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数学新课标核心概念的理解
在标准当中设计了十个核心概念,和原来的标准实验稿相比有所增加,有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

1.数感
数感在实验稿里边就提出来,在修订稿里边又进一步明确了数感的含义。

在这里边,有这样两句话,来帮助理解数感。

数感主要是指关于数与数量,数量关系,运算结果估计等方面的感悟。

这是一层含义,是一种感悟,对那些数量、数量关系和估算结果的估计这种感悟。

然后第二句话的含义是建立数感,有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系。

这两层意思都是数感,什么是数感?数感是一种感悟,是对数量、对数量关系结果估计的感悟;第二层意思就是数感的功能。

学习数学是要会去思考问题,一个本质的问题就是要建立数学思想,而数学思想一个核心就是抽象,而对数的抽象认识,又是最基本。

数感的学习,其实是和数的抽象,数的应用相连的。

支撑数感的数学内容有很多,比如说,单位,在一个情景中,碰到一些量,总要选择一个单位来刻画它,这样一种感悟,对建立数量刻画是非常重要的。

对于单位的感觉,对于数量级的感觉,这个是非常重要的。

比如说让学生去体验,去称一个人的重量要用什么单位,称一个铅笔的重量用什么单位,称一头大象的重量用什么单位,选择不同的单位,也是一种数感。

当然在如何培养数感的问题上,老师们在教学中还有很多的工作要去做,数感一定要创造这样一些机会,它不像数的运算,对于基础知识和基本技能,老师们可能更容易去用一种训练的方法来让学生们去学习,而形成数感是一个长期的过程,不是一天两天就能够让学生感受的到的,或者说能够在这方面有很好的感觉,需要在活动当中,逐渐的去积累,对数的这样一种认识。

换句话说要积累相关的经验,所以这点,可能还需要老师在教学当中给予更多的关注。

2.符号意识
关于符号意识,注意到它在用词上,标准的修改稿和实验稿有一个区别,原来是叫符号感,现在把它称为叫符号意识。

因为符号感更多的是感知,是一个最基本的层次。

而符号意识对学生理解要求更高一些。

在标准里边它是这样来表述的,符号意识主要是指能够理解并且运用符号,来表示数,数量关系和变化规律。

就是用符号来表示,表示什么,表示数,数量关系和变化规律,这是一层意思。

还有一层意思,就是知道使用符号可以进行运算和推理,另外可以获得一个结论,获得结论具有一般性。

所以标准上,大概用分号隔开是两层意思,一个是会表示,另外一个进行分开进行推理,得到一般性的结论。

符号意识有助于学生理解符号的使用,是数学表达和数学思考的重要形式。

符号意识在整个学习数学中是很重要的。

首先说,数学有这样的说法,一种是语言,数学的语言,有几个基本的特征,一种是数学的普通话,即通常所说的自然语言,一种是图形语言,这是数学里独特的东西。

另外就是符号语言,作为语言,符号语言是数学里一个完整的东西,某种意义上是一个体系,所以从这个角度来说,提升符号意识,对于学习数学,是非常重要的。

因为符号可以简洁、准确的表达一些东西,交流起来就方便。

如何理解符号的体系?最基本、最熟悉的符号就是数字,是用十个数字加进位,就能把周围世界通常所说的集合元素的多少表达清楚。

所以,当讨论问题的时候,等量关系和不等量关系,包括依赖关系,这些都是数学中最基本的关系,都可以用符号表示。

符号所起的作用,从算术到代数过渡是非常关键的,所以帮助孩子从算术到代数过渡发展的过程中,培养学生的符号意识,是一个非常重要的载体。

到了初中,就刻画一类的问题,方程,一次方程,二次方程,二元一次方程组,它就帮概括出一类的数学问题,使得在研究数学问题的过程中,非常的方便。

同时又为形成模型奠定了基础,无法想象没有符号怎么去刻画模型。

3.空间观念和几何直观
空间观念是原来大纲里有的,现在是在原来的基础上做了进一步的刻画。

具体是这么描述的,空间观念主要是指根据物体特征,抽象出的几何图形,根据几何图形想象出所描写实物,想象出实物的方位和它们的相互位臵关系,描述图形的运动和变化,根据语言的描述,画出图形等等。

