2021年高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十一)

2021年高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十一)
一、选择题
1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为
2
2
，则该椭圆的方程为( D )
A.
x 216＋y 2
12
＝1 B.
x 212＋y 2
8
＝1 C.
x 212＋y 2
4
＝1 D.x 28＋y 2
4
＝1 解析：因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝2
2，∴a ＝22，b 2＝a 2
－c 2＝4，故选D.
2．已知椭圆C 的上、下顶点分别为B 1、B 2，左、右焦点分别为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e 等于( C )
A.13
B.12
C.22
D.32
解析：四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则b ＝c ，∴e ＝
2
2
，选C. 3．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a
2
上一点，△F 2PF 1
是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
A.1
2 B.2
3 C.34
D.45
解析：由题可得如图．
|F 1F 2|＝2c ＝|PF 2|，∠PF 2Q ＝60°，
∴|F 2Q |＝c ，∴2c ＝32a ，∴e ＝c a ＝3
4
，故选C.
4．已知圆(x ＋2)2
＋y 2
＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( B )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．
5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP →·FP →
的最大值为( C )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，
则y 2
＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2
04(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →
＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 2
0＋x 0＋3⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－x 2
04＝14
(x 0＋2)2
＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →
取得最大值为6.
6．过椭圆C ：x 2
5
＋y 2
＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若
MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →
，则λ1＋λ2＝( D )
A ．10
B ．5
C ．－5
D ．－10
解析：
特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0)．
MA →
＝(5，0)，AF →
＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →
＝(2＋5，0)． ∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 二、填空题
7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，且点
⎝
⎛
⎭⎪⎫－3，322在椭圆C 上，则椭圆C 的标准方程为________．
解析：由已知椭圆的右焦点为F (3,0)，故c ＝3，则b 2
＝a 2
－9，即x 2a 2＋y 2
a 2－9
＝1，代入
点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3，
322，可求得a 2＝18，b 2
＝9. 答案：
x 2
18
＋y 2
9
＝1 8．设F 1，F 2分别是椭圆x 216＋y 2
12＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，
若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积等于________．
解析：c ＝2，b ＝23，由b >c 得∠P 不能为直角，故△PF 1F 2为直角三角形，只能∠F 1或∠F 2为直角，若∠F 2为直角则F 2(2,0)得P (2,3)
∴S △PF 1P 2＝4×3×1
2＝6.
答案：6
9．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与
椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．
解析：不妨设|F 1F 2|＝1， ∵直线MF 2的倾斜角为120°， ∴∠MF 2F 1＝60°.
∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1. ∴e ＝c
a
＝2－ 3. 答案：2－ 3 三、解答题
10．根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和2
35，
过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3. 解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2
b
2＝1，
则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.
在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2
a
在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2
a
依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2
＝103
.
即椭圆的标准方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 2
10
＝1. (2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2
＝1(m >0，n >0，m ≠n )，
代入A 、B 得
⎩⎪⎨⎪
⎧ 4n ＝11
4
m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝1n ＝1
4
，
∴所求椭圆方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
11．如图，椭圆C ：x 2
a
2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x
轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→
＝F 1F 2→
，AB ⊥AF 2.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：
x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求
椭圆C 的方程．
解：(1)设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→＝(c ，－b )，AB →
＝(x 0，－b ) ∵AF 2→
⊥AB →
，∴cx 0＋b 2
＝0，x 0＝－b 2c
，
由BF 1→＝F 1F 2→
知F 1为BF 2中点，故－b 2
c
＋c ＝－2c
∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即a 2＝4c 2
，故椭圆C 的离心率e ＝12
(2)由(1)知c a ＝12，得c ＝12a ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32a ，0， △ABF 的外接圆圆心为F 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12a ，0，半径r ＝a ，
D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，
所以
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
－12a －32
＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
12．已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2
x －1
2
＋y 2
，
化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)解法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 2
3＝1中，有(3＋4k 2)x 2
＋24kx ＋24＝0，
其中，Δ＝(24k )2
－4×24(3＋4k 2
)＝96(2k 2
－3)>0， 由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k
3＋4k
2，①
x 1x 2＝
24
3＋4k
2.② 又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得
x 1＝－
8k 3＋4k 2，x 2
1＝123＋4k 2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2
，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝3
2
，
所以，直线m 的斜率为－32或3
2
.
解法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)．∵A 是PB 的中点，
∴x 1＝x 22，y 1＝3＋y 2
2
.
又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 22
3＝1， 联立以上四式解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＝2y 2＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＝－2y 2＝0
，
即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以，直线m 的斜率为－32或32.
[热点预测]
13．设F 1、F 2分别是椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的左、右焦点．
(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→
＝－5
4
，求点P 的坐标；
(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．
解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．
设P (x ，y )(x >0，y >0)．则PF 1→·PF 2→
＝(－3－x ，－y )(3－x ，－y )＝x 2＋y 2
－3＝－54，
又x 2
4
＋y 2
＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＝7
4x
2
4＋y 2
＝1
，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2
＝1y 2＝3
4⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1y ＝3
2，P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，
32. (2)显然x ＝0不满足题设条件．可设l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4
＋y 2＝1y ＝kx ＋2
⇒x 2
＋4(kx ＋2)2
＝4
⇒(1＋4k 2
)x 2
＋16kx ＋12＝0 ∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2
由Δ＝(16k )2
－4·(1＋4k 2
)·12>0
16k 2－3(1＋4k 2)>0,4k 2－3>0，得k 2>3
4
.①
又∠AOB 为锐角⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →
>0， ∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2>0
又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2
x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2
)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2
)·121＋4k 2
＋2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4
＝121＋k
21＋4k
2
－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝44－k 2
1＋4k
2
>0
∴－14
<k 2
<4. ②
综合①②可知34<k 2<4，∴k 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2. -36489 8E89 躉Z7vC'37913 9419 鐙f39530
9A6A 驪Q21308 533C 匼l25049 61D9 懙。