初三数学第三、四章总复习 北师大版

初三数学第三、四章总复习
一. 本周教学内容：
第三、四章总复习
二. 教学目标：
回顾第三、四章基础知识，并熟练解决本章问题
三. 教学重点、难点：
第三、四章基础知识，及其应用
四. 课堂教学：
知识结构一
知识结构二
【典型例题】
例1. 已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作圆O，交AN于D、E两点，设AD=x，
（1）如图（1）所示，当x取何值时，圆O与AM相切；
（2）如图（2）所示，当x为何值时，圆O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°。

解：（1）过O 点作OF ⊥AM 于F ， 当OF=r=2时，圆O 与AM 相切。

此时OA=4cm ，故x=AD=2cm （2）过O 点作OG ⊥AM 于G ∵OB=OC=2，∠BOC=90°
∴BC=22，∵OG ⊥BC ，∴BG=CG=2 ∴OG=2，∵∠A=30° ∴OA=22 ∴x=AD=222-
例2. 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作圆O 。

（1）在图中作出圆O ；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BC 为圆O 的切线；
（3）若AC=3，4
3
B tan =
，求圆O 的半径长。

（1）解：如图所示。

（2）证明：连结OD 。

∵OA=OD ， ∴∠OAD=∠ODA 。

∵AD 平分∠BAC 。

∴∠OAD=∠DAC 。

∴∠ODA=∠DAC ∴OD//AC
∵∠C=90°，∴∠ODB=90°
即OD ⊥BC 。

∴BC 为圆O 的切线。

（3）在Rt △ABC 中，4
3B tan =
4
3
BC AC =∴
∵AC=3，∴BC=4，∴AB=5BC AC 22=+ 又∵OD//AC ，∴△BOD ∽△BAC
AB
BO
AC OD =
∴
∵OD=AO= r ，∴BO=5－r ，5
r
53
r -=∴， 解得8
15r =。

例3. 某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，…100）的箱子中随机摸出一个球（摸后放回）。

若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其他数字，则不返购物券。

第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元。

估计促销期间将有5000人次参加活动，请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？
解：获得500元购物券的概率是0.01，
摸球一次获得购物券的平均金额为： ×××5）=12（元）
如果有5000人次参加摸球，商场付出的购物券的金额是： 5000××××5）=60000（元）
若直接获得购物券，需付金额：5000×15=75000（元） 商场选择摸球的促销方式合算。

例4. 桌面上放有4X 卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一X ，记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一X ，记下卡片上的数字，然后将这两数相加； （1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；
（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平吗？
解：（1）列表如下：
由列表可得：P （数字之和为5）4
1
=
（2）因为P （甲胜）41=
，P （乙胜）4
3=， ∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为： 12÷3=4（分）
【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题：
1. 在拼图游戏中，从如图①所示的四X 纸片中，任取两X 纸片，能拼成“小房子”（如图②所示）的概率等于（ ）
A. 1
B.
2
1
C.
3
1
D.
3
2
2. 如图所示，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型。

若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（ ）
A. R=2r
B. r 3R =
C. r 3R =
D. r 4R =
3. 生活处处皆学问，如图所示，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
4. 如图所示，以BC 为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连结CD ，则阴影部分的面积是（ ）
A. π－1
B. π－2
C.
12
1
-π D.
22
1
-π
5. 某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答。

在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（ ） A.
10
1 B.
9
1
C.
8
1
D.
7
1
二、填空题
1. 有2名男生和2名女生，王老师要随机地、两两一对地为他们排座位，一男一女排在一起的概率是_________。

2. 如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E，若DE=3，则BC=_________。

3. 在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为_________。

4. 已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点，且OC=4。

若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值X围是_________。

5. 如图所示，把奥运的5个吉祥物“福娃”放置在展桌上，有2个位置已确定如图，其他3个“福娃”：在各种不同位置放置的情况下，其中“迎迎”和“贝贝”的位置不相邻这一事件发生的概率为_________。

三、解答题
1. 如图所示，△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N。

（1）求证：BA·BM=BC·BN；
（2）如果CM是圆O的切线，N为OC的中点。

当AC=3时，求AB的值。

4，D是线段BC的中点。

2. 如图所示，圆O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=3
（1）试判断D与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是圆O的切线。