这是对于空间观念的一个刻画。

空间观念和几何直观这两个概念,有的时候容易混淆在一起,放在一起介绍,就可以更清楚了解它们之间的联系区别。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题,借助几何直观,可以把复杂的数学问题,变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。

几何直观可以帮助学生直观的理解数学,在整个数学的学习中,发挥着重要的作用。

刚才空间观念,有这么几个纬度。

第一 , 就是图形和实物之间的关系,这是一个很重要的纬度。

第二,就是标准中所刻画的即通常所说的方向感。

关于空间观念是实物和图形之间的关系,是两个方向的关系,这就是说,通过实物,根据实物来抽象出几何图形,这是一个方向。

另外一个就是根据几何图形想象出所描述的实际物体,在这里边一个是抽象,一个是想象,在具体的事物,其实说图形,说几何图形,比如说,长方形、正方形、平行四边形、三角形,在现实世界中,是没有这些图形的,它都是一些具体的实物,你看到一个盒子,你看到一个桌子,说这个盒子的表面是长方形,但是你要想象出,抽象出它的表面是一个长方形,这是一个抽象的过程。

另外一个就是图形的运动。

刚才讲图形的运动,讲图形课程标准这个从实验稿里边,开始加了一些图形的平移、旋转这样的一些运动。

空间观念在某种意义上,是学习几何,当然也包括代数,因为一旦认识纬度,代数里头也有很多的运算对象是高维的,所以对于这样一种理解,也是非常重要的事情。

用最通俗的话说几何直观,就是看图想事,看图说理,就是几何直观,说的挺形象。

为什么要强调几何直观,也从数学最基本的研究对象说起,数学最主要的在中学,进入小学阶段,主要的研究对象,一个就是图形,一个就是数、字母。

该如何从学习图形中获得最大的好处,这是作为数学工作者应该想的一件事情。

引用希尔伯特写的一本书《直观几何》,其中谈到的几个基本观点。

他在序言里头写了这样三层维度。

第一层意思,图形可以帮助刻画和描述问题。

一旦用图形把一个问题描述清楚,就有可能使这个问题变得直观、简单。

第二个层意思,图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路。

第三层意思,图形可以帮助表述一些结果,可以帮助记忆一些结果。

如何帮助学生建立几何直观,第一要充分的发挥图形给带来的好处。

第二,要让孩子养成一个画图的好习惯。

第三,重视变换,让图形动起来,把握图形与图形之间的关系。

第四,要在学生的头脑中留住些图形。

培养几何直观就不会落空,所以这一次加了几何直观能力,加了几何直观这个关键词,对于学习数学来说,是挺重要的一件事情。

4.数据分析观念
数据分析的观念是指:了解在现实生活中,有许多问题应当先做调查研究,搜集数据,通过分析做出判断。

体会数据中蕴含着信息,了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景,选择合适的方法,通过数据分析体验随机性。

一方面对于同样的事物,每次收到的数据可能不同,另一方面只要有足够的数据,就可以从中发现规律,数据分析是统计的核心。

数据是统计学习的一个重要内容,所以对数据的分析是统计的核心知识,这个数据分析观念,就是实际上数据分析观念,主要让学生能够体会到数据的作用,运用数据可以做什么,怎么来做,可能这是通俗一点来说,数据分析观念的一个基本的含义。

