sx1208公理化方法

专题8 公理化方法的四个发展阶段
每一科学理论包括一组概念和一组真的命题。

当对某一概念的涵义有疑问时，我们就通过另外一些概念来刻划它，这就是定义。

同样，当对某一命题的真实性有疑问时，我们就从其他一些已知为真的命题根据演绎推理的规则把它推演出来，这就是证明。

在数学中，一般要求概念都要是明确定义了的，命题（定理）都要是经过证明的。

但是，定义和证明必须有它们的出发点，否则就会发生“恶性循环”。

因此，我们必须选出少数不加定义的概念和不加证明的命题作为出发点。

这些不加定义的概念，称为原始概念；由原始概念定义的概念，称为定义概念。

不加证明的命题，称为原始命题或公理；从公理推演出来的命题，称为定理。

公理化方法就是运用严格的逻辑演绎规则，从原始概念和公理出发，定义其他一切概念，推演出其他一切定理，从而建立理论体系的方法。

从历史上看，公理化方法的发展大体上经历了四个阶段：实质公理系统，从实质公理系统向形式公理系统的过渡，形式公理系统，以形式系统为研究对象的元数学。

一、实质公理系统
1．希腊：公理化方法的开端
希腊人建立公理化的演绎数学体系的主要历程
⑴泰勒斯 (Thales，约 624～547 B.C.)，把“证明”引入数学
泰勒斯是古希腊哲学、科学鼻祖，他所创立的爱奥尼亚学派是古希腊哲学、科学思想的源头。

他认识到数学需要证明，并最早给出一批数学命题的证明。

这是使数学由经验上升到理论的最早努力，真正意义上的数学科学由此发端。

⑵毕达哥拉斯 (Pythagoras，约 572─497 B.C.)，发展证明思想与方法
命题的逻辑证明。

注意到数学证明的逻辑顺序。

对数与图形的广泛研究。

不可通约量的发现。

⑶希波克拉底 (Hippocrates of Chios，公元前 5世纪)，引入“公理”的思想
⑷柏拉图 ( Plato) 学派 (活跃于公元前 4世纪)，发展公理及证明方法
圆锥曲线：梅内克莫斯 (Menaechmus，公元前 4世纪) ，因研究倍立方体问题而引入，用三种圆锥 [直角，锐角，钝角的] 及垂直于锥面一母线的平面截割生成。

不可通约量的分类：泰阿泰德（Theaetetus），收入欧几里得《原本》第十卷。

在二次幂中可通约的不可通约量；在二次幂中不可通约的不可通约量。

对五种正多面体的研究：收入欧几里得《原本》第13卷。

公理化方法及证明方法的发展。

⑸攸多克色斯（ Eudoxus，约 408～355 B.C.），量的公理，用公理化方法重建比例理论
①借助于五条公理建立了量的概念。

②引入了对等公理（Eudoxus-Archimedes公理) ：如果能把两个量 a、b 的任一量倍增后超过另一个量，则 a、b 有一个比。

⑹亚里士多德 ( Aristotle，384～322 B.C.)，逻辑学
对公理体系的进一步讨论。

对无穷的讨论。

创立逻辑学。

⑺欧几里得 (Euclid，约 330～275 B.C.)，《原本》，实质公理系统
第 1篇中的部分定义：1.点是没有部分的那种东西。

2.线是没有宽度的长度。

3.一线的两端是点。

4.直线是同其中各点看齐的线。

5.面是只有长度和宽度的那种东西。

6.面的边缘是线。

7.平面是与其上直线看齐的那种面。

…… 15.圆是包含在一 (曲) 线里的那种平面图形，使从其内某一点联到该线的所有直线都彼此相等。

16.于是那个点便叫圆的中
心。

…… 23.平行直线是这样一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交。

公设。

1.从任一点到任一点作直线 [是可能的] 。

2.把 [有限] 直线不断循直线延长 [是可能的] 。

3.以任一点为中心和任一距离 [为半径]作一圆 [是可能的] 。

4.所有直角彼此相等。

5.•若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角, 则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理。

1.与同一个量相等的一些量, 它们彼此也是相等的。

2.等量加等量, 总量仍相等。

3.等量减等量，余量仍相等。

4.彼此重合的东西是相等的。

5.整体大于部分。

大多数古希腊数学家和哲学家把“公设”和“公理”加以区别。

至少有三点区别是各方面都赞成的：①公理是关于某事物的自明的、假定的陈述；公设是某事物的自明的、假定的作图. 这样, 公理和公设之间的关系就很象定理和作图问题之间的关系。

