2008学年度上海市浦东新区第一学期九年级数学期中试卷上教版

2008学年度第一学期九年级数学期中试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分，范围：24.1-25.2）
1．如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，那么AP 的长为……（ ）.
(A)
21
5- AB ； (B) 2
53-AB ； (C) 1
52-AB ； (D)
5
32-AB .
2．如果点D 、E 分别在ΔABC 的边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是…（ ）
(A)
AD AB = 23 ，DE BC = 23 ； （B ） AD BD = 23 ，CE AE = 23 ； （C ）
AB AD = 32 ，EC AE = 12 ； (D) AB AD =34，AE EC = 3
4． 3.下列命题中的真命题是………………………………………………（ ）
(A)两个直角三角形都相似;
(B)一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似;
（C ）两个等腰三角形都相似; (D) 两个等腰直角三角形都相似.
4.在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，∠B =∠AED ，那么下列结论中不正确的是……………………………………………………… （ ) （A ）AD ：AC =AE ：AB ； （B ）AD ·AB =AE ·AC ； （C ）DE ：BC =AD ：AC ； (D) DE ：BC =AD ：AB ．
5．在直角三角形中，一个锐角三角比的值 （ ）． (A)与这个三角形的面积的大小有关； (B)与这个角的邻边和对边有关； (C)只与这个角的大小有关； (D)只与这个三角形的斜边有关． 6. 如图，已知平行四边形ABCD ，点M 是边DC 的中点，射线AM 、BC 相交于点E ，设=，=，则向量关于、的分解式是（ ）
（A ）a -2b ；（B ）b -2a ；（C ）a +2b ；（D ）2a +b .
D
C M
E
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．如果sin A =
2
3
，那么锐角A =________度. 8．若
=+++==z
y z y x z y x 2,432则 . 9．已知线段2=a 厘米，8=c 厘米，那么线段a 和c 的比例中项b ＝ 厘
米 ．
10．计算：=--+)6(3
1)32(a b b a ．
11．已知：)(2=-+，用向量、表示= .
12.如图，AB //CD ，AD 与BC 交于点O ，若
35=OD OC ，则
BO
AO
= ． 13.已知△ABC 中,AC =6,AB =8,AD 平分∠BAC,DE ∥CA ,则DE = .
14.如图，在△ABC 中,︒=∠90C ，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，则AE ∶DF = .
15．如果两个相似三角形的面积之比是4∶9，那么它们对应的角平分线之比是 ．
16．如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 ．
17．如图，G 为正方形ABCD 的BC 边上一点，CG =2，BG = 4，P 为DC 上一点，若PG ⊥AG ，则C P = ． 18．如果等腰三角形中的两条边长分别是4和5，那么底角的余弦为 ．
A B
C
D B
A
D A C
B F
D
第13题图
第14题图
E 第12题图
O
D
C
B
A
G P
第17题图
三、解答题：（本大题共7题，19-22题，每题10分，23-24题，每题12分，25题14分，满分78分）
19．如图5，已知两个不平行的向量a 、b ，求作：b a
2
12-．（不要求写作法）
20．计算： ︒⋅︒+︒
-︒︒
-︒+︒+︒30cot 30tan 45cot 60tan 30sin 30cos 45cos 45sin 2
2
.
21.已知：如图，CD ∥AB ∥MN ， 且EF ∥ BC ，求证：AD ∥EF .
a
b 第19题图
M
F
N
E A B
C
D
第21题图
22. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，如果∠B =∠ACD ，AD =2cm ，AC =4cm ，S △ACD =8cm 2，求△ABC 的面积．
23．在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，P 是BC 的中点，AP 和BD 相交于点E ， 求证: AP ⊥BD
B
C
A
D
第22题图A
B
C
D
E P 第23题图
24、如图，在□ABCD 中，点E 在BC 边上，AE =AB ，点F 在DE 上，∠DAF =∠CDE ． （1）找出图中相似的三角形，有
①DCE ∆∽ ； ②AEF ∆∽ . 并证明②式.
（2）如果AB =6，DF =5，求EF 的长．
C
B
A
D
E
F 第24题图
25．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD, CD =6，BC =4，∠ABD =∠C ，P 是CD 上的一个动点(P 不与点C 点D 重合),且满足条件:∠BPE =∠C , 交BD 于点E . (1 ) 求证：△BCP ∽△PDE ；
（2）如果CP = x , BE =y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）P 点在运动过程中，△BPE 能否成为等腰三角形，若能，求 x 的值 ，若不能，说明理由.