当然可能数据分析观念,究竟怎么样让学生去体会其中的,刚才谈到这几个方面,还需要老师们去在教学当中去体会,在教学当中去贯彻。

5.运算能力
运算能力,标准中是这样说的,只要是指能够根据法则和运算进行正确的运算的能力。

培养运算能力有助于学生理解运算,寻求合理、简洁的运算途径解决问题。

运算始终是中小学教学里边非常重要的组成部分,对数的认识,数的运算,一直都占很大的篇幅,另外也是学生学习数学的一个重要的标志。

关于数学的价值取向,数学是不是就是要求运算快,现在引起越来越多的人质疑。

过去的数学求快,现在有了计算机,所有的运算都可以用计算机帮忙实现,我们应该培养学生什么能力,所以在质量监测中,很多人提质疑。

首先要保证学生有足够的时间去做,看看他会
还是不会,这是主要的;第二个补充,运算能力不能仅仅是算个数,应该就是更宽的来考虑这件事情,包括对于运算对象的认识,包括对于为什么要做这个运算,就是这些运算的背景是什么,运算法则和运算规律的、方法的选择,包括运算在哪些地方有用,学运算的目的是要解决一些问题,所以仅仅停留在运算的巧和快,可能误导了对运算的理解。

6.推理能力
推理能力是标准实验稿中就提出的一个核心概念,在修改稿当中,仍然也保留了这样一个核心概念。

经过这几年的实验,老师们对推理能力,应该有了一个比较全面的认识,以往在谈推理的时候,老师首先想到就是演绎推理和逻辑推理,而现在推理能力实际上包含了两个方面。

首先推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活当中,经常使用的一种思维方式,推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理的外延包含了两个大方面,一个是合情推理,一个是演绎推理。

演绎推理是从已知的事实出发,按照一些确定的规则,然后进行逻辑的推理,进行证明和计算。

换句话说,从思维形式的角度,是从一般到特殊的过程,在几何的证明当中,实际上都是这样一种推理形式。

合情推理是从已有的事实出发,评论一些经验、直觉,通过归纳和类比等等这样一些形式,来进行推断,来获得一些可能性结论这样一种思维方式。

和演绎推理不一样的是从特殊到一般这样一种推理,所以合情推理得到的结论,知道不一定是对的,通常可能称之为猜想、推测,是一个可能性结论。

但是合情推理在数学整个发展过程当中,包括在学生学习数学和今后的未来的社会生产实践和生活当中,都是特别重要的。

合情推理进入的视野,并且加以强调。

举两个比较重要的事情来支持这个合情推理的重要性。

第一个就是抽象思维,抽象的过程,是从特殊到一般的过程,从一些实际的例子中,抽象出函数的概念,所以很多重要数学概念的形成过程主要是归纳思维,实际上是抽象的过程,这样一个过程对于概念的认识和理解,是非常重要的。

第二个例子,统计思维最基本的推理方式是归纳,从样本看整体,通过这两个例子,希望的老师重视合情推理。

不要以为合情推理是为演绎推理服务的,这样的理解还是有失偏颇的,概念的形成,定理的得到,是经历了归纳推理的过程,最后才能形成所得到的一些认知。

所以重视合情推理,是在新课程推进中,需要不断强化的一件事情。

推理能力的培养,实际上不仅在几何里,包括数与代数,包括统计概率都有,实际上贯穿在整个数学学习过程当中。

7.模型思想
首先说一下标准的解释,就是模型思想的建立,使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径,建立和求解模型的过程包括,从现实生活或具体情境中,抽象出数学问题,用数学符号,建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律,然后求出结果,并讨论结果的意义。

这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。

这个基本上模型思想概括的比较清楚。

说这个模型的思想引用复旦大学李大潜院士的一段话,他在大学教学指导委员会说过的一段话,他说 20 世纪,中国的数学教育一个很重要的贡献,就是强调了模型,强调了数学建模,推动了数学和实际的联系。

数学有两件事情很重要,一件事情就是解决问题,所以要形成模型;另外一件事,要从实际情境中找到解决问题的模型。

一个是归纳的过程,一个是演绎的过程。

当认识到可以用函数来刻画规律的时候,马上进而就要想,在这个具体情境中,是哪样一个类别的函数,是一次函数,是二次函数,还是反比例函数。

然后要确定是哪一个具体的函数,然后用这个具体的函数,去解决这个问题并对解决的结果进行讨论。

看的结果,是不是符合实际,可能也是通常所说的函数建模的一个过程。

这对于提升解决实际问题的能力一定是非常重要的。

数学本身就是一种构造,没有数学公式在那里摆着,其实很多数学从一开始就要构造一个能够描述模型客观现实的模型,所以说模型思想从某种意义上说,反应了数学的本质。

8.应用意识和创新意识
首先是应用意识,应用意识说白了就是强调数学和现实的联系,数学和其他学科的联系,如何运用所学到的数学,去解决现实中和其他学科中的一些问题,当然也包括运用数学知识去解决另一个数学问题。