②公理是对于所有科学通用的假设; 公设是所研究的特殊科学所特有的假设。

③公理是对于学习者既明显又可接受的假设; 公设是对于学习者既不一定明显又不一定可接受的假设。

这一条实际上是亚里士多德 (Aristotle ) 所作的区别。

欧几里得《原本》的基本结构和大致内容
定义；公设，公理；命题。

第 1～4篇：平面几何，其中第 2篇为几何的代数；第 5篇：比例论；第 6篇：相似形，包含一些属于代数的内容；第 7～9篇：数论；第10篇：不可通约量的分类；第11～13篇：立体几何与穷竭法。

平面几何：第 1～6篇；立体几何：第11～13篇；比例论：第 5篇；数论：第 7～9篇；不可通约量：第10篇；代数：第 2篇及第 6篇的一部分；穷竭法：第12篇。

按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理系统，称为实质公理系统。

实质公理系统的论域必须先于公理而具体给定，并且是唯一的，然后引入初始概念以表示该论域中的对象，建立公理以刻划这些对象的根本特点，借助演绎推理来证明该论域中的真理。

这种公理系统是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性。

例：欧几里得几何，皮亚诺(Peano) 自然数公理系统，牛顿力学。

2．欧几里得几何公理体系的不完备性
⑴连续。

例：欧几里得《原本》第 1篇第 1命题：“在一给定直线 (段) 上作一等边三角形。

”欧几里得的作法是，以给定线段为半径，分别以该线段的两个端点为圆心作圆弧交于该线段一侧，作交点与两个端点的联线就得到所需的等边三角形。

但是，欧几里得没有意识到，这一作图的有效性是依赖于圆弧的连续性的，而在他的公理体系中并没有涉及这一性质的公理，只能依靠直观。

⑵顺序。

F.克莱因 ( Felix Klein) 在他的名著《高观点下的初等数学》第 2卷中曾经给出并讨论了如下悖论：“每一个三角形都是等腰的。

”
⑶合同。

例：欧几里得《原本》第 1篇中证明两三角形全等时所用的方法。

3．希腊人为什么要用公理化方法研究数学？
哲学背景。

政治及社会背景。

二、从实质公理系统向形式公理系统的过渡
1．非欧几何
双曲几何；椭圆几何。

非欧几何的创立，从根本上动摇了认为几何公理能够凭其表面的自明性而成立的传统观念，不仅为公理化方法的发展和完善奠定了基础，推动了几何基础理论中关于相容性、独立性、极小性和完备性等根本问题的研究，而且为公理化方法可以推广和建立新的数学理论提
供了依据，推动人们把公理化方法当做普遍的科学方法加以研究。

非欧几何的建立标志着从实质公理系统向形式公理系统的过渡，表明人们的认识已经从直观空间上升到抽象空间。

用模型方法证明非欧几何的相对无矛盾性，破除了“一个公理系统只有一个论域”的传统观念。

2．射影几何与度量几何
经过射影而不变的空间性质叫做射影性质，研究射影性质的几何叫做射影几何。

庞斯列 (J.-V. Poncelet，1788 — 1867，法国）。

《论图形的射影性质》（1822）
经过射影而改变的空间性质叫做度量性质，研究度量性质的几何叫做度量几何。

开始时射影几何被认为是欧氏几何的一部分。

19世纪40年代，射影几何与欧氏几何的区别已逐渐清楚。

当时一个重要问题是如何建立一个独立的射影几何系统，从而把射影几何的特征进一步明确起来。

冯·施陶特（G.C.von Staudt，1798—1868，德) 在《位置的几何学》 (1847) 中试图不引入度量概念而只用关联公理来建立射影几何，但他不自觉地引用了一些顺序关系；作为基础研究，他的工作还很不成熟。

从19世纪50年代到70年代，通过拉盖尔（guerre，1834—1886，法）、凯莱（Arthur Cayley，1821—1895，英）和克莱因 (Felix Klein ，1849—1925，德）等人的工作，已经可以在射影性质的基础上来陈述和定义度量性质，角度和长度，可知射影几何在逻辑上更为根本。

因此凯莱说，“度量几何是射影几何的一部分”。

克莱因 (Felix Klein ，1849 — 1925，德国) 《关于现代几何学研究的比较考察》（即《Erlangen纲要》，1872）。

19世纪80年代，随着数学严格性要求的逐渐提高以及实数理论的确立，构造一个射影几何系统的条件已经成熟。

帕什（Moritz Pasch，1843—1930，德）在《新几何学讲义》（1882）中明确了射影几何隐含着的全部公理，关于“在……之间”的一组顺序公理是他首先提出的。

