广东高考数学理科一轮总复习配套课件9.4数列的求和
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分组求和.
【互动探究】
1.(2012 年广东韶关二模 ) 已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，
a1＝1，且S1,2S2,3S3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设数列{an}的公比为 q， 若 q＝1，则 S1＝a1＝1,2S2＝4a1＝4,3S3＝9a1＝9， 但 S1＋3S3＝10≠2×2S2，与已知矛盾，故 q≠1. a11－qn 1－qn 根据 Sn＝ ＝ ， 1－q 1－q 且 S1,2S2,3S3 成等差数列，得 S1＋3S3＝2×2S2， 1－q3 1－q2 1 即 1＋3× ＝4× ，解得 q＝3或 q＝0(舍去). 1－q 1－q ∴an＝a1· q
1 1－3n
－n＋1
.
考点2 裂项相消法求和 例 2：(2013 年大纲)在等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9， (1)求{an}的通项公式；
1 (2)设 bn＝na ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d.
考点 1 公式或分组法求和
例1：(2011年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn} 的前n项和Sn.
解：(1)设q为等比数列{an}的公比，
则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0.
2.设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( A.X＋Z＝2Y B.Y(Y－X)＝Z(Z－X)
D )
C.Y2＝XZ
D.Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析：取等比数列 1,2,4，令 n＝1，得 X＝1，Y＝3，Z＝7， 代入验算，只有选项 D 满足.
3.已知{an}是公比为 2 的等比数列，若 a3－a1＝6，则 a1＝ 1 1 1－ n 1 1 1 2 4 3 ________；a2＋a2＋…＋a2＝___________.
1 2 n
解析：∵a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，∴a1＝2，∴an＝a12n－1， 1 1n ∴a ＝2 ， n 1 1 1－ n 4 1 4 1 1 1 1 1－ n. ∴a2＋a2＋…＋a2＝ ＝ 4 1 3 1 2 n 1－4
3.常见的拆项公式
1 1 1 (1) ＝ － . nn＋1 n n＋1 1 1 1 1 (2) ＝22n－1－2n＋1 . 2n－12n＋1 (3) 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n.
1 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 an＝ ， 则 S5＝( B ) nn＋1 A.1 1 C.6 5 B.6 1 D.30
1.等差、等比数列的求和
nn－1 na1＋an na1＋ 2 d (1)等差数列前 n 项和 Sn＝__________ ＝ _______________. 2
推导方法：倒序相加法；
(2)等比数列前 n 项和
na1
a11－qn 1－q
a1－anq 1－q
推导方法：乘公比，错位相减法.
解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
∴{an}的通项公式为an＝2· 2n－1＝2n(n∈N*).
21－2n nn－1 (2)Sn＝ ＋n×1＋ 2 ×2＝2n＋1＋n2－2. 1－2
【方法与技巧】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，
则求和时，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说的
【方法与技巧】在应用裂项相消法时，要注意消项的规律
2.一般数列求和的常用方法 (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形 式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项 相乘构成的数列求和.
(4)倒序相加：如等差数列前 n 项和公式的推导.
第4讲 数列的求和
考纲要求
1.掌握等差数列、等ຫໍສະໝຸດ 数列的求和公式. 2.了解一般数列求和的 几种方法.
考情风向标 从近两年的高考试题来看，对等差、等 比数列的求和，以考查公式为主；对非 等差、非等比数列的求和，主要考查分 组求和、裂项相消法、错位相减法等方 法.题型既有选择题、填空题，又有解答 题，属较难题目. 预计 2015 年高考对数列的求和不会有 太大的变化，但要特别关注错位相减法 求和，不仅因为它是求和的难点，更因 为其出现的频率最高.
1 1 1 1 4. 数列 1 2 ， 2 4 ， 3 8 ，…， n＋2n ，…的前 n 项和 Sn ＝ 1 1 2n(n＋1)＋1－2n _____________________.
5.数列{an}的通项公式 an＝
120 10，则项数 n＝_______.
1 n＋ n＋1
，若前 n 项的和为
n－1
1 － ＝3n 1.
(2)由(1)，得
1 － bn＝an＋n＝3n 1＋n，
则 Tn＝(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) a11－qn 1＋nn ＝Sn＋(1＋2＋…＋n)＝ ＋ 2 1－q 1＋nn 3＋n＋n2－3 ＝ 1 ＋ 2 ＝ 2 1－ 3
a7＝4， ∵ a19＝2a9， a1＋6d＝4， ∴ a1＋18d＝2a1＋8d.
1 解得 a1＝1，d＝2. n＋1 ∴{an}的通项公式为 an＝ 2 .