创新是一个永恒的主题,作为创新,在各个学科里边,都是要提倡,而数学的创新可能更重要,数学是非常抽象和严谨的,但是同时数学的应用非常广泛,应该体现创新、创造性的应用。

所以说标准里面提出创新意识培养,是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程中,学生自己发现和提出问题是创新的基础,独立思考、学会思考是创新的核心等。

标准说,学生发现和提出问题是创新的基础,独立思考、学会思考是创新的核心,归纳、概括、得到猜想和规律,并加以验证是创新的重要方法。

还有一点,创新意识、创新能力的培养,应从义务教育做起。

从某种意义上,越小的孩子,他越有创新,小孩子的兴趣,小孩子对问题的敏感性,他
李吉林:长大的儿童
教育报记者王珺
走出位于南通老街官地街的家,穿过弯弯曲曲的里弄,在街上遇见的人都用南通话唤她‚李老师‛,她也用南通话同这些阿婆、阿姨们亲切地打招呼。

经过天宁寺,路过南通中学,拐几个弯,过一条马路,就到了她已工作了50多年的南通师范第二附属小学。

这条路她走了50多年,路边的风景不断变换,她亦从18岁的‚老师姐姐‛变成了年逾七旬的‚老师奶奶‛。

街市热闹,她却极少流连,而常常沉醉于某个问题的思考中。

就如她当教师、搞情境教育研究,几十年来从不左顾右盼,因为她‚坚信自己的选择‛。

全国‚五一劳动奖章‛获得者,第七届全国人民代表大会主席团成员,中国教育学会副会长,全国小学语文教学研究会及中国教育实验研究会副会长……
荣誉的光环照亮了李吉林的名字,李吉林却更愿意别人叫她‚长大的儿童‛。

写诗
李吉林说:‚其实教师也是诗人,教师的诗是写在学生心田里的明天的诗。


有一年,两只小鸟飞进了李吉林家的院子,看着它们飞来飞去,衔着树枝枯草在树的枝叶间搭窝造房,已经当了奶奶的李吉林如孩子般兴奋。

她不断提醒小孙子,从树下走过一定要轻一点,千万别惊动了小鸟。

她满怀童心地憧憬着:‚让它们在这小小的庭院里安家落户,我们的家,不就成了小鸟的家吗!‛
让我们将时间的指针回拨再回拨。

初三暑假,李吉林报考了南通女子师范学校,当时的班主任李传椿对她说:‚考师范,当教师,很好。

要知道,教师,也是诗人。

‛怀着这颗诗心,她渴望用情感扇动想象的翅膀,让孩子的思维飞起来,让孩子的心儿飞起来,让他们快乐地飞向美的、智慧的、无限光明的童话般的王国。

从毫无经验的新教师到在语文教学领域崭露头角的青年教师,李吉林教师生涯的第一个十年像一支节奏明快的圆舞曲,有秋的愁思,但更多的却是春的遐想。

憧憬的诗句没有写下多久,阴霾就遮盖了天空。

1966年,伴随着那场灾难性浩劫的开始,李吉林也一夜间成了‚小学里的反动学术权威‛,凄风苦雨下早已没有了写诗的心情与环境。

然而,习惯了向上的灵魂是不甘于沉沦的。

她常默念着三句话砥砺自己:第一句是普希金的‚心憧憬着未来‛,第二句是高尔基的‚我从小就是在和周围的环境不断斗争中长大的‛,第三句是毛泽东的‚人是应该有点精神的‛。

