更高更妙的物理-竞赛课件12：机械振动二三事

O x FB
r FA
B
r
k
k l K k
k x 2 1 r r
2
质点在距平衡位置x的某位置时：
R x
2
FB
r x
2
K K x k x K K k kk k K F 1 2 1 2 32 2 3x x3 x R2 2 2 2 3 3 R r r R Rr Kkl r r R
振动系统1
竖直面内振动的弹簧振子
kx0
x0 mg
k(x0+x)
x mg
平衡位置 所在位置
在平衡位置时：
mg kx0
在距平衡位置x处时：
F mg k x0 x
则该振动系统作简谐运动,且周期为
kx
m T 2 k
振动系统2
F回 mg sin
sin
单摆
专题12-例5
以加速下滑的小车为参考系,单摆在振动的“平衡位置” 时受力平衡:
由
FT2
mg ma 2 mg ma cos 90
2 2
FT


FT m g 2 a 2 2ag sin
⑶
一物体在水平面上作简谐运动，振幅为10 cm，当 物体离开平衡位置6 cm 时，速度为24 cm/s． ⑴问周期是多少？⑵当速度为±12 cm/s时，位移是多少？ ⑶如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物 体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？ ⑴作如图所示谐振参考圆，由图得
框架处于静止 ,受力如图: 对C点必有:
C
mgx f l sin 60
2mg f x 3l 对松鼠有: f 2m g x 3l
可知松鼠作谐振且有:
A
f
f
x
mg Mg
B
T 2
3l 2.6s 2g
长度为Ｌ的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另 一端搁在劲度系数为k的弹簧上，如图．试确定铁杆小振动周期与质 量为m的重物在杆上的位置之关系．
⑴确定摆球振动中的机械能守恒关系 ⑵比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式 ⑶在同一参考圆下提取等效的角速度
示例
振动系统4
若单摆在加速度竖直向上的电梯中 作小幅振动，在振动的“平衡位置”
FT
a
mg
由 FT mg ma FT m g a 故 g g a
水平面的交角为α、β，液柱总长为l．若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即 开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期．毛细管作用及摩擦忽略不 计．
x
h0

x
F左 F右 gh0 s
若液柱向右侧振动,液片在 平衡位置右侧x时：

0 x F gs h0 x sin gs h0 x sin
当θ角很小时
m T 2 k

T
T 2
BO BO x
则有 F回 mg sin mg BO mg l x mg l mg k x l
l g
B

l
x
F回
O
mg
振动系统3
如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一 端与质量为m的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将a无 初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带 上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为μ，试 说明A将做什么运动？ 在平衡位置时： mg kA
力心A、B相距l，一质量为m的质点受与距离平方反比的有心斥 专题 12例 4 力作用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情 况．
R A 质点在平衡位置O时：
K k 2 2 R r
FA K
則 R
K x 2 1 R R
K l K k
2
l ga
则
T 2
FT
若单摆在加速度水平向左的车厢中 作小幅振动，在振动的“平衡位置”
ma
mg
由
FT mg ma FT m g 2 a 2
2 2
故
g g a
2
2
则
T 2
l g 2 a2
振动系统5
带正电摆球在水平向右的电场中作 小幅振动
在振动的“平衡位置” FT qE
l x0 x mg 2 F k x x mg 0 l
mg k x l
kx0
mg
此时

k g m l
板在平衡位置时有 l
x0
kx0 2
x0 l
f
kx0 l
mg
设再向左有一小位移x时
l x0 x mg 2 F k x x mg 0 l mg
x 0.24cos t m 2 ⑴ x1 0.24cos 0.5 m 12 2cm 2
2
2 12 2 3 2 ⑵ F1 m 2 x1 0.010 N 100 10000 2
4 由 12 24cos t 得 t1 s 2 3 ⑷ 24 3 3 4 v sin m/s m/s 2 100 50 2 3
gs sin sin
k x
l ls 2 T 2 g sin sin gs sin sin
专题12-例3
如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道， 在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切 摩擦阻力．试求小球的最大速度，以及小球从A到B所需时间．已知地球半径为 R， 地球表面的重力加速度为g，A和B之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均 匀，不考虑地球自转．
Mg F回 Mg sin x l 由简谐振动周期公式：
≈
m T 2 k
T 2
M+m
M m l
Mg
F回

