高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》易错题汇编及解析

【最新】高中数学《矩阵与变换》专题解析
一、15
1．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组3
22ax by x y +=⎧⎨+=⎩
.
（1）求此方程组有解的概率； （2）若记此方程组的解为0
0x x y y =⎧⎨=⎩
，求00x >且00y >的概率. 【答案】（1）1112；（2）
1336
. 【解析】 【分析】
（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；
（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】
（1）因为方程组3
22ax by x y +=⎧⎨+=⎩
有解，所以
0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨
⎨⎨===⎩⎩⎩
这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,202223
2b x ax by a b
a b x y a y a b -⎧
=
⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨
⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩
Q 因为00x >且00y >，所以6223
200,022b a a b a b a b
---≠>>--， 因此12,,33
a a
b b =≥⎧⎧⎨
⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为1313
6636=⨯；
【点睛】
本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.
2．用行列式解方程组231
231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪
-+=-⎨⎪-=⎩
，并加以讨论.
【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪
⎪=⎪+⎩
；
当5
2
a =-
时，方程组无解； 当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪
=+∈⎨⎪=⎩
【解析】 【分析】
分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】
()()21312
2510
1
D a a a a
-=-=-+--，()()113
32
11111
x D a a a a
--=--=-+-，()21313
210
1
1
y D a a --=-=---，()211123510
1
z D a a
-=--=-
当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪
⎪=⎪+⎩；
当5
2a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧
⎪+-=-⎪
⎪--=-⎨⎪
⎪---=⎪⎩
，方程组无解；
当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪
-+=-⎨⎪-=⎩
，
方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪
=+∈⎨⎪=⎩
【点睛】
本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.
3．不等式2
1101
x x
b
a x
a
->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】1
2
a =-，1
b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】
将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】
2111
x x
b a x
a
-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，
∵不等式的解为1＜x ＜2，
∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，
由韦达定理可知：11212ab a
b a +⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩
，整理得：2a 2+3a +1＝0，
解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121
a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩
，
故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 1
2
=-，b ＝﹣1． 【点睛】
本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
4．求证：sin cos 1
sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31
x
x x
x x x x
x =-. 【答案】证明见解析
【解析】 【分析】
先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】
sin cos 1
sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x =
-+=sin （-x ）-sin
（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】
本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．
5．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？
【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】
计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】
42
mx y m x my m +=+⎧⎨
+=⎩
244(2)(2)1m D m m m m
=
=-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m m
m
+=
=+-=-
22
(2)(1)(2)1
y m m D m m m m m
+=
=-+=+-
（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】
本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.
6．已知线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；
()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】 【分析】
()1由线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001
012121⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭
， 增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）因为5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．用行列式解关于x 、y 的方程组3
(31)484
mx y m x my m -=⎧⎨
+-=+⎩，并讨论说明解的情况.
【答案】当1m =时，无穷解；当14
m =-
时，无解；当1m ≠且1
4m ≠-时，有唯一解，
441x m =
+，83
41m y m +=-
+. 【解析】 【分析】 先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：
3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩
Q 21
431(41)(1)431m
m D m m m m m -∴+-==-+=+-++，
44431
48x D m m
m -==--+，
()()23
853*******
y m D m m m m m m =
=--+++=-，
①当1m ≠且1
4
m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，
即144(41)4(14)x D m x m D m m -=
==+++-，()()()()83183
41141
y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当1
4
m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】
本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．
8．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
，并对解的情况进行讨
论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案.
【详解】
22242244,2,21
1
y x m m m m D m D m m D m m m
m
m
m
++=
=-=
=-++=
=-
当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解2
12m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.
综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】
本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.
9．解关于x ，y ，z 的方程组()1
213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪
++=⎨⎪-++=⎩
.
【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪
⎪
=⎨+⎪⎪-++=
⎪-++⎩
；（2）2m =或1m =-时，无
解. 【解析】 【分析】
先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.
所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧
=⎪-⎪
⎪
=⎨+⎪⎪-++=
⎪-++⎩
；
（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】
本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解
法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．
10．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
π
αα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
.
（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.
【答案】（1）42,233k k ππππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）23
x k π
π=±，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点． 【详解】
解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
παα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
Q
()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令223
k x k π
πππ-≤+
≤，k Z ∈，求得42233
k x k ππ
ππ-≤≤-，k Z ∈， 则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移到'F
'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，
解得23
x k π
π=±
，k Z ∈.
所以()'f x 的零点为23
x k π
π=±，k Z ∈.
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．
11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝
2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值. 【答案】2
π
θ=
【解析】 【分析】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】
在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)
cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩
，
又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-
即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故
sin 2cos 1
=cos 02sin cos 2
θθθθθ-⇒=+
又(0,)θπ∈，故2
π
θ=.
【点睛】
本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．变换T 1是逆时针旋转2
π
角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；
（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】
试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，再根据相关点法求曲线方程：即先
求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.
试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
， 设x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=
所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换
13．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】
试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
确定：A B ''u u u u r
.因为
，所以1
{
4
x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '， 依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得()1,2A ' 则
．
记旋转矩阵0110N -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵
14．已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程． 【答案】x 2＋y 2＝2 【解析】
试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2
x y '-'
，再代入已知曲线C 方程，得x 2＋y 2＝2．
试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点
Q(x′，y′)．
则1210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'， 即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2
x y '-'
．
代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2
＋2y′2x y '-'＋2(
2
x y '-')2
＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．
考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程
15．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵
1M -．
【答案】1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵
1M -．
【详解】
解：因为02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩
所以4,3x y ==；
矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．
16．已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
. 【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】 （1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-，
于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =.
（2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
17．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，计算5
A α．
【答案】5
307275A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据()0f λ=，得2λ=或3λ=，得到特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，故
()55551212A A A A ααααα=+=+，计算得到答案.
【详解】 因为21
2
()561
4
f λλλλλ--=
=-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．
当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
；
当3λ=时，对应的一个特征向量为211
α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
．
设321211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以()5555
1212A A A A ααααα=+=+ 5521307121311275⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.
18．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
19．已知向量10211
2A ⎡⎤-⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
先求得1
A -u r ，以及其特征多项式()f λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】 设1
A
-u r
a b c d ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r
可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭，
解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1
A
-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+=
=+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα
-=r
，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
20．
已知函数2sin ()1
x x
f x x -=
．
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域；
（2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．
【答案】（1）1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
；（2 【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1）
21()sin cos cos 2)sin 2sin 22232f x x x x x x x π⎛
⎫=+=
++=++
⎪⎝
⎭Q ， 又02
x π
≤≤，得
4
23
33
x π
π
π≤+
≤，
所以sin 21,0sin 2123322x x ππ⎛⎫⎛
⎫-
≤+≤≤++≤+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
即函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域为0,
12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
；
（2）∵2A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
sin 3A π⎛
⎫∴+=
⎪⎝
⎭， 由(0,)A π∈，知4
3
33
A π
π
π<+
<， 解得：2
33A π
π+
=，所以3
A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，
216( c)3b bc ∴=+-．
因为5b c +=，所以3bc =，
1
sin 2ABC S bc A ∆∴==
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．。