1 1 1 2 (2)bn＝na ＝ ＝2n－n＋1 ， n n ＋ 1 n 1 1 1 1 1 2n ∴Sn＝2 1－2＋2－3＋…＋n－n＋1＝ . n＋1
【互动探究】
1.(2012 年广东韶关二模 ) 已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，
a1＝1，且S1,2S2,3S3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设数列{an}的公比为 q， 若 q＝1，则 S1＝a1＝1,2S2＝4a1＝4,3S3＝9a1＝9， 但 S1＋3S3＝10≠2×2S2，与已知矛盾，故 q≠1. a11－qn 1－qn 根据 Sn＝ ＝ ， 1－q 1－q 且 S1,2S2,3S3 成等差数列，得 S1＋3S3＝2×2S2， 1－q3 1－q2 1 即 1＋3× ＝4× ，解得 q＝3或 q＝0(舍去). 1－q 1－q ∴an＝a1· q
1 1－3n
－n＋1
.
考点2 裂项相消法求和 例 2：(2013 年大纲)在等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9， (1)求{an}的通项公式；
1 (2)设 bn＝na ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d.
考点 1 公式或分组法求和
例1：(2011年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn} 的前n项和Sn.
解：(1)设q为等比数列{an}的公比，
则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0.
2.设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( A.X＋Z＝2Y B.Y(Y－X)＝Z(Z－X)
D )
C.Y2＝XZ
D.Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析：取等比数列 1,2,4，令 n＝1，得 X＝1，Y＝3，Z＝7， 代入验算，只有选项 D 满足.
3.已知{an}是公比为 2 的等比数列，若 a3－a1＝6，则 a1＝ 1 1 1－ n 1 1 1 2 4 3 ________；a2＋a2＋…＋a2＝___________.
1 2 n
解析：∵a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，∴a1＝2，∴an＝a12n－1， 1 1n ∴a ＝2 ， n 1 1 1－ n 4 1 4 1 1 1 1 1－ n. ∴a2＋a2＋…＋a2＝ ＝ 4 1 3 1 2 n 1－4
3.常见的拆项公式
1 1 1 (1) ＝ － . nn＋1 n n＋1 1 1 1 1 (2) ＝22n－1－2n＋1 . 2n－12n＋1 (3) 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n.
1 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 an＝ ， 则 S5＝( B ) nn＋1 A.1 1 C.6 5 B.6 1 D.30
1.等差、等比数列的求和
nn－1 na1＋an na1＋ 2 d (1)等差数列前 n 项和 Sn＝__________ ＝ _______________. 2
推导方法：倒序相加法；
(2)等比数列前 n 项和
na1
a11－qn 1－q
a1－anq 1－q
推导方法：乘公比，错位相减法.
解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
∴{an}的通项公式为an＝2· 2n－1＝2n(n∈N*).
21－2n nn－1 (2)Sn＝ ＋n×1＋ 2 ×2＝2n＋1＋n2－2. 1－2
【方法与技巧】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，
则求和时，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说的
【方法与技巧】在应用裂项相消法时，要注意消项的规律
2.一般数列求和的常用方法 (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形 式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项 相乘构成的数列求和.
(4)倒序相加：如等差数列前 n 项和公式的推导.
第4讲 数列的求和
考纲要求
1.掌握等差数列、等ຫໍສະໝຸດ 数列的求和公式. 2.了解一般数列求和的 几种方法.
考情风向标 从近两年的高考试题来看，对等差、等 比数列的求和，以考查公式为主；对非 等差、非等比数列的求和，主要考查分 组求和、裂项相消法、错位相减法等方 法.题型既有选择题、填空题，又有解答 题，属较难题目. 预计 2015 年高考对数列的求和不会有 太大的变化，但要特别关注错位相减法 求和，不仅因为它是求和的难点，更因 为其出现的频率最高.
1 1 1 1 4. 数列 1 2 ， 2 4 ， 3 8 ，…， n＋2n ，…的前 n 项和 Sn ＝ 1 1 2n(n＋1)＋1－2n _____________________.
5.数列{an}的通项公式 an＝
120 10，则项数 n＝_______.
1 n＋ n＋1
，若前 n 项的和为
n－1
1 － ＝3n 1.
(2)由(1)，得
1 － bn＝an＋n＝3n 1＋n，
则 Tn＝(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) a11－qn 1＋nn ＝Sn＋(1＋2＋…＋n)＝ ＋ 2 1－q 1＋nn 3＋n＋n2－3 ＝ 1 ＋ 2 ＝ 2 1－ 3
a7＝4， ∵ a19＝2a9， a1＋6d＝4， ∴ a1＋18d＝2a1＋8d.
1 解得 a1＝1，d＝2. n＋1 ∴{an}的通项公式为 an＝ 2 .
1 1 1 2 (2)bn＝na ＝ ＝2n－n＋1 ， n n ＋ 1 n 1 1 1 1 1 2n ∴Sn＝2 1－2＋2－3＋…＋n－n＋1＝ . n＋1