高数下册期末复习指导

x x(t)
y y(t), t :
z z (t)
P[x (t),
y (t), z (t)]
x(t )
Q[x (t), y (t), z (t)] y(t )
R[x (t), y (t), z(t)] z(t) d t
5.第二型曲面积分
时，
R(x, y, z) d x d y R(x, y, z(x, y)) d x d y
偏导数, 则
向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S ( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 div A A P Q R x y z
四：常微分方程
1. 一阶标准类型方程求解 可分离变量方程
三个标准类型 齐次方程 线性方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
4.第二型线积分
• 对有向光滑弧
C
x:y源自x (t ) ,y (t )
t
:
P [x (t),
y(t)] x(t)
Q [ x(t ),
y (t)]
y(t)d t
• 对有向光滑弧 C : y f ( x) , x : a b
b a
P [ x,
f
( x)] Q[x,
f
( x)]
f
( x)dx
• 对空间有向光滑弧C :
• 2、 多元向量值函数积分
(1）定义（分，匀，合，精，注意方向） （2）性质（线性，区域可加性，方向性，闭曲线（面）的性质，中
值定理） （3）类型： 第二型（对坐标）的线积分和第二型（对坐标）面积分
3. 多元数量值函数积分的计算
（1）二重积分 计算方法：直角坐标系（X型域，Y型域，注意积分次序），极坐标系（先ρ 后，注意面积微元） ，换元法（简单的掌握,以书中例题为例） 应用：平面薄片的质量，平面区域的面积，曲顶柱体的体积
P d x Q d y R d z (C)
P d y d z Q d z d x Rdx d y (S)
设 P, Q 在 (σ) 内具有一阶连续偏导数, 则有
P d x Q d y 在 (σ) 内与路径无关.
(C)
格林公式---积分和路径的关
对 (σ) 内任意闭曲系线 (C) 有
应用：曲线的弧长，曲线形构件的质量
（4）第一型面积分（对面积）
计算方法：换元法 曲面以一般形式z=z(x,y),x=x(y,z),或y=y(x,z)给出， 注意面积微元，换元后转化为二重积分
应用：空间曲面块的面积，曲面形构件的质量
4.第一型曲线积分的计算
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds f [ (t ), (t )]
(C)
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
(C)
b f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
(C)
f (( )cos , ( )sin )
2( ) 2( ) d
设 S :z z(x, y),(x, y) Dx y, 则
s2 (m2 , n2 , p2 )
m1m2 n1n2 p1 p2 0
平行: s1 s2 0
m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
平面: Ax By Cz D 0, n (A, B, C)
直线: x x y y z z , s (m, n , p) mn p
代换自变量 变量代换法 代换因变量（佰努力）
代换某组合式
3.两类二阶微分方程的解法 （1）可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令 p (x) dy dx
d p f (x, p) dx
•
d2y dx2
f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
(1)方向导数与偏导数的定义，计算 （2）方向导数，偏导数与连续性的关系（P25-例3.1） (3)复杂函数求偏导
多元复合函数求导法则（显式的）： 画出树形图，分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导
隐函数求导（一个方程的，方程组）
3.梯度
(1)梯度的定义，计算， （2）梯度的几何意义，梯度与方向导数的关系
O
x
（2）柱面 （3）二次曲面.
C : f (y, z) 0
y
5.空间曲线
（1）空间曲线的一般方程
（2）空间曲线的参数方程
（3）空间曲线在坐标面上的投影 曲线一般方程：
消去z得H，有
H (x, y) 0
z0
6.空间直线与平面的方程
（1）空间平面
一般式 点法式 截距式
三点式
x y z 1 abc
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为 y e x (C1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
y(n) a1 y(n1) an1y an y 0 ( ak 均为常数) 特征方程: r n a1 r n1 an1r an 0
p d p f (y, p) dy
齐次 • 常系数情形
非齐次
代数法
4. 二阶线性微分方程的解 法
y p y q y 0 ( p, q 为常数) 特征根: r1 , r2
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C1 er1 x C 2 er2 x (2) 当 r1 r12.二时阶, 齐通次解常为系程数y线性(C微1分方C 2 x ) er1 x
代入曲面方程 (曲面方程不同时分片积分)
8.曲面第积一分类：的面计积算投影方法
(2) 积分元素投影
第二类： 有向投影
(4) 确定积分域
把曲面积分域投影到相关坐标面
注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.
