高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲空间向量及其运算练习理新人教A版

【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几
何 第5讲 空间向量及其运算练习 理 新人教A 版
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.异面
D.相交但不垂直
解析 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，
∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点.∴AB ∥CD .
答案 B
2.空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( )
A.AE →·BC →＜AE →·CD →
B.AE →·BC →＝AE →·CD →
C.AE →·BC →＞AE →·CD →
D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较
解析 取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綉12
CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，因为AE →·BC →＝0，∴AE →·CD →＜0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →.
答案 C
3.(2016·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18
OC →，则A ，B ，C ，P 四点( ) A.一定不共面
B.一定共面
C.不一定共面
D.无法判断
解析 因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18
＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面. 答案 B
4.已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )
A.－1
B.43
C.53
D.75
解析 由题意得，k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2).所以(k a ＋b )·(2a －b )
＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75
. 答案 D
5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，
则AE →·AF →的值为( )
A.a 2
B.12a 2
C.14a 2
D.34
a 2
解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，
则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.
AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12
c ，
∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12
c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14
a 2. 答案 C
二、填空题
6.(2016·衡阳模拟)已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________.
解析 由题意知c ＝x a ＋y b ，
即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，
解得λ＝－9.
答案 －9
7.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________.
解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10.
即2a ·c ＋b·c ＝－10，又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12
，
∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
答案 60°
8.(2016·徐州模拟)已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，
2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是__________. 解析 ∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)，
则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
QA →·QB →
＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝
6⎝
⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43，83 三、解答题
9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.
(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c .
(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.
解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )，
∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2
＝3|m |＝3，
∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).
(2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，
∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝（－1）2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－110
＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010
. 10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，
(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；
(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .
证明 (1)CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，
可以证明CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13
CA 1→，∴CG →∥CA 1→，又CG →与CA 1→有公共点C ，即A 1，G ，C 三点共线.
(2)设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，
∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，
∴CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0，
因此CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1，同理CA 1⊥BD ，
又BD 与BC 1是平面BC 1D 内的两相交直线，故A 1C ⊥平面BC 1D .
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )
A.c ∥d
B.c ⊥d
C.c 不平行于d ，c 也不垂直于d
D.以上三种情况均有可能 解析 由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面.
∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面.∴c ⊥d .
答案 B
12.在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( )
A.－1
B.0
C.1
D.不确定
解析 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，
则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )
＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.
答案 B
13.(2016·北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1的棱长为1，
若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________.
解析 如图所示，由题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0，1]，DC →·AP →＝AB →·(AB
→
＋BP →)
＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →)＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈[0，1].因此DC →·AP →的取值范围是[0，1].
答案 [0，1]
14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：
(1)EF →·BA →；(2)EG 的长；
(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值.
解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .
则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，
(1)EF →＝12BD →＝12c －12
a ，BA →＝－a ，DC →＝
b －
c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14
， (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12
c ， |EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22
. (3)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12
a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23， 由于异面直线所成角的范围是⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。