黑龙江中学高二数学上学期期末考试试题理

大庆中学2016—2017学年上学期期末考试
高二理科数学试题
考试时间：120分钟 分数：150分 命题人:
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分） 1、抛物线x y 42
=上的一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
2、 已知向量()3,1=a ，()m ,2-b =，若a 与b 2+a 平行，则m 的值为（ ） A ． 1 B ． 1- C ． 2- D ． 6-
3、在各项均为正数的等比数列}{a n 中，1a 和19a 为方程016x 10-x 2=+的两根，则=⋅⋅12108a a a （ ）
A. 32
B. 64
C. 64±
D. 256 4、已知椭圆
1532222=+n y m x 和双曲线1322
2
22=-n y
m x 有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A y x 215±
=； B x y 2
15
±=； C y x 43±=； D x y 43±= 5、已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中， 直角三角形的个数是( ) A 4 B 3 C 2 D 1 6、为了得到函数x 2cos 3y =的图像，只需将函数）（2
x 2cos 3y π
+=的图像上每一个点( )
A ．横坐标向左平动
4π个单位长度 B ．横坐标向右平移4π
个单位长度 C ．横坐标向左平移8π个单位长度 D ．横坐标向右平移8
π
个单位长度
7、执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S ＝( ) A.511 B.1011 C.3655 D.72
55
8、抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（ ） A.
167 B. 81 C. 21 D. 16
5
9、已知l 是双曲线12
-4x 2
2=y C ：的一条渐近线，P 是l 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，
若21PF PF ⊥,则21F PF ∆的面积为（ ）A ．12 B. 23 C ．
3
2
4 D ．32 10、已知直线1x 2-y +=与椭圆)0(1x 22
22>>=+b a b
y a 相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在
直线04y -x =上，则此椭圆的离心率为（ ） A.33 B.13 C.12 D.2
2
11、已知直线l 过点）（1,0-，l 与圆()3y 1-x 22
=+：C 相交于A ，B 两点，则弦长22||≥AB 的
概率为( ) A. 33 B. 13 C. 12 D. 2
2
12、设F 1，F 2分别是椭圆)10(1x :22
2
<<=+b b
y E 的左、右焦点，已知点1F 的直线交椭圆E 于
A ，
B 两点，若||2||11BF AF =,x 2⊥AF 轴，则椭圆E 的方程为（ ）
A ．12322
=+y x B ．156x 22=+y C ．145x 22=+y D ． 17
8x 22
=+y
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知椭圆12
m 102
2=-+-m y x ，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于 .
14、函数)(x f ，R ∈x ,满足如下性质：0)()(=-+x f x f ，)4
3()43(x f x f -=+， 3)1(=f 则=)2(f
15、函数给出下列说法，其中正确命题的序号为 . （1）命题“若613πα=
，则2
3
cos =α”的逆否命题； （2）命题R ∈∃0x p ：，使1sinx 0>,则R x p ∈∀⌝：，1sinx ≤； （3）“）（Z ∈+=
k k 22
ππ
ϕ”是“函数若）（ϕ+=x 2sin y 为偶函数”的充要条件；
（4）命题：p “），（2
0x π
∈∃，使2
1
cosx sinx =
+”，命题：q “在ABC ∆中， 若使sinB sinA >则B A >”，那么命题
q p ∧⌝）（为真命题
16、已知抛物线x 4y 2
=：C 的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线C 上一点，且P 在第一象限，
l PM ⊥于点M ，线段MF 与抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为4
3
，则
=|||MN |NF . 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、已知数列}{a n 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ,1a 1=，且23a ，3S ，5a 成
等比数列．
(1)求数列}{a n 的通项公式； (2)设1
-41
b n n S =,求数列}{b n 的前n 项和n T .
18、下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图， 已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，
不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)) (1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数；
(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用 分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？
(3)试估计样本数据的中位数．
19、如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝2
2AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD;
(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．
20、已知向量）
，（x sin x cos ωω=a ，），（x cos 3x cos b ωω=,其中0>ω,函数2
1
-b a x f ⋅=）（, 其最小正周期为π.
(1)求函数）（x f 的表达式及单调减区间；
(2)在ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为其面积, 若12
A f =）（,1b =,3=∆ABC S 求a 的值．
21、已知椭圆)0(1x :2222>>=+b a b y a C 经过点)2
3
1(，M ,1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，1F ，2F 是
C 的两个焦点，32||21=F F ，P 是椭圆C 上的一个动点. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 在第一象限，且4
1
21≤
⋅PF ,求点P 的横坐标的取值范围； (3)是否存在过定点)2,0(N 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，使 090=∠AOB （其中O 是坐标原点）？若存在，求出直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由.
22、已知圆16y 1x :2
2=++）（E ，点）（0,1F ,P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径
PE 相交于点Q .
(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；
(2)若直线）（1-x k y =与(1)中轨迹C 交于R ,S 两点,在x 轴上是否存在一点T ,使得当k 变动
时总有OTR OTS ∠=∠?说明理由.
大庆中学2016—2017学年度上学期期末高二理科
数学答案
一、选择题：BDBDA BADDD BC
二、填空题：13. 8 14. -3 15. 4 16. 10
三、0、(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点， AA 1＝AC ＝CB ＝2
2AB .
(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．
解：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .
(2)由AC ＝CB ＝2
2AB 得，AC ⊥BC .
以C 为坐标原点，CA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→
＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1
，y 1
，z 1
)是平面A 1
CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·CD →＝0，
n ·CA 1
→
＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.
可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 是平面A 1
CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ·CE →
＝0，
m ·CA 1
→
＝0.
可取m ＝(2,1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为6
3.
19、 解：(1)∵月收入在[1000,1500)的概率为 0．0008×500＝0.4，且有4000人，
∴样本的容量n ＝4000
0.4＝10000；
月收入在[1500,2000)的频率为0.0004×500＝0.2； 月收入在[2000,2500)的频率为0.0003×500＝0.15； 月收入在[3500,4000)的频率为0.0001×500＝0.05. ∴月收入在[2500,3500)的频率为 1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.
∴样本中月收入在[2500,3500)的人数为0．2×10000＝2000. (2)∵月收入在[1500,2000)的人数为0．2×10000＝2000，
∴再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500,2000)的这段应抽取100×2000
10000＝20(人)．
(3)由(1)知月收入在[1000,2000)的频率为0．4＋0.2＝0.6>0.5， ∴样本数据的中位数为1500＋0.5－0.4
0.0004＝1500＋250＝1750(元)．。