高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》真题汇编及答案

【高中数学】数学《不等式》复习知识点
一、选择题
1．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q +的最小值为（ ） A ．2 B ．52 C ．94 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，
所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14q p +
=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423
q p ==时取得等号． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
2．在平面直角坐标系中，不等式组20
{200
x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）
A ．42
B ．4
C ．22
D ．2
【答案】B
【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．
考点：求不等式组表示的平面区域的面积．
3．若,x y满足约束条件
360
60
1
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则
1
2
2
y
x
⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
的最小值为( )
A．
1
16
B．
1
8
C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件
360
60
1
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
所表示的可行域，如图所示，
其中可得(3,1)
A-，(5,1)
B，(3,3)
C，
因为
1
22
2
y
x x y
-
⎛⎫
⋅=
⎪
⎝⎭
，令z x y
=-，当直线y x z
=-经过A时，z取得最小值，
所以z的最小值为min314
z=--=-，
则
1
22
2
y
x x y
-
⎛⎫
⋅=
⎪
⎝⎭
的最小值为4
1
2
16
-=.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
4．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[；
B
．(,-∞ C
．)+∞
D
．(,)-∞⋃+∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322
a d a =-
-，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解.
【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴1515455102
a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322
a d a =--， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=-
-=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时等号成立；
当10a <
时，11322a d a =-
-≥=
1a =立； ∴实数d
的取值范围为(,)-∞⋃+∞.
故选：D.
【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
5．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】
【分析】 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，
由211
x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0） ∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5
故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6．已知函数())
22log 1f x x x =+，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b
+的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值.
【详解】
0,x x x x ≥-=所以定义域为R ， 因为(
)2
log f x =，所以()f x 为减函数 因为(
)2log f x =，(
))
2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，
因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以()3131936b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，
因为96b a a b +≥=， 所以
3112a b +≥（当且仅当12a =，16
b =时，等号成立），选C. 【点睛】 本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
7．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.
8．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ） A ．{}
13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<< 【答案】C
【解析】
【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð.
【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.
【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ）
A ．a b c +>
B ．2ab c >
C ．a b 2c +>
D ．112a b c
+> 【答案】C
【解析】
【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案.
【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，2a b c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误；
故选：C .
【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ）
A ．125
B ．125-
C ．32
D ．32
- 【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．
【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，
由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得854
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555
m y x =-=
-=-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
11．已知,a b 都是正实数，则
222a b a b a b +++的最大值是（ ）
A ．23-
B ．3-
C ．1
D ．43
【答案】A
【解析】
【分析】
设2,2m a b n a b =+=+，将
222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.
【详解】
设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --=
=，
所以2222222333
a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当
233n m m n =时取等号.
所以222a b a b a b +++的最大值是23
-. 故选：A
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
12．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）
A B C D ．【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.
【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，
∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，
∴
()()
tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B B C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 3
6tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,
∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且
仅当tan B =时取等号，
∴min
111tan tan tan A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
13．已知直线21y kx k =++与直线122
y x =-
+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．12
k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -
<< 【答案】D
【解析】
【分析】 联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】 解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
，
Q 直线21y kx k =++与直线122y x =
-+的交点位于第一象限， ∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩
，解得：1162k -<<． 故选：D ．
【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
14．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值是( )
A ．3
B ．32
C ．0
D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆， 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距
把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1
y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义
是关键，属于中档题．
15．设集合{}
20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}02x x ≤<
D ．{}
02x x << 【答案】B
【解析】
【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}
01M N x x ⋂=<<.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
16．若 x y ，满足约束条件0
2323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，则z x y =-的最小值是（ ）
A ．0
B ．3-
C ．32
D ．3 【答案】B
【解析】
可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3
(0,),(0,3),(1,1)2
A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.
17．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
18．设m ，n 为正数，且2m n +=，则
1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95
【答案】D
【解析】
【分析】
根据2m n +=，化简135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；
【详解】
当2m n +=时， Q 131111212
n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12m n +=+时，即3122
m n ==，取等号， ∴139125
n m n ++≥++. 故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92
B ．9
C ．6
D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()123,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()2
2112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴
+=. ()1122253
31212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭
()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m
n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n
∴+的最小值为3. 故选：D .
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
20．已知函数()2
f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
【答案】C
【解析】
【分析】 根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
，作出不等式组所表示的平面区域，又
()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．
【详解】
由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：
可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -，
目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+
，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122
b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．。