在那个无诗的年代,这些话就成了她写在心里的诗。

当阴霾散去,雨过天晴,李吉林虽已年届不惑,却倍感精神焕发。

铺开白纸,她决意重新写一首诗。

也许她并未料到,这将是一首辉煌的教育诗。

1978年暑假,一直教中高年级的李吉林带着改革的热情向校长请求从一年级教起。

当时普遍单调、呆板、低效的课堂令她忧心忡忡。

结合自己20年来的教学实践和对孩子心理发展的研究,她大胆改变了低年级语文教学以识字为主的传统方法,从一年级上学期就进行大量的‚说一句话‛的训练,3个月后开始‚口头作文‛,下学期进行每天‚写一句话‛的训练,二年级就开始写命题作文和观察日记。

适当增加学习的难度,满足了小学生的好奇心和求知欲,使他们的智力得到了较好的发展。

从外语教学的情景训练中得到启示,又从中国古代文论‚意境说‛中汲取营养,以实践为土壤,探索建立具有中国特色的情景交融的教学模式。

‚情境教学‛的萌芽看似偶然,其实隐藏着必然,其产生和发展是与李吉林的课堂实验、理论学习相生相伴的。

2008年,李吉林首届实验班的学生们从四面八方汇聚南通,为老师庆祝从教50周年纪念日。

那天,走进李老师家的客厅,他们惊喜地看到,长条桌上整齐地摆放着他们小学时的作文本。

他们不会忘记,跟随李老师在开满野花的小河畔寻找蒲公英的清晨,他们也不会忘记,李老师带领大家在濠河边吃着月饼赏月的夜晚。

然而,他们未必知道,为了优选环境,从学校北边的田野、小沟渠到孝光塔、城南的公园桥畔,都留下了李老师的足迹。

他们未必知道,当找到理想的秋天田野典型场景时,李老师何等兴奋,她恨不得见人就说:‚哎,我找到了,明天成了!‛
现在,他们明白了,李老师用辛勤的付出为他们带来快乐的体验,这种体验将观察、思维、想象相结合,进而激发情感,触发语言表达的动机。

现在,他们为当年的自己从什么时候开始变得不怕作文甚至爱上作文这个问题找到了答案。

没错,李吉林的班上没有学生再惧怕作文。

有个男生在日记里写道:‚今天我病了,想到李老师要讲评作文,我听不到了,心里怪难受的。

‛连李吉林也感动不已,原来作文真会
达到一种‚高兴地鸣发内心的感受‛、‚不容自遏地说‛的境界。

1980年春天,李吉林带的这个班出版了一本《小学生观察日记》,她用每人的5元稿费,帮他们买了白球鞋。

二年级下学期,李吉林在作文课上带领学生观察小鸭子,当王许成作为老师的小助手,用事先准备好的饭粒和蚯蚓在全班同学面前喂鸭子时,同学们都有些吃惊——他是个落后的孩子,怎么能做这么有趣的事情?而‚留级生‛王许成也感受着不曾有过的骄傲和自豪。

这个脸色黄黑,父母住在乡下,平时跟着奶奶生活的男孩看上去是个与集体有距离感的孩子。

为了让他丢掉留过两次级的‚包袱‛,尽快赶上同学们的脚步,李吉林在他进班之前就给班里的学生打了‚预防针‛:‚他比我们大两岁,是我们的大哥哥。

‛并想方设法把他的成绩提上去,让他感觉‚我也行‛:容易的问题请他回答;观察日记写得错别字连篇,却表扬他‚完成了作业,很好‛;在作文中会用‚挽着奶奶的胳膊‛表达亲情,就在那行字下用红笔画圈并在班上热情地表扬他的进步……
在李吉林看来,学生都是平等的,对这样的孩子更要注意培养自尊感和自信心。

在李吉林的鼓励、赞赏中,王许成越来越自信了,成绩也有了很大提高。

看到有些学生的家长下岗,曾经也是穷孩子的李吉林担心这些孩子的心理会受到影响,产生自卑情绪,就悄悄地通知了学校里100个‚特困生‛,给他们讲自己童年的故事,并用刚得的奖金为他们每人订了一年《百家作文》杂志,并在春节前送给他们大礼包。