同时，他从理论上提出了形式公理的思想。

他在这本书中明确指出；“几何学如果要成为一门真正的演绎科学，最根本的是，推导的进行必须完全独立于几何概念的涵义，同样地也必须不以图形为依据，我们所考虑的只能是被命题或定义所确定的那些几何概念之间的关系。

”他认为，一公理系统必然要有在本系统里无定义的概念，即原始概念。

原始概念的全部特征必须由公理表达出来，公理可以说就是原始概念的隐定义。

除公理外，如果还要用到与推导有关的性质，这就等于说，公理还不完全，还没有完全公理化。

在这里，他非常清楚地说出了形式公理系统的特征。

三、形式公理系统
希尔伯特 (D.Hilbert)：《几何基础》 (1899)
与实质公理系统相区别，形式公理系统不预先给定任何论域，初始概念在引入公理之先是不加定义的，公理可以看成是初始概念的定义 (称为“隐定义”) ，对初始概念经过不同的解释，•一个形式公理系统可以有许多论域。

例如布尔代数 (逻辑代数) ，它的论域在一种解释下是类，在另一种解释下是命题，也可以解释为电路上的点。

希尔伯特几何公理体系
Ⅰ. 1 — 8. 关联公理 (结合公理，从属公理)
Ⅱ. 1 — 4. 顺序公理 (次序公理)
Ⅲ. 1 — 5. 合同公理 (全合公理，全等公理)
Ⅳ. 平行公理
Ⅴ. 1 — 2. 连续公理
在给出了上述五组共20条公理之后，首先要解决的逻辑理论问题是公理系统的相容性(无矛盾性，一致性) 问题。

希尔伯特在实数算术理论中为欧氏几何构造了一个模型，这实际上就是笛卡尔 (Descartes)几何，在这个模型中上述五组公理都真。

因此，如果实数算术是相容的，则欧氏几何也是相容的。

这个结果证明了欧氏几何对实数算术的相对相容性。

其次
需要解决的是公理的相互独立性。

希尔伯特还是利用模型方法作出了证明。

如果能够给出一个模型，使得对这个模型而言某一公理为假而其他公理皆真，则这条特定的公理就独立于其他公理。

例如希尔伯特用克莱因的一个非欧几何模型说明了平行公理独立于其他公理。

与欧几里得《原本》相比，希尔伯特《几何基础》中的公理化方法有了重大改变和发展。

首先，《几何基础》已经发展为一个形式公理系统。

在《原本》中，点、线、面都有定义；在《几何基础》中，这三个概念既没有定义，也没有直观的解释。

这是形式公理方法的特征。

当然，形式公理系统并非不要内容，一切用作推导根据的必要内容都应该明确地提出，作为公理出现；一切与推导无必然联系的内容都应该舍去。

正是由于原始概念没有直观的具体内容，这个系统才可以有各种不同的解释或模型。

其次，与欧几里得《原本》相比，《几何基础》中的公理系统已大为完备了。

希尔伯特舍去了《原本》中不必要的公理和公设，将这两类原始命题统称为公理，并增加了顺序、合同与连续三组公理，这些公理或者是Euclid当时没有察觉的，如顺序公理，由帕什在研究射影几何基础时于1882年首先提出；或者是当时根本没有可能提出的，如合同公理与连续公理，前者涉及到对空间一般性质特别是空间弯曲问题的认识，这个问题只有在非欧几何出现后才真正为人们所关注，而后者必须在实数理论建立之后 (1872年，戴德金、康托尔、外尔斯特拉斯) 才有可能被提出作为几何公理。

第三，在逻辑理论方面，《几何基础》发展了求模型的方法。

这种方法是在非欧几何的发展中首先使用的，可以证明公理系统的相对无矛盾性，也可以证明某一公理对其他公理的独立性。

《几何基础》一书出版后，形式公理方法得到进一步发展，数学各个分支的公理化相继完成，各种不同的形式系统不断建立，例如，命题演算，谓词演算，公理集合论，概率论，近世代数等。

四、以形式系统为研究对象的元数学的建立
希尔伯特认为，为了在数学中避免出现悖论，就要设法绝对地证明数学的无矛盾性，使数学奠定在严格的公理化的基础上。

为了实现这一目的，希尔伯特在1922年提出了著名的计划：将各门数学形式化，构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系统的无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。