乙甲
Mg
三根长度均为l＝2.00 m，质量均匀的直杆，构成一正三角形 框架ABC，Ｃ点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导 轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动 而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述．
在距平衡位置x处时：
a
v
F k A x mg
mg mg
a
x
k A x
kx
该振动系统作简谐运动,且周期为
a
平 衡 位 置
A
kA
m T 2 k
专题12-例2 如图所示，密度为ρ的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与
取管之底端一截面积为s的液片 该液片在平衡位置时：
k
此时

x 若k mg l l k g mg 若k < l m l
右轮不光滑且逆时针转动同⑴ 右轮不光滑且顺时针转动同⑵
x
⑵若左轮不光滑且逆时针转动,
F左
O
专题12-例1 质点P以角速度ω沿半径为R的圆轨道
做匀速圆周运动，试证明：质点P 在某直径上的投影 的运动为简谐运动．
r3 M m 3 GMm R F G r 2 3 r R
A
x r F
L
F回
Ｏ
d
B
R GMm x F回 r 3 r R mg GMm 小球过平衡位置时速度最大,为: x x R R3
可知小球在隧道中做简谐运动!
R R T 2 t g g
v m A L g L g R 2 2 R
P所受向心力Fn
y
Fn m 2 R
P的投影运动所受回复力Fx
R Fn
P xBiblioteka Fx m R cos 2
O Fxx P
x Fx m R m 2 x R
2
0 t
令为k
Fx kx
x R cos t 0 A cos t 0
若木板有一位移-重心向右轮移过x时
mg mg 有 F左 F右 , f f F 2 2
F左
左
O
F右 F右
有 F f f l l x x 2 mg 2 mg l l
f f f
x f
l
mg mg
2 mg x l
T 2
l 2 g
如图，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上， 两滚柱轴线间的距离为l，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为μ，而 在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动．用一劲度系数为k的弹簧将板 连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋 转起来．问摩擦因数μ为多大，木板相对平衡位置有了位移后可作简 O 谐运动？振动的圆频率是多少？ ⑴若左轮不光滑且顺时针转动, x0 x F左 kx0 f 板在平衡位置时有 l x0 l 2 设再向右有一小位移x时 l
轻杆受力如图:
mg
L L mg k x0 x l l 2 l m L T 2 k 2 x L k l
FN
x
L k x0 x l
如图，质量为m 的均匀长木板水平地置于两个匀速 反向转动的轮上．设轮与木板间摩擦因数为μ，两轮间距离l，平衡 时长木板重心在l/2处．若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将 在轮上作往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期． 木板处于平衡位置时,受力如图
T 2


4
2
m K k Kkl
3

4


l
K k

2
2ml Kk
如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不 计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l，乙球摆线很长， 两球在同一水平面上静止．现使之作小振幅的摆动，它的周期是?．
在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方 向一小角度θ时，乙摆线仍为竖直
质量为10 g的物体作简谐运动，振幅为24 cm，周 期为4 s；当t＝０时坐标为+24 cm.试求⑴当t＝0.5 s时物体的位 置．⑵当t＝0.5 s时作用在物体上力的大小和方向．⑶物体从初位置 到x＝-12 cm处所需的最短时间．⑷当x＝-12 cm时物体的速度． 根据题给条件，物体振动方程为
F回 m x kx
2
∵参考圆运动的周期
k 而 m ∴简谐运动的周期公式为
2 T
P v
t
y
ωA P
A
t v
P x
简谐运动的位移公式为 简谐运动的速度公式为
m T 2 k
O
x
P
x A cos t 0
ωA
v A sin t 0
2 2
FT
mg
2
qE
2
2
qE m g m
2
E
mg
qE 故 g g m 则 T 2
ml
2
mg
qE
2
如图所示，摆线长为l的单摆悬于架上，架固定于小 车．使小车沿倾角为的斜面以加速度a作匀加速运动，求此时单摆振 动的周期．
L 对轻杆有 F l k x x L N 0 l
对重物有
振动中重物有一对平衡位置位移x时, 重物受力如图:
有 mg l kx0 L
当重物位置在距铰接点l时 ,系统处于 平衡时,若弹簧形变量为x0受力如图:
Ｌ
l
FN mg
kx0
F mg FN
v A sin 3rad/s 2 T s 3 ⑵

A
8

v
10
O 6
x
x v A 1 x 2 21cm A
⑶路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供：
2
mg m A
2
0.09
由理想单摆周期公式 T 2
l ，通常可由三条途径确定T： g ★确定等效的重力加速度 g
．
⑴确定摆球振动的平衡位置； ⑵确定摆在此位置时摆线上的力FT； ⑶等效的重力加速度 g FT
★确定等效悬点及摆长
m
示例
⑴联结两悬点的直线为转轴； ⑵摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点； ⑶取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长 l 示例
．
★确定等效的圆频率
l g