高三数学(文)二轮复习教师用书：小题练速度 “12+4”限时提速练(三) Word版含答案

“12＋4”限时提速练(三)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z ＝m
1－i ＋1－i 2(i 是虚数单位)的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选C 由已知z ＝m
1－i ＋1－i 2＝m （1＋i ）2＋1－i 2＝（m ＋1）＋（m －1）i 2，则
m ＋12＋m －1
2
＝1，得m ＝1，故选C.
2．设集合A 满足{a }⊆A
a ，
b ，
c ，
d }，则满足条件的集合A 的个数为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选D 根据子集的定义，可得集合A 中必定含有元素a ，而且含有a ，b ，c ，d 中的至多三个元素．因此，满足条件{a }⊆A
a ，
b ，
c ，
d }的集合A 有{a }，{a ，b }，{a ，
c }，{a ，
d }，{a ，b ，c }，{a ，c ，d }，{a ，b ，d }，共7个．
3．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17
a 9的值为( )
A ．2 2
B ．4
C ．－22或2 2
D ．－4或4
解析：选A ∵a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，
∴a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，因此a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15
＝8，∴a 9＝22，
a 1a 17
a 9
＝22，故选A. 4．已知在平面中，A (1，0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，若
，则λ的值为( )
A ．－1
B ．2
C ．1
D ．－2 解析：选C 由已知得，
＝(1，3)，
＝(1，0)，则
＝(λ－2，3λ)，又点C 在第二象限，故λ－2＜0，3λ＞0，则0＜λ＜2，由于∠AOC ＝120°，所以cos ∠AOC ＝
λ－2
（λ－2）2＋3λ2
＝－1
2
，解得λ＝1，故选C.
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线
的离心率为( )
A. 5
B.
52 C ．2 D.355
解析：选A 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，代入抛物线方程得，x 2±b a x ＋1＝0，∴Δ＝b 2a 2－
4＝0，故e 2
＝c 2a 2＝b 2
a
2＋1＝5，∴e ＝5，故选A.
6．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.13π
B.23π
C.43π
D.53
π
解析：选C 由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即π×12×2－2×13×π×12×1＝43π，故选
C.
7．定义[x ]为不超过x 的最大整数，例如[1.3]＝1.执行如图所示的程序框图，当输入的x 为4.7时，输出的y 值为( )
A ．7
B ．8.6
C ．10.2
D ．11.8
解析：选C 当输入的x 为4.7时，执行程序框图可知，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y ＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，输出的值为10.2，故选C.
8.已知奇函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，
g （x ），x ＜0，若f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)对应的
图象如图所示，则g (x )＝( )
A.⎝⎛⎭
⎫
12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12x C ．2－x D ．－2x
解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴
a ＝12，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0，选D.
9．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x －y ≤0，4x ＋3y ≤14，设(x ＋2)2＋(y ＋1)2的最小值为ω，则函数f (t )
＝sin ⎝
⎛⎭⎫ωt ＋π
6的最小正周期为( ) A.2π3 B ．π C.π2 D.2π5
解析：选D
由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，
x －y ≤0，4x ＋3y ≤14
作出可行域如图中阴影部分所
示，(x ＋2)2＋(y ＋1)2的几何意义为可行域内的点与定点C (－2，－1)之
间的距离的平方，其最小值为5，故f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫5t ＋π6，其最小正周期T ＝2π
5
，故选D. 10．已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (2－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2 011)，则{a n }的前2 016项之和为( )
A ．0
B ．1 008
C ．2 016
D ．4 032
解析：选C ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上单调，且数列{a n }的公差不为0，f (a 6)＝f (a 2 011)，∴a 6＋a 2 011＝2，∴a 1＋a 2 016＝a 6＋a 2 011＝2，∴S 2 016＝2 016（a 1＋a 2 016）
2
＝2 016.
11.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)及圆O ：x 2＋y 2＝a 2，如图过点
B (0，a )与椭圆相切的直线l 交圆O 于点A ，若∠AOB ＝60°，则椭圆的离心率为(
)
A.
33 B.12 C.32 D.13
解析：选A 由已知，显然直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋a ，则由
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，
x 2a 2＋y 2b 2＝1
得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 2c 2＝0， ∴Δ＝4a 6k 2－4a 2c 2(b 2＋a 2k 2)＝0，结合图形解得k ＝c a ，即直线l 的方程为y ＝c
a x ＋a .
故直线l 的斜率为c
a ＝e ，由于∠AOB ＝60°，设AB 与x 轴交于点C ，则在Rt △OBC 中，
∠OCB ＝30°，因而e ＝tan ∠OCB ＝
3
3
，故选A. 12．定义在(－1，1)上的函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－…－x 2 016
2 016，设F (x )＝f (x ＋4)，且F (x )
的零点均在区间(a ，b )内，其中a ，b ∈Z ，a ＜b ，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
解析：选A f ′(x )＝1－x ＋x 2
－x 3
＋…－x
2 015
＝1－x 2 016
1＋x
＞0，因而f (x )在(－1，1)上单调
递增，f (－1)＝(1－1)－12－13－…－1
2 016＜0，f (0)＝1＞0，因而函数f (x )仅有1个零点，且在
(－1，0)内，那么F (x )＝f (x ＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b －a 的最小值为1，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为π，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．某学校对该校参加第二次模拟测试的2 100名考生的数学学科的客观题解答情况进行抽样调查，可以在每个试题袋中抽取一份(每考场的人数为30)，则采取________抽样方法抽取一个容量为________的样本进行调查较为合适．
解析：因为样本容量较大，且考生情况按照每考场抽取没有明显的层次性，又2 100
30
＝70，所以可以采用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本．
答案：系统 70
14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1
＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．
解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝a
x ＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，
使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2
＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2
＋2x ＝－2⎝⎛⎭
⎫x －122
＋
12，其最大值为12，因而a ≤12
. 答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，1
2 15．已知A ，B ，C 为球O 表面上的三点，这三点所在的小圆圆心为O 1，且AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，球面上的点P 在平面ABC 上的射影恰为O 1，三棱锥P -ABC 的体积为3
6
，则球O 的表面积为________．
解析：由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，知圆O 1的半径r ＝1，且S △ABC
＝12×1×1×sin 120°＝34，设PO 1＝h ，球O 的半径为R ，因而V P -ABC ＝13×3
4×h ＝
36，得h ＝2，R 2＝(h －R )2＋r 2，即R 2＝4－4R ＋R 2＋1，R ＝5
4
，则球O 的表面积为4πR 2＝4π×2516＝25π
4
.
答案：25π
4
16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n
1＋2＋3＋…＋n
，若
数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．
解析：法一：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式， 因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2. 又由已知得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝1
2n (n ＋1)b n ，
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝1
2(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1，
则(n ＋1)a n ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1－1
2n (n ＋1)b n ，
∴a n ＋1＝b n ＋1＋n .
a n ＋1－a n ＝
b n ＋1－b n ＋1＝3，则2p ＝3，a 1＝－1
2.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －7
2
.
法二：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式，
因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2，a n ＋1－a n ＝2p ， 因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2，b 1＝a 1＝p －2， b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2，得2p ＝3，a 1＝－12.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －7
2.
答案：a n ＝3n －7
2。