她以教师特有的洞察力关注着每一个孩子,为他们提供情感的支撑。

她说:‚诗人是令人羡慕的,其实教师也是用心血在写诗,那是写在学生心田里的明天的诗。


求索
李吉林说:‚对儿童的爱使我不怕吃苦、不怕麻烦,意志使我体验到作为人的一种力量。

‛为了减轻母亲的负担,早一点给含辛茹苦的母亲带来安定的生活,以优异成绩从南通女子师范毕业的李吉林放弃了考大学的机会,于1956年秋走进女师附小(后更名为南通师范第二附属小学),成为一名小学语文教师。

她本是爱玩的,篮球、排球、羽毛球,样样喜欢,但‚当老师,就当好老师,当孩子喜欢的老师‛,为了达到这个目标,她索性搬到学校来住。

每天清晨5点半起床,在荷花池旁读诗、背诗;晚上吃完饭便埋首于灯下,读教育理论书籍。

她用冷水浴锻炼自己的意志和体格,即使是数九寒天,盆边上的水都结了冰,她也照样坚持。

1958年,初尝教师幸福滋味的李吉林受江苏省教育厅之邀到南京编教材,结识了两位搞文学评论的专家,他们的学识令她仰慕,也更坚定了她读书学习的信念。

她向他们借了许多文学名著,利用晚上、星期天的时间津津有味地读着,在她眼中,书里的世界比南京街头的霓虹灯更绚烂夺目。

1978年初秋,当她得知自己受邀携论文参加江苏省教育学会成立大会,便开始思考写什么的问题。

结合自己的教学实践,她首先想到小学语文教师是可以把孩子教聪明的,便决定围绕这点来写。

恰在此时,她从《光明日报》上读到一篇有关‚发展儿童智力‛的文章,这给她的论题增加了一定的理论支撑。

从一位老师那儿借来一本薄薄的《小学生心理特点》,她便如获至宝,细心研读、摘抄。

‚我觉得自己就如同最常见的丝瓜、扁豆,它们是可以攀援向上的,但是需要棚架的支撑,没有支撑,只能趴在地上,不可能向上攀去,也就结不起多少果实来。

此时我产生了用理论支撑我的经验世界的想法。

‛改革的迫切心情催生了她学习理论的动力,文学的、心理学的、教育学的、美学的、教学论的,中国的、外国的,甚至古代的,各类书籍她都尽力去读。

寒暑假,她谢绝一次次外出疗养的邀请,利用相对集中的空余时间读书。

她的许多感受、认识、主张、思想,便来自这种热切而认真的学习和思考。

在徒弟丁伟的眼里,李吉林是个学习家,从不惮于向名人大家请教。

1980年秋天,李吉林在一次会议上结识了《给教师的建议》的译者杜殿坤。

当时杜教授鼓励她‚应该形成自己的小学语文教学体系。

‛此后每次去上海,她都会去拜访杜教授。

‚杜老师的谈话中总是强调儿童发展,所以我逐渐形成了‘一切为了儿童发展’的理念‛。

他指导李吉林将情境教学发展为一种‚发展性的教学‛。

在1986年完成的《情境教学实验和研究》一书中,李吉林将‚情境教学与儿童发展的关系‛作为一章进行阐述。

杜殿坤常向李吉林介绍一些国外的教改前沿信息,读了杜推荐的有关‚场论‛的文章,李吉林的思想便不断发酵,悟出自己在课堂上创设的情境实际上就是一个‚场‛,以此为认识基础,经过十年的研究和实践感悟,1996年提出情境教育基本原理之一的‚心理场整合原理‛。

向书本学习、向专家学习、向实践学习,李吉林不仅读,而且写,她写随笔、散文,写论文、专著……厚重的理论成果渐渐成为这位在教改路上孜孜求索的小学教师站在讲台上的独特背景。

令人惊叹的是,这些文章大多是李吉林50岁以后写的。

‚那时候写文章,也不知道要。

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