人教A版数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型(2)

和
y

x

2
的图象有两个交点，
这表明 与 2 x在自x变2 量不同的区间有不同的大小关系，
有时
2，x 有x时2
。2 x x 2
但是,当自变量 要x 越来越大时，可以看到， y 2x的图象就像与 x轴垂直一样，2 x的值快速增长，
比起x 2来，2 x几乎有些微不足道，如图3.2-6和表3-
7所示。
n 上，无论 比 a大多少，尽管在x 的一定变化范围内，
a x会 小于x n， 由于 a 的x 增长快于xn 的增长，因此总存在一
个x0，当x x时0 ，就会有 a x 。xn
同间样y 地x，n 对上（于，n对随 数着0）函数的增大（y，0,lo）ga和增x 幂长（ 函得a数 越x来1） 越慢，,在l图o区ga x
y=2^x
y=x^2
以2为底 的对数学 函数
下面我们在更大的范围内，观察 y 2x 和 y x2 的增长情况
x
0
y 2x 1
y x2 0
2
4
6
8
10
12
14
16
4
16
64
256 1024 4096 16384 65536
4
16
36
64
100
144
196
256
从图可以看到，y 2x
在同一个“档次”上。随着 的增大， 的增长速度越来
x 越快，会超过并y远远a x大 于（的a 增1）长速度，
而
的增y 长 x速n 度（则n会越1）来越慢。因此，总会存在
一个y ，loga 当x （a
。
loga x x n a x
时1），就有
x0
x

x0
探究
你能用同样的方法，讨论一下函数： y a x （0 a 1） 、 y xn （n 0）、 y loga x （0 a 1） 在区间（0,）上的衰 减情况吗？
下面，我们不妨先以 y 2 x , y x 2 , y log2 x
函数为例进行探究。
利用计算器或计算机，以一定的步长列 出自变量与函数值的对应表（表3-5）
，并在同一平面直角坐标系内画出三个函数 的图象（图3.2-4）。可以看到，虽然它们都 是增函数，但它们的增长速度是不同的。
表3-5
练习P119
在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并 比较它们的增长情况：
（1） y 0.1e x 100, x [0,] ； （2） y 20 ln x 100, x [0,] ； （3） y 20x, x [1,10] 。
x
0.2
0.6
1
y 2x 1.149 1.516
2
y x 2 0.04 0.36
1
1.4
1.8
2.2
2.6
2.639 3.482 4.595 6.063
1.96 3.24 4.84 6.76
3
3.4
8 10.556
9
11.56
图3.2-4
20 y
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
x
-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -4
x 象就像是渐渐地与 轴平行一样，尽管在 的一定变化
范围内，x 可能会大于 lo，ga但x 由于 的增长xn 慢于
的增长，lo因ga此x 总存在一个 x，n 当 时，就会有。
x0 x x0
loga x x n
综上所述，在区间 （0,上，）尽管函数
、
和y a（x a 1都）y是增xn函 （ 数n，但1）它y 们 l的og增a长x 速度（不a 同 1，）而且不
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函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型二
我们知道，对数函数 y loga x （a 1），指 数函数 y a x （a 1）与幂函数 y xn （n 0） 在区间（0,）上都是增函数。从上述两个例子可以 看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种 差异的具体情况到底怎样呢？
请在图象上分别标出使不等式 log2 x 2 x x 2 log2 x x 2 2 x
x (0,2) (4,)
成立的自变量 的取值范围 x (2,4)
结论 一般地，对于指数函数 y a x （a 和1）幂函
数 y xn （n 0），通过探索可以发现，在区间（0,）
x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
y 2x
1
1024 1.E+06 1.E+09 1.E+12 1.E+15 1.E+18 1.E+21 1.E+24
y x2 0
100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400
探究
你能借助图象，对 y x2 和 y log2 x 的增长情况进行比较吗？