高三数学应知应会讲义三函数与导数

函数与导数
二、应知应会知识 1.(1)函数f (x )＝
x －2
x －3
lg 4－x 的定义域是 [2，3)⋃(3，4) ． (2)若log a 1＋2a
2
1＋a
＜0，则a 的取值范围是 ( C )
A ．(12，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(12，1)
D ．(0，12
)
(3)设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ，则函数g (x )＝f (x 2)＋f (1
x
)的定义域为(－2，－1)⋃(1，2) ．
(4)已知函数f (x ) = lg(ax 2
+ 2x + 1)的定义域是R ，求实数a 的取值范围(1,+∞)
(5)已知函数f (x ) = lg(ax 2
+ 2x + 1)的值域是R ，求实数a 的取值范围 [0,1]
(6)y ＝2sin 2
x －3cos x －1的值域为_____.
(7) y ＝2sin 2
x －3a cos x －1(a ∈R )的值域为_____.
(8) 已知函数f (x )＝2x 3 +4x 2
－40x , x ∈[－3,3]，则函数的最小值－48.
能利用解不等式(组)求定义域,能求二次函数或利用导数求值域.
2.(1) 已知函数f (x )＝x 2
－6x 且x ∈[3,+∞)．
若f (x )和g (x )的图象关于原点对称,则函数g (x )的解析式 ；
若f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝3对称,则函数g (x )的解析式 ； 若f (x )和g (x )的图象关于直线y ＝x 对称,则函数g (x )的解析式 .
(2) 已知函数奇函数f (x )的定义域为x ∈R ，当x ＜0时，f (x )＝2x 2
－x +1，则f (x ) 的解析式 .
(3)已知f (1－cos x )＝sin 2
x , 则f (x )的解析式 .
(4)周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，圆的半径
为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式为f (x 能利用函数性质或配湊的方法求函数解析式.
3. (1)函数y ＝3
x 2－1(x ≤0)的反函数是 ( B )
A ．y ＝(x ＋1)3(x ≥－1)
B ．y ＝－(x ＋1)3
(x ≥－1)
C ．y ＝(x ＋1)3(x ≥0)
D ．y ＝－(x ＋1)3
(x ≥0)
(2) 函数y ＝21－x
＋3(x ∈R )的反函数的解析表达式为 ( A ) A ．y ＝log 2
2x －3 B ．y ＝log 2x －32 C ．y ＝log 23－x 2 D ．y ＝log 223－x
(3) 函数y ＝ln(x ＋x 2
＋1)的反函数是 ( C ) A ．y ＝e x ＋e －x 2 B ．y ＝－e x ＋e －x 2 C ．y ＝e x －e －x 2 D ．y ＝－e x －e －x 2
(4) 已知y ＝f (x )存在反函数y ＝g (x )，若f (3)＝－1，则函数y ＝g (x －1)的图象必经过下
列各点中的（ B ）．
A ．(－2,3)
B ． (0，3)
C ． (－2，1)
D ． (4，－1)
(5) 已知函数f (x )＝2x +3x －1，若函数y ＝g (x )与y ＝f －1
（x +1）的图象关于直线y ＝x 对称，则
g(3)的值 7
2
.
能求已知函数的反函数,理解原来函数与反函数的关系.
4. (1)已知函数f (x )是偶函数，则函数f (x －1)的对称轴是_ x ＝1____. (2)已知函数f (x +3)是偶函数，则函数f (x )的对称轴是_ x ＝3______.
(3)判断函数y ＝|x －4|－4
9－x 2
的奇偶性____. (4)函数f (x )＝x 3－3x 2
＋1是减函数的区间为 ( D )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．(－∞，0)
D ．(0，2)
(5) 若函数f (x )＝log a (x 3
－ax )(a ＞0，a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围
是 ( B )
A ．[14，1)
B ．[34，1)
C ．[94，＋∞)
D ．(1，94
)
(6) 设f (x )是R 上的奇函数，f (x +2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于
_____.
(7) 函数f (x )对于任意的x 满足f (x +2)＝
1
f (x )
，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝ . (8) f (x )是偶函数, f (x +2)是偶函数,则函数f (x )的周期是 .
能求判断函数的奇偶性,单调性,理解奇偶性、对称轴周期之间的关系.
5.(1) 曲线y ＝1x 和y ＝x 2
在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 34 .
(2) 曲线y ＝2x －x 3
在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点(3，2)到l 的距离等于( ) A ．722 B ．922 C ．1122 D ．910
10
(3)设曲线y ＝－x 3＋3x 2
－2x ＋10的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__________． (4)函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2
－3b ＜0时，f (x )在R 上是 ( ) A ．增函数 B ．减函数
C ．常数
D ．既不是增函数也不是减函数
(5)设f '(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f '(x )的图象如右图所示，则y ＝f (x )的图象最
A B C D
(6) 已知f (x )＝2x 3
－6x 2
＋m (
m 为常数
)，在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为___________．
(7) 已知函数
f (x )＝－x 3＋3x 2
＋9x ＋a ．
(Ⅰ)求f (
x
)的单调减区间；
(Ⅱ)若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
能利用导数求切线方程，求函数的单调区间、极值（最值）等.
6.(1) 函数f (x )＝|x －1|的图像是 ( B )
(2)如右图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y =f (x )的图象是 ( D )
