上海市各区县高三数学上学期期末考试试题汇编 三角函

上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编
三角函数
一、填空题
1、（奉贤区2016届高三上学期期末）函数sin y x x =+，,3x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
的值域是__________．
2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知cos 14α=，且3(,2)2παπ∈，则cos( 2
π
α+)＝ .
3、（奉贤区2016届高三上学期期末）函数()sin 4f x x πω⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则正实数ω的取值范围是_________．
4、（黄浦区2016届高三上学期期末）函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ．
5、（黄浦区2016届高三上学期期末）在△ABC 中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC = ．
6、（金山区2016届高三上学期期末）函数y =sec x ⋅ sin x 的最小正周期T = ．
7、（金山区2016届高三上学期期末）方程cos2x +sin x =1在(0，π)上的解集是 ．
8、（静安区2016届高三上学期期末）设cos x α=,且3[,
]44ππ
α∈-
，则arcsin x 的取值范围
是 .
9、（静安区2016届高三上学期期末）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积2222S a b c bc =--+，则sin A = . (用数值作答)
10、（浦东新区2016届高三上学期期末）已知3cos(
),,252π
πααπ⎛⎫
-=∈ ⎪⎝⎭
，则sin 3πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
11、（普陀区2016届高三上学期期末）在4
4
x π
π
-≤≤
，则函数tan y x =的值域为
__________.
12、（青浦区2016届高三上学期期末）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，0ϕπ<≤图像的一条对称轴是直线8
x π=
，则ϕ= .
13、（松江区2016届高三上学期期末）将函数)3
2sin(π
+
=x y 图像上的所有点向右平移
6
π
个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的2
1
倍（纵坐标不变），则所得图像的函数解析式为 ▲ ．
14、（徐汇区2016届高三上学期期末）函数2
cos 3sin cos y x x x =+的最小值为
________________．
15、（松江区2016届高三上学期期末）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、
b 、
c . 已知1
4
b c a -=
，2sin 3sin B C =，则cos A = ▲ ． 16、（闸北区2016届高三上学期期末）如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A 测得水坝对面的山顶P 的仰角为40︒
，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B 测得
56ABP ︒∠=，若坝面与水平面所成的锐角为30︒，则山高为 米；（结果四舍五入取
整）
17、（长宁区2016届高三上学期期末）若的值是___________
填空题参考答案： 1、3,2⎡⎤-⎣⎦
2、
154 3、15,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
4、π
5、22
6、π
7、⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧65,6ππ 8、[,]42ππ- 9、817 10、343-
11、[-1,1] 12、4
π
13、sin 4x 14、12- 15、14- 16、176 17、-2425
二、选择题
1、（崇明县2016届高三上学期期末）要得到函数的图象，只需将函数 y
＝sin 2x 的图象（ ） (A)向左平移
3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3
π
个单位 (D)向右平移6
π
个单位
2、（虹口区2016届高三上学期期末）已知直线54
4
x x π
π
=
=
和是函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图像的两条相邻的对称轴，则ϕ的值为
（ ）
（A ）
4π （B ）3π （C ）2
π （D ）34π
3、（闵行区2016届高三上学期期末）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足
a b c c
b a b c
-+≤
+-，则角A 的范围是（ B ）. (A)0,
π⎛⎤ ⎥6⎝⎦ (B) 0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦ (C) ,π⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭ (D) ,π⎡⎫
π⎪⎢3⎣⎭
4、（浦东新区2016届高三上学期期末）设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x π≤<时，()0f x =，则23(
)6
f π
=……………………………………………（ A ）
()
A 12 ()
B 32 ()
C 0 ()
D 1
2
-
15、（杨浦区2016届高三上学期期末）下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数
的个数是 （ ）
① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π-=2x sin y ④2x cot y =
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 16、（闸北区2016届高三上学期期末） 17、（长宁区2016届高三上学期期末） 选择题参考答案：
1、B
2、A
3、B
4、A
5、A
三、解答题 1、（崇明县2016届高三上学期期末）如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到
C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .
现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2 分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 分钟后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车 匀速直线运动的速度为130 米/分钟，山路AC 长1260 米 ，经测量，
（1）求索道AB 的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
2、（奉贤区2016届高三上学期期末）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，
且满足25
cos
2A =，3=⋅AC AB （1）、求ABC ∆的面积；
（2）、求a 的最小值． 3、（黄浦区2016届高三上学期期末）
如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2
π
至OB ． （1）用α表示A 、B 两点的坐标；
（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥，求点M 横坐标的取值范围．
4、（金山区2016届高三上学期期末）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =3，cos A =
36，B=A +2
π． 试求b 的大小及△ABC 的面积S ．
5、（闵行区2016届高三上学期期末）
如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02
βαπ
<<
<<π． （1）若3
=4
απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；
A
x
y O
B
1y
A
B
（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．
6、（浦东新区2016届高三上学期期末）已知函数()2sin f x x =,将函数()y f x =的图像向右平移
6
π
个单位，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，
求函数()y g x =的解析式，并写出它的单调递增区间．
7、（普陀区2016届高三上学期期末）已知函数()22sin sin 21f x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）设20cos cos sin 266x f ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中00x π<<，求0tan x 的值.
8、（青浦区2016届高三上学期期末）已知函数)(),(x g x f 满足关系)()()(α+⋅=x f x f x g ，其中α是常数.
（1）设x x x f sin cos )(+=，2
π
α=
，求)(x g 的解析式；
（2）设计一个函数)(x f 及一个α的值，使得()2cos (cos )g x x x x =+； （3）当()sin cos f x x x =+，2
π
α=
时，存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，
12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值.
