1.2.2分段函数导学案

1.2.2函数的表示方法（2）
分段函数与映射
江夏一中袁辉
课前预习学案
一、预习目标：通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题与映射的概念
二、预习内容：在同一直角坐标系中：做出函数)),1((12+∞∈+=x x y 的图象和函数(])1,(42∞-∈+-=x x y 的图象。

思考：问题1、所作出R 上的图形是否可以作为某个函数的图象？
问题2、是什么样的函数的图象？和以前见到的图像有何异同？
问题3、如何表示这样的函数？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标
1．了解分段函数及其简单应用
2．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数
二、学习过程
1、分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
重量级别资费（元）
20克及20克以内 1.50
20克以上至100克 4.00
100克以上至250
8.50
克
250克以上至500
16.70
克
引出问题：若设信函的重量x（克）应支付的资费为y元，能否建立函数)(x
y 的解析式？导出分段函数的概念。

f
通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法
可选例：1.动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方
形ABCD的运动路程为自变量x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式。

2.在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过t秒后，所构成的△ABP面积为S m2，求函数)(t f
S 的解析式。

3.以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。

2、映射的概念
阅读课本P22页，理解映射的概念:一般地，设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系ƒ，使对于集合A中的任何一个元素X，在集合B中都有唯一的元素Y和它对应，那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射(记住)。

点拨：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应关系，缺一不可；
（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。

这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示A到B的映射，符号“f：B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；
（3）集合A中的元素在集合B中一定有元素和它对应，并且是唯一的；但集合B中的元素在A中可以没有元素和它对应，即使有也可以不唯一。

举例：下列对应，哪些是集合A 到集合B 的一个映射（为简明起见，这里的A 、B 都是有限集合）
注：对每个对应都要强调对应法则，集合顺序。

答：由映射定义，上述四图中对应是A 到B 的映射，对应不是A 到B 的映射。

对应法则分别是。

思考：函数与映射的关系？
精讲精练
题型一 分段函数
例1.国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封xg(0<x ≤100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像
例2.作出分段函数21++-=x x y 的图像
变式练习1.作函数y=|x-2|(x＋1)的图像
变式练习2．作出函数|3
x
y的函数图像
=x
-
|2-
2
变式练习3．函数f(x)＝x＋的图象是( )
例3．右图中图象所表示的函数的解析式
为( )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
例4.下图是一辆汽车的速度随时间变化的情况示意图．
(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
(3)如图，如果纵轴换成离家的距离(千米)，横轴表示时间(时)，那么这是一个骑自行车者离家的距离与时间的关系图象．在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑自行车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？
题型二映射的概念
例5.从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射？
①A={P|P是数轴上的点}，B=R,对应法则f:数轴上的点与它代表的实数对应；
②A={三角形}，B={圆}，对应法则f：每一个三角形都对应它的内切圆；
③A={P|P是平面直角坐标系中的点}，{}R
=,
)
(，对
∈
,
R
B∈
x
y
x
y
应法则f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
④A={友好三中的班级}，B={友好三中的学生}，对应法则f：每一班级都对应班里的学生。

变式练习4在映射f:A→B中，
A=B={(x,y)R
x∈
,}且，)
y
y
x
x
→则与A中的元素（-1，
y
f+
-
x
,
)
(
(:y
,
2）对应的B中的元是。

当堂检测
1.若函数f(x)＝则满足f(a)＝1的实数a的值为( )
A．－1B．1C．－2D．2
2.已知符号函数sgn x＝则方程x＋1＝(2x－1)sgn x的所有解之和是( )
A．0 B．2C．－ D.
3．已知f(x)＝则不等式x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5的解集是( )
A. B.C．(－∞，－2) D．(－∞，＋∞)
4.当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？并讨论m为何值时，方程有三个实数根，两个实数根，没有
实数根．
1.2.2函数的表示方法（2）
课后作业学案
一、选择题
1．已知f(x)＝则f[f(－7)]的值为( )
A．100B．10C．－10D．－100
2．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x －y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为( ) A．(1,3)B．(1,6)C．(2,4)D．(2,6)
3．已知集合A＝[0,4]，B＝[0,2]，按照对应关系f不能成为从集合A到集合B的一个映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x－2
C．f：x→y＝D．f：x→y＝|x－2|
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是( )
5．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．－4或－2B．－4或2C．－2或4 D．－2或2
二、填空题
6．函数f(x)＝的值域是________．
7．已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________. 8．已知函数f(x)由下表给出，则f[f(3)]＝________.
三、解答题
9．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y －1)，求A中元素(－1,2)在f作用下与之对应的B中的元素．10．已知f(x)＝g(x)＝求f[g(x)]的函数解析式．
11．设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．
12．画出函数y＝的图象，并根据图象指出函数的值域．
13.已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)判断关于x的方程|x－2|(x＋1)＝a的解的个数．14．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝求f[g(x)]与g[f(x)]．。