B'=∠QB'A' ∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证． 此性质即题 1 的结论，但原解答采用代数法相当复 杂，这里给出的几何法简洁明了． 性质 8 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合） ，过 I 作抛物线切线角 QA、QB 于 S、T，则△Q ST 的垂心在准线上．
2 f ( x ', y ') | 2 x ' p |
f ( x ', y ')[( y ') 2 p 2 ] = 2 p f 2 ( x ', y ') (2 x ' p p 2 ) f ( x ', y ')
（5） | AB |
2 p
（6） S QAB =
3 1 f ( x ', y ') 2 p
P 的切线的斜率为
p 2p = k AB ，结论 y1 y2 y1 y2 2
得证． 性质 11 在性质 8 中，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△ QAB、△TBI、△SAI；应用阿基米德三角形的性质：弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面 积的
最小值为 p 2 ． 证明：由性质 2，若底边过焦点，则 x0
p p , y0 0 ，Q 点轨迹方程为 x 即为准线；易验 2 2
证 kQA kQB 1 ， 即 QA⊥QB， 故阿基米德三角形为直角 三角形，且 Q 为直角顶点； QM|= ∴|
2 2 2 x1 x2 p y1 y2 p 2 | y1 y2 | p 2 p = + ≥ + = + 2 2 2 4p 4p 4p 2
p p ) ( x2 ) = 2 2
x1 x2
2 p p 2 y1 y2 2 y12 y2 p2 ( x1 x2 ) ) + =( + ， 2 4 4 4 2p
而|QF|2= (
y1 y2 p 2 y y yy ) ( 1 2 ) 2 = ( 1 2 )2 + 2p 2 2 2p
2 2 2 证明：设 A(2 pt1 , 2 pt1 ) 、 B(2 pt2 , 2 pt2 ) 、 I (2 pt3 , 2 pt3 ) ，易求得过 B、I 的切线交点 T
(2 pt2t3 , p(t2 t3 )) ，过 T 向 QA 引垂线，其方程为 2t1 x y p(t2 t3 ) 4 pt1t2t3 ，它和抛物线准线
p ，因此该弦与 Q 点的轨迹即直线 l 平行． y0
性质 4 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． 证明：如上图，设 l 方程为 ax by c 0 ，且 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C ( x0 , y0 ) ， 由性质 2 可知 Q 点的轨迹方程 y0 y p( x x0 ) ，该方程与 ax by c 0 表示同一条直线，对照可 得 x0
y1 y2 ， 2
y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，将 y=
即为 Q 点的轨迹 y1 y2 2 px 代入得 y0 y p( x x0 ) ， 方程. 性质 3 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹． 利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为
2 y12 y2 p2 + =|AF|·|BF|. 4 4
性质 10 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处 的切线与 AB 平行． 证明：由性质 1 知 Q(
y1 y2 y y2 ， 1 )，M 2 2p
(
x1 x2 y1 y2 , ) ，易得 P 点坐标为 2 2
( y1 y2 )2 y1 y2 ( , ) ，此点显然在抛物线上；过 8p 2
p 1 = p ，而 S QAB | QM | ( y1 y2 ) ≥ | QM | | y1 y2 | 2 2
≥p
2
性质 6 即为题 2 所涉及性质． 性质 7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB． 证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线，连接 QA'、QB'、QF、AF、BF，则 k FA '
的切线方程为 y2 y p( x x2 ) ，联立方程组得
y1 y p( x x1 ) y y p( x x ) 2 2 2 y1 2 px1 y 2 2 px 2 2
解得两切线交点 Q(
y1 y2 y y2 ， 1 )，进而可知 QM ∥x 轴. 2 2p
c bp c bp , y0 ，即弦 AB 过定点 C（ ， ）. a a a a
性质 5 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为
a2 ． 8p
证明： |AB|=a， 设 Q 到 AB 的距离为 d， 由性质 1 知 d | QM |
2 x1 x2 y1 y2 y12 y2 2y y 1 2 2 2p 4p 4p
阿基米德三角形与三道高考试题
（山东省滕州市第一中学 邵明志 277500） 题 1（2005 年江西卷，理 22 题） ： 如图，设抛物线 C : y x 2 的焦点为 F，动点 P 在直线 l : x y 2 0 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. （1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 题 2（2006 全国卷 II，理 21 题） ： → 已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 AF ＝ → λ FB （λ＞0） ．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． →→ （Ⅰ）证明 FM · AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的最小值． 题 3（2007 江苏卷，理 19 题） ： 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C (0，c) 任作一直线，与抛物线
性质 12 设 Q ( x' , y ' ) ， f ( x, y) y 2 2 px ，∠AQB= ，则 （1） kQA K QB （2） kQA K QB
p 2x ' y' x'
（3） | kQA KQB |
f ( x ', y ') | x'|
（4） | tan |
( y1 y2 ) 2 2 2 = ，设直线 AB 方程为： x my n ，则 a (1 m )( y2 y1 ) ，∴ ( y2 y1 )2 ≤ a 2 ，∴ 4p
d
a2 a2 1 ，即 S= ad≤ . 2 8p 4p
性质 6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的
y
F A B
l
x
O
P
y x2 相交于 A，B 两点．一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线
l : y c 交于点 P，Q ．
y B
OB 2 ，求 c 的值； （1）若 OA
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA 为此抛物线的切线；

A
C O
P