希尔伯特认为，数学中完全可靠的部分是指这样一些内容：它们只涉及在可考察的具体对象域中进行的机械推理，数学符号被看成是具体对象在纸上的记号。

仅仅涉及到数学中这些部分的命题被看成真实的 (real) 命题；所有其他的数学命题则被认为是理想的 (ideal)命题，•如射影几何中的理想点与“无穷远”直线。

从而，希尔伯特的真实命题就相当于逻辑实证主义的“可证实命题”，而理论命题严格说来则是无意义的。

希尔伯特的形式主义纲领的核心目标是用绝对具体和无可指摘的方法证明理想命题—康托尔 (Cantor) 的集合论 (经过了适当修正以排除所提及的悖论) 就是特例—的经典用法永远不会在真实命题中导致谬误。

简单地说，其目标是证明经典数学的相容性。

希尔伯特确立经典数学相容性的方法是把它表示成一个不具有意义的符号的纯形式系统、并且证明这一系统中的任一证明都不会导致诸如 0＝1 这样的荒谬结论，后者又可以通过用真实的、具体的证明取代关于真实命题的每一 (理想的) 证明而实现。

由于显然不存在关于（假的）真实命题 0＝1 的具体证明，由此即可引出经典数学是相容的结论。

希尔伯特区分了三种数学理论：⑴直观的非形式化的数学理论；⑵将第一种数学理论形式化，构成一个形式系统，把直观数学理论中的基本概念转换为形式系统中的初始符号，命题转换为符号公式，推演规则转换为符号公式之间的变形关系，证明转换为符号公式的有限序列；⑶对第二种数学理论的描述与研究，称为“元数学”、“证明论”或“元理论”。

元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义，也包括对形式系统性质的研究。

形式系统的提出是公理学发展史上的最重要的转折点，它标志着元数学的建立。

从此，数学的发展进入了研究形式系统的新阶段。

应当指出，形式系统与形式公理系统不是一个概念。

一个形式系统也是一个公理系统，但与形式公理系统不同。

在形式公理系统中，逻辑概念还有意义，命题还表现为某种逻辑结构，从命题到命题的推导还是真正的逻辑推理。

所以，形式公理系统还不是一个完全形式化的公理系统。

但是，在形式系统中，概念都成了符号，命题都成了公式，推导都成了公式的变形，一切意义全都抽象掉了，只是在参照一定的论域作了解释之后才获得意义。

因此，形式系统是一个完全形式化了的公理系统。

形式主义，作为希尔伯特 ( D.Hilbert，1862 — 1943，德国) 思维的产物，旨在把数学化归为形式符号的操作，从而为数学提供一个新的基础。

一旦实现了这一目标，数学家们就可以自由地漫步于 (如希尔伯特所说的) “康托尔的伊甸乐园”，而无须再害怕突然落入“矛盾的地狱”。

然而，在1931年，奥地利逻辑学家哥德尔 ( K.Godel，1906—1978) 却证明了他的著名的不完全性定理，指出，不可能应用元数学来证明任何内容丰富到足以包含基本算术的形式公理系统是无矛盾的，从而粉碎了希尔伯特纲领。

可是，到这个时候，集合论与形式主义已经是数学中很重要的一部分，以致不再能仅仅因为证明了形式主义的基本目标不能达到而被抛弃。

五、关于公理系统的几个问题
1．等价性：P
1和P
2
两个公理系统被说成是等价的，如果每一个系统蕴含另一个，即：如果
在每一个系统中的原始项能由另一个系统中的原始项定义，并且，如果每一个系统的公理均可由另一个系统的公理导出。

等价公理系统的思想起源于古代，对欧几里得平行公设不满意的几何学家们，早就试图以一个较为易于接受的等价物来取代它。

对欧几里得几何的现代研究，连同它们的各种各样的、十分不同的公理集，清楚地表明：公理系统决不由所讨论的课题唯一地确定，它还与选取什么概念作为不加定义的概念、选取什么陈述作为不加证明的陈述有关。