3. 如图所示，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C 都可使小灯泡发光。

（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_________；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率。

4. 甲、乙两人都想去买一本某种辞典，到书店后，发现书架上只有一本该辞典，于是两人都想把书让给对方先买，为此两人发生了“争执”。

最后两人商定，用掷一枚各面分别有数字1，2，3，4的正四面体骰子来决定谁先买。

若甲赢，则乙买；若乙赢，则甲买。

具体规则是：“每人各掷一次，若甲掷得的数字比乙大，则甲赢；若甲掷得的数字不比乙大，则乙赢”。

请你用“画树状图”的方法帮他们分析一下，这个规则对甲、乙双方是否公平？
5. 如图所示，圆O 的直径BC=4，过点C 作圆O 的切线m ，D 是直线m 上一点，且DC=2，A 是线段BO 上一动点，连结AD 交圆O 于点G ，过点A 作AD 的垂线交直线m 于点F ，交圆O 于点H ，连结GH 交BC 于点E 。

（1）当A 是BO 的中点时，求AF 的长；
（2）若∠AGH=∠AFD ，求△AGH 的面积。

[参考答案]
一、选择题： 1. D 2. C
3. A
4. A
5. C
二、填空题 1.
3
2 2. 6
3.
8
25625或 4. 4r 2≤<
5.
3
1
三、解答题
1. （1）证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB
BN
AB
BM BC =
∴
∴AB ·BM=BC ·BN
（2）解：连结OM ，则∠OMC=90° ∵N 为OC 中点，∴MN=ON=OM ∴∠MON=60°。

∵OM=OB
∴∠B=
2
1
∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6 2. 解：（1）点D 在圆O 上
连结OD 过点O 作OF ⊥BC 于点F 在Rt △BOF 中
，
2AB 2
1
OB ==∠B=30° ∴BF=2·cos30°=3
32BC 2
1
BD ==
3DF =∴
在Rt △ODF 中，OB 213OD ==+=
∴点D 在圆O 上
（2）∵D 是BC 的中点，O 是AB 的中点 ∴OD//AC
又∵DE ⊥AC ，∴∠EDO=90°
又∵OD 是圆O 的半径，∴DE 是圆O 的切线。

3. 解：（1）4
1
（2）正确画出树状图（或列表）
任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光
的概率是
2
1。

4. 解：树状图如下：
P （甲赢）83=
；P （乙赢）8
5
=。

∵P （甲赢）<P （乙赢）， ∴这个规则对甲、乙双方不公平。

5. 解：（1）∵BC=4，A 是OB 的中点 ∴AC=3。

又∵DC 为圆O 的切线 ∴∠ACD=∠ACF=90°
∵AD ⊥AF ，∴∠ADC 、∠CAF 都和∠DAC 互余； ∴∠ADC=∠CAF ，ACD ∆∴∽△FCA
∴CD ：AC=AC ：FC ，解得：2
9
FC =
213DF =）
2
13
33)29(AF 22=
+= （2）∵∠AGH=∠AFD ，∠DAF=∠HAG=90° ∴△AGH ∽△AFD
∴∠AGH=∠F=∠CAG ，∠AHG=∠D=∠CAF ∴AE=GE=HE 。

（或AE 是Rt △AGH 斜边GH 上的中线）
∴可知GH 是圆O 的直径或GH 是垂直于直径的弦，①如图1所示，如果GH 是直径，此时A ，B 两点重合，GH=4，而DF=10，
∴△AGH 与△AFD 的相似比为2：5，
∴△AGH 与△AFD 的面积比为4：25，而△AFD 面积为204102
1
=⨯⨯
∴△AGH 面积5
16
20254=⨯=（或3.2）。

②如图2所示，如果GH 不是直径，则GH ⊥BC ∴AC 垂直平分GH ，AG=AH ∴GH//DF ，而∠GAH=90°
∴∠AGH=45°，∴∠D=∠AGH=45° 在Rt △ACD 中，∠DAC=45°
∴AC=DC=2，而OC=2，∴A 、O 两点重合，那么AG=AH=2，
∴△AGH 面积为2222
1
=⨯⨯。