9.三大重积分公式
格林公式
(
)
Q x
P y
d
xd
y
(C
)
Pd
x
Qd
y
斯托克斯公式
高斯公式
垂直：
s
n
0（3）面线间mA关系Bn
p C
平行： s n 0
夹角公式： sin s n
sn
二：多元函数微分学
• 1.多元函数(数量值的，向量值的 ，以二元函数和三元函数为例)
（1）定义（定义域和值域） （2）极限（趋近方式的任意性） （3）连续性（多元连续函数的性质：最值性）
• 2.多元数量值函数的导数
by ay
bz az
axbx ayby azbz 0
a ,b,c 共面
( ab )c 0
ax ay az bx by bz 0 cx cy cz
3.方向余弦
cos x
x
r
x2 y2 z2
cos y
y
r
x2 y2 z2
cos z
z
r
x2 y2 z2
方向余弦的性质:
（1）可微的定义（充分必要条件） （2）可微的充分条件（趋近方式的任意性） （3）全微分的计算（首先是可微） （4）可微性，连续性，偏导数，方向导数之间的关系（p33-例3.4,例3.6）
• 7.向量值函数的导数
(1) 一元向量值函数的导数与微分----空间曲线的切线与法平面 （2）二元向量值函数的导数与微分----曲面的切平面与法线
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1 n2
n1 n2
平面束方程做投影
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
s1 (m1, n1, p1)
直线
L2：x
x2 m2
垂直:
y y2 z z2 , （2n）2 线线间p关2 系
数乘: a2.向(量a的x ,坐标ay运, 算az )
数量积: a b axbx ayby azbz
i jk 向量积: a b ax ay az
bx by bz
ax ay az
a b c ( a b ) c bx by bz
向量的关系:
cx cy cz
ab
0
bx 混合积:ax
• 4.高阶偏导数
（1）定义（对高阶导数符号的认识） （2）求高阶偏导数的方法：由低到高逐阶求导 （3）高阶混合偏导数的求导顺序（p44-例3.5）
与顺序无关的的条件
• 5.多元函数的Taylor公式（以二元函数二阶展式为例）
（1）无条件极值，用海塞矩阵判定 （2）条件极值，用拉格朗日乘数法判定
6.多元数量值函数的微分
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s ( m, n, p ) 为直线的方向向量.
（1）面与面的关系
平面
平面 2 : A2x B2 y C2z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
2.线面之间的相A互1A关2系 B1B2 C1C2 0
(S)
(当x y )
（上侧取“+”, 下侧取“”)
类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .
6.两类曲线积分的联系
PdxQd y
(C)
PdxQd yRdz (C)
7.两类曲面积分的联系
时，
f (x, y, z)d S
f (x, y, z(x, y))
1
z
2 x
z
2 y
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
点: (x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n (A, B, C)
z z1 z2 z1 0 z3 z1
（2）空间直线
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 0 D2 0
对称式
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
推广: 若特征方程含 k 重复根
对应项
则其通解中必含
2.二阶常系数非齐次线性微分方程
PdxQd y 0 (C)
在 (σ) 内有
Q P x y
在 (σ) 内有 d u P dx Q dy
斯托克斯公式-------环流量与旋度
令 A (P, Q, R)
i jk
rotA A
x
y
z
PQR
高斯公式------通量与散度
设向量场 A (P,Q, R), P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续
d
x
d
y
(S)
( x y )
当
R(x, y, z) d x d y R(x, y, z(x, y)) d x d y
(S)
( x y )
= R(x, y, z) cos dS ( xy )
（上侧取“+”, 下侧取“”)
面积分
第一类 (对面积) 第二类 (对坐标)
转化 二重积分
(1) 统一积分变量
• 8.弧长与弧微分（p106）
参数方程，直角坐标方程，极坐标方程下的不同表达式
• 9. 曲率（理解定义，会计算）
三：多元函数积分学
• 1、多元数量值函数积分
（1）定义 （分 匀 合 精） （2）性质（线性，区域可加性，积分不等式，中值定理） （3）类型 ：二重积分，三重积分，第一型的线积分和面积分
z
r
O
y
x
4.曲面方程 思考：当曲
（1）旋转曲面 线 C 绕 y 轴 z
旋转时，方 给定 yOz 面上曲线 C: f ( y, z) 0 程如何？ 绕 z 轴旋转, 形成的旋转曲面方程为
M (x, y, z)
C
M1(0, y1, z1)
f ( x2 y2 , z) 0
O
y
x
z
f ( y, x2 z2 ) 0
5.第一型曲面积分的计算
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
3、 多元向量值函数的积分的计算
（1）第二型线积分（对坐标） 计算方法：换元法 换元后下限对应起点，上限对应终点 换元后转化为定积分 应用：变力沿曲线所做的功
（2）第二型面积分（对坐标） 计算方法：换元法 换元后，转化到平面区域中的二重积分 注意平面的侧，上正下负，前正下负，右正左负 应用：流量
（2）三重积分 计算方法：直角坐标（投影法，截面法），柱面坐标（投影法+极坐标，注 意体积微元 dV=dxdydz=ρdzdρd），球坐标（ dV=dxdydz=r*2 sinθdrdθd ） 应用：空间立体的体积， 空间立体的质量
（3）第一型线积分（对弧长）
计算方法：换元法 曲线以参数方程，直角坐标方程，极坐标方程给出时的不同形式， 注意弧微元， 换元后积分下限小于上限，换元后转化为定积分
高数下册期末辅导
一：向量代数与空间解析几何
1.向量的乘法 记作
数量积 a b
向量积 c a b
方向 : c a , c b
模长： c a b sin
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
向量的运算
加减: a b (ax bx , ay by , az bz )