2．相容性 (无矛盾性，一致性) ：一个公理集被说成是相容的，如果彼此矛盾的陈述不同时被该公理集蕴涵。

相容性是公理系统的最重要、最基本的性质；没有这个性质，公理系统就根本没有意义。

这是因为：如果某陈述 A和与之矛盾的陈述非 A都能被证明，则任何陈述 B都能被证明。

已发现的、用来证明一个公理系统的相容性的最成功的方法是模型法。

一个公理系统的模型是这样得到的：为该公理系统的原始项规定意义，从而把公理转变为关于某概念的真命题。

有两种类型的模型—具体的模型和理想的模型。

一个模型被说成是具体的，如果给原始概念规定的意义是从现实世界选来的对象和关系；一个模型被说成是理想的，如果给原始概念规定的意义是从其他公理系统选来的对象和关系。

在一个具体的模型已被展示之处，我们认为：我们已经证明了我们的公理集的绝对相容性；因为如果公理系统蕴涵矛盾的陈述，则对应的矛盾的陈述会在我们的具体模型中出现。

但在现实世界中是不可能有这样的矛盾的。

为给定的公理系统安排具体模型，并不总是行得通的。

例如，如果公理集包括无穷多个原始元素，具体模型就肯定是不可能的，因为现实世界看来不包括无穷多个对象。

在这类场
合，我们就建立理想模型：例如用另一个公理系统 B的概念来定义公理系统 A的原始概念，此时系统 A的公理的解释是系统 B的公理的逻辑推论。

但是，现在我们不能再宣称对公理系统 A的相容性检验是绝对的检验，而只能说是相对的检验了。

我们所能断定的仅仅是：如果公理系统 B是相容的，则公理系统 A也是相容的。

实际上我们把系统 A的相容性归结为另一个系统 B的相容性。

3．独立性：一个公理集的一个公理被说成是独立的，如果它不是该公理集的其他公理的逻辑推论；整个公理集被说成是独立的，如果其每一个公理是独立的。

对给定公理集中的一条公理的独立性的检验是完成如下过程：为该公理集的原始项找一种解释，它证伪所考虑的公理，同时证实其余每一条公理。

4．范畴性：公理集 P，连同由它推演出的数学分支，被说成是范畴的，如果 P的每两种解释是同构的。

公理集的范畴性通常依靠证明该公理集的任何解释与某给定的解释同构来建立。

此程序已被应用于希尔伯特为欧几里得平面几何安排的公理集。

已经证明：希尔伯特公理集的任何解释都同构于由笛卡尔解析几何提供的代数解释。

双曲平面几何也已被证明是范畴的系统。

5．关于完全性 (完备性) ：哥德尔不完全性定理
除了相容性以外，形式系统的完全性是元数学所关心的最重要的问题。

人们希望形式化公理系统能够包括一个直观理论的所有真命题。

以逻辑规律为对象的公理系统更需要完全，只有在逻辑规律完全的条件下，我们才能判明，以这样的逻辑系统为工具的数学系统，如果是不完全的，其问题的根源所在。

就逻辑系统而言，命题演算的完全性已在1921年由波斯特(E.L.Post，1897～1954，波兰 -美国) 证明。

1928年 9月希尔伯特在波伦亚举行的国际数学家大会上作关于数学基础的报告时，把数论公理系统的完全性作为第四个问题提出。

哥德尔于1929年秋完成了以上述问题命名的博士论文，1930年发表了一篇修改稿《逻辑谓词演算公理的完全性》，其中证明了著名的哥德尔完全性定理：
“定理Ⅰ. 狭义谓词演算的每一有效公式都可证。

”
这个重要定理只是从理论上证明了狭义谓词演算的完全性，由于无法能行地判定狭义谓词演算公式的有效性，此定理不能提供证明有效公式的方法。

这篇论文还证明了以下两个重要定理，其一是比定理Ⅰ较强的结果：
“定理Ⅱ. 狭义谓词演算的任一公式或者是可以否证的，或者是可以满足的 (而且是在可数个体域中可满足) 。

”
另一个是文中的定理Ⅹ，即现在所谓的紧致性定理：
“定理Ⅹ. 一可数无穷多公式的系统是可满足的当且仅当每一有限子系统是可满足的。

”
哥德尔完全性定理对于希尔伯特方案是一个有力的支持，因为它表明了希尔伯特所依据的逻辑基础是既可靠又完全的一门独立的数学理论。

哥德尔完全性定理在谓词演算的语法概念 (形式系统) 与语义概念 (数学模型) 之间架起了一座桥梁，也就是在形式系统与数学模型之间架起了一座桥梁。

它是当代模型论的基本定理之一，由它导出了一系列重要结果。

获得了完全性定理之后，哥德尔进一步研究希尔伯特方案，希望用有限方法证明数学形式系统的相容性问题，主要是关于算术、分析和集合论等系统的相容性问题。

1930年 8月26日，哥德尔向卡尔纳普 (R. Carnap，1891 — 1970，德国) 等人通报了他的不完全性结果。

1930年 9月 7日，•他在柯尼斯堡召开的数学讨论会上第一次正式公布了他的不完全性定理，同年10月•23•日在维也纳科学院也报告了他的结果。

1931年，他的论文《 PM 及有关系统中的形式不可判定命题》正式发表。

哥德尔不完全性定理：
⑴一个包括初等数论的形式系统 P，如果是相容的，那么就是不完全的。

这被称为第一不。