(3)函数y ＝3x －1
x ＋2 的图象 （ ）
A ．关于点（2，－3）对称
B ．关于点（－2， 3）对称
C ．关于直线x ＝－2对称
D ．关于直线y ＝－3对称
(4) 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax
的图象只可能是( )
(5) 已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的
纵坐
标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 .
(6) 已知直线y＝x＋b和函数y＝1－x2的图象有且仅有两个不同的交点，则b的取值范
围为________________________．
(7) 已知函数y＝f (x－1)的图象，通过怎样的图象变换，可得到y＝f (－2x＋1)的图象．
(8) 若函数f (x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是直线x＝2，求非零实数a的值．
(9) 函数y＝f(x)的对称轴是x＝2,则y＝f(2x)的对称轴是 .
(10)设函数f(x)=2－x，函数f(x)的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称，函数h(x)的图象由
g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)为（）
A.－log2(x－1)
B.－log2(x+1)
C.log2(－x－1)
D.log2(－x+1)
会利用变换法处理图象，会用图象分析推理
7.(1)设f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧|x－1|－2，|x|≤1，
1
1＋x2
，|x|＞1，
则f[f(
1
2
)]＝ ( B )
A．
1
2
B．
4
13
C．－
9
5
D．
25
41
(2) 已知f(x)＝
⎩
⎨
⎧(3a－1)x＋4a x<1
log a x x≥1
是(－∞,＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( C )
Ａ．(0,1) Ｂ．(0,
1
3
) Ｃ． [
1
7
,
1
3
) Ｄ．[
1
7
,1)
(3) 在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称．现将y
＝g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)，则f(x)的表达式为 ( A )
A．f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x＋2，－1≤x≤0，
x
2
＋2，0＜x≤2
B．f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x－2，－1≤x≤0，
x
2
－2，0＜x≤2
C．f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x－2，1≤x≤2，
x
2
＋1，2＜x≤4
D．f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x－6，1≤x≤2，
x
2
－3，2＜x≤4
(4). 函数y＝
⎩
⎨
⎧2x x≥0
－x2x<0，
的反函数是（）
A．y＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x
2
x≥0
－x x<0，
B．y＝
⎩
⎨
⎧2x x≥0
－x x<0，
C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ≥0－－x x <0，
D ．y ＝⎩⎨⎧2x x ≥0
－－x x <0，
(5)设函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1) x ≥2
(12
)x －1 x <2，,若f (x 0)>1,则的取值范围是 .
(6)设f (x )是定义在[－1，1]上的偶函数，g (x )与f (x )的图象关于直线x －1＝0对称，且当
x ∈[2，3]时，g (x )＝2a (x －2)－4(x －2)3，a 为实数．则函数f (x )的表达式 .
会处理分段函数的有关问题.
8.(1)设函数f (x )＝2x 3
－3(a ＋1)x 2
＋6ax ＋8，其中a ∈R ． (Ⅰ)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值；
(Ⅱ)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(Ⅰ) a ＝3
(Ⅱ) a 的取值范围是(0，＋∞)
(2) 已知函数f (x )＝x 3＋bx 2
＋cx ＋d 的图象过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线
方程6x －y ＋7＝0．
(Ⅰ)求函数y ＝f (x )的解析式； (Ⅱ)求函数y ＝f (x )的单调区间．
解：(Ⅰ) f (x )＝x 3－3x 2
－3x ＋2 (Ⅱ) 故f (x )的单调增区间(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调减区间是(1－2，1＋2)．
(3) 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
y ＝1128000x 3－380
x ＋8(0<x ≤120)已知甲、乙两地相距100千米。

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升
（II ）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为11.25升
(4) 已知函数f (x )＝a ·2x －1
2＋1
为R 上的奇函数．
⑴求f (x )及f －1
(x )的解析式；
⑵若当x ∈(－1，1)时，不等式f －1
(x )≥log 21＋x m
恒成立，试求m 的取值范围．
解：⑴f (x )＝2x
－12＋1, f －1(x )＝log 2x ＋11－x ，x ∈(－1，1)．
(2){ m |m ≥2, m ∈R }
(5) 设f (x )＝|x ＋1|＋|ax ＋1|．
⑴若f (－1)＝f (1)，f (－1a )＝f (1
a
)(a ∈R 且a ≠0)，试求a 的值；
⑵设a >0，求f (x )的最小值g (a )关于a 的表达式．
解：(1) a ＝－1；(2) g (a )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1－a ，0<a ≤1，
－1＋1a ，a >1。

能解决一点简单的函数的综合应用.。