9、（松江区2016届高三上学期期末）已知函数2()2sin cos f x x x x =-+．
（1）当[0,
]2
x π
∈时，求函数 f (x )的值域；
（2）求函数 y = f (x )的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离．
10、（闸北区2016届高三上学期期末）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，
终边交单位圆于点A ，且[
,)42ππ
α∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3
π
，交单位圆 于点B ，过B 作BC y ⊥轴于点C ；
（1）若点A 的纵坐标为
3
，求点B 的横坐标； （2）求△AOC 的面积S 的最大值；
解答题参考答案 1、
2、解：（1）因为25cos 25A =，所以23cos 2cos 125
A A =-=， 2分
4
sin 5A =
3分 又因为3AB AC ⋅=u u u r u u u r
，得cos 3bc A = 4分
cos 35bc A bc =⇒= 5分
1
sin 22
ABC S bc A ∆⇒== 7分
（2）22222
35,2cos 255
bc a b c bc A b c =∴=+-=+-⨯⨯Q 10分
2226a b c ∴
=+- 11分
222222min 66210
2
a b c b c a bc a ∴=+-⇒+=+≥=∴
= 12分
当且仅当b c
==a 最小值是2 14分
3、[解]（1）由题设，A 点坐标为(cos ,sin )αα，（2分）
其中222
k k απ
π<<π+
（k ∈Z ）．（3分） 因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分）
（2）设(,0)M m （0m ≠），于是(cos ,sin )MA m αα=-u u u r ，(sin ,cos )MB m αα=--u u u r
，
因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r
，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）
整理得2(cos sin )0m m αα--=，由0m ≠
，得cos sin 4m αααπ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，（10分）
此时222k k αππ<<π+，且24k απ≠π+，于是22444
k k αππ3π
π+<+<π+，且242k αππ+≠π+（k ∈Z
）得cos 4απ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝
⎭． 因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-U ．（12分）
4、解：因为cos A =
36，所以sin A =3
3，………………………………………………1分 又B=A +
2π，所以sin B =sin(A +2
π
)=cos A =36,……………………………………………2分
又因为B b
A a sin sin =
，………………………………………………………………………4分 所以b =A
B
a sin sin ⋅=23，……………………………………………………………………6分
cos B =cos(A +2
π
)= –sin A = –33 (8)
分
sin C =sin(A+B )=sin A cos B +cos A sin B =
3
1
，…………………………………………………10分
所以△ABC 的面积S =
C ab sin 21=22
3． ……………………………………………12分 或解：因为a 2
=b 2
+c 2
–2bc cos A （2分）
即：c 2
–43c +9=0，解之得：c =33(舍去)，c =3，（2分）
△ABC 的面积S =A bc sin 21=22
3
．
（2分）
5、[解]（1）方法一:Θ()2
cos 3αβ-=， 1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=9
1
- …3分
Θ3
=4απ，即9
1)223cos(-=-βπ， ………………………………6分
9
1
2sin =∴β． ………………………………8分
方法二:Θ()2cos 3
αβ-=
，3
=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 322cos sin =
-∴ββ，两边平方得，9
8
2sin 1=-β ……………………………6分 9
1
2sin =∴β． …………………………………8分
（2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ= OB OA ⋅∴=βαβαsin sin cos cos + ………………10分
又因为与夹角为βα-1==
OB OA ⋅∴)cos()βαβα-=- ………………………12分 综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立． ……………………………14分
6、解：由()y f x =，将函数()y f x =的图像向右平移6
π
个单位，得2sin()6y x π=-……
2分
再把横坐标缩短到原的12（纵坐标不变），得到()2sin(2)6
g x x π
=-。

…………………4分 由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，可得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈
所以()y g x =的单调递增区间为,,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
………………………………8分
7、
8、解：（1）Θx x x f sin cos )(+=，2
π
α=
∴x x x f sin cos )(-=+α；
∴x x g 2cos )(=
（2）Θ()2cos (cos 3)4cos cos()3
g x x x x x x π
=+=-，
若()2cos f x x =，则()()2cos()33
f x f x x π
π
α+=-
=-
(2)3
3
k π
π
ααπ⇒∴=-
=-
∈取,k Z 中一个都可以， ()2cos f x x =
(3)()sin cos f x x x =+Q ,()()()g x f x f x α∴=⋅+=(sin cos )x x +(cos sin )
x x -
cos 22,2,2sin 212,2,23cos 22,2,
2312sin
22,22.
2x x k k x x k k k Z x x k k x x k k πππππππππππππππ⎧⎛⎤∈+ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤--∈++⎪
⎥⎪⎝⎦
=∈⎨⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝
⎦⎪
⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎩
显然，(2)()g x g x π+=即()y g x =的最小正周期是2π， 因为存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立， 所以当12x k ππ=+或12,2
x k k Z π
π=+∈时，1()()1g x g x ≥=-
当272,4
x k k Z π
π=+
∈时，2()()2g x g x ≤= 所以12121272(2),4
x x k k k k Z π
πππ-=+-+
∈、 或12121272(2),2
4
x x k k k k Z π
π
ππ-=+-+
∈、 所以12x x -的最小值是
34
π. 说明：写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像，用数形结合的方法解同样给分
9、解：（1）
()f x 22sin cos 233x x x =-+sin 2322sin(2)3
x x x π
==-
……………………4分 当[0,
]2
x π
∈时，22[,]3
33
x π
ππ
-
∈-
，所以()f x 的值域为[3,2]……7分
（2）()2sin(2)13f x x π
=-
= ∴1
sin(2)32
x π-=，……………………9分
11 2236x k πππ
-
=+或52236x k ππ
π-=+，k Z ∈ ……………………12分 ∴当()1f x =时，两交点的最短距离为3π
……………………14分
10、（1）1
2-；（2）31
+；。