D C B A P E
第25题图
九年级数学期中试卷参考答案
一．1.A 2. C 3.D 4.D 5.C 6.B
二．7.60 8. 109 9. 4 10. b a +37 11. +=2
1 12. 53 13. 724
14. 5∶3 15. 2∶3 16. 6 17. 34 18. 52,8
5
三．19.略
20.解：原式=2)22(+2)22(+1
321
23--+33×3………………8分 =
21+21+21+1=2
1
2 ………………2分 21. ∵E F ∥ BC ∴
BN
EB
CN FC = …………………………………2分 ∵AB ∥ MN ∴
AM
EA
BN EB = ………………………………2分 ∵CD ∥ MN ∴
DM
FD
CN FC = ……………………………………2分 ∴
AM
EA
DM FD = …………………………………………………2分 ∴AD ∥EF ……………………………………………………2分
22．∵在△ACD 与△ABC 中 ∠B=∠ACD
∠A =∠A
∴△ACD ∽△ABC …………………………………………………3分
∴
2
)(AC AD S S ABC ACD =∆∆ ………………………………………………………2分
∵AD=2 cm ，AC =4 cm ∴
4
1
)42(2==∆∆ABC ACD S S …………………………………………………2分
又∵S △ACD =8cm 2∴S △ABC =32 cm 2 ……………………………………3分
23．∵矩形ABCD ，∴AD=BC ，∠DAB =∠ABP =90°…………………………2分
∵AD =6,P 是BC 的中点
∴BP =
2621=BC ………………………………1分 ∵AB =
3 ∴
22
63
==BP
AB
………………………………1分 ∵
23
6
==AB AD ………………………………1分 ∴
AB
AD
BP AB =
………………………………1分 ∵∠DAB=∠ABP=90°
∴△DAB ∽△ABP ………………………………1分 ∴∠ABD=∠BP A ………………………………1分 ∵∠ABD+∠EBP=90° ………………………………1分 ∴∠BP A+∠EBP=90° ………………………………1分 ∴∠BEP=90° ……………………………1分 ∴AP ⊥BD ………………………………1分 24．(1)① △DCE ∽△AFD ；②△AE F ∽△DEA …………………………2分
证明②：∵ ∠AFE=∠F AD +∠ADF =∠EDC +∠ADF=∠ADC=∠B=∠AEB =∠EAD ，又∠AEF=∠DEA ，∴△AE F ∽△DEA ………………………4分 (2) ∵AE =AB, AB =6， ∴AE =6 ……………………………1分
∵△AE F ∽△DEA ∴
AE
EF
DE AE = ………………………………2分 设EF=x ，∵AB =6，DF =5 ∴
6
56x
x =+，即03652=-+x x
解得9,421-==x x (不符合题意,舍去) ………………………………2分 EF 的长为4. ………………………………1分
25．(1)证明:因为AB ∥DC ，所以∠ABD=∠BDC
因为∠ABD =∠C ，所以∠BDC =∠C ……………………………2分 因为∠BPD =∠BPE+∠EPD ∠BPD =∠PBC+∠C
又因为∠BPE =∠C
所以∠PBC =∠EPD ……………………………………1分 所以△BCP ∽△PDE …………………………………………1分 (2) 因为△BCP ∽△PDE
所以
BC CP
DP DE
=
, ……………………………………………………1分 因为CP= x , BE=y ，BD=BC=4,CD =6 所以DP= 6 - x , DE= 4 – y 所以
4x 6-x 4-y
=, ……………………………………………………2分 所以2616
4
x x y -+=………………………………………………1分
(3)(ⅰ)若BP=PE ，则△BCP ≌△PDE ，
所以PD=BC =4,所以x =2 ……………………………………………2分
(ⅱ)若BE=PE ，则∠BPE=∠PBE =∠C =∠CDB ， 所以△BEP ∽△CBD ，PE ：PB=BC ：CD =2：3 又因为PD ：BC=PE ：PB 即（6-x ）：4=2：3， 所以x =
10
3
…………………………………………………………2分 (ⅲ)若BP=BE ，则∠BPE=∠PEB >∠CDB ，矛盾. ……………………1分 所以，当x =2或10
3
时，△BPE 为等腰三角形. ………………………1分。