天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

2023-2024（2）高一年级数学试卷（100分钟）
一､单选题（共36分）
1. 若为实数（为虚数单位），则实数（ ）
A. B. 2
C. D. 1
【答案】D 【解析】
【分析】利用复数的运算结合虚部为零可得.
【详解】，因为
为实数，故，得．故选：D ．
2. 下列说法错误的是（ ）
A B. ，是单位向量，则C. 若，则D. 两个相同的向量的模相等【答案】C 【解析】
【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A ，，故A 正确；
对于B ，，是单位向量，则，故B 正确；对于C ，若，则不能比较大小，故C 错误；
对于D ，两个相同的向量的模相等，故D 正确.故选：C .
3. 已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）A. 若，，则 B. 若，，则.
i
1i a ++i =a 2-1
-()()()()()i 1i 1i
i 11i 1i 1i 22
a a a a +--++==+++-i
1i
a ++10a -=1a =CD DC
= 1e 2e 12
e e = AB CD > AB CD > CD DC =
1e 2e
121e e == AB CD > ,AB CD
m αβm β αβ∥m α
m β⊥αβ⊥m α
C. 若，，则
D. 若，，则【答案】D 【解析】
【分析】利用直线与平面的位置关系的判定和性质即可选出正确答案.【详解】选项A ：根据给定条件有 或；选项B ：根据给定条件有 或；
选项C ：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m 在α内；
选项D ：因为，所以存在直线使得，又因为，所以，因为，所以.
故选：D.
4. 在中，若，则的值等于（ ）
A.
B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】
由正弦定理可得,则可设,,,再利用余弦定理求解即可【详解】由正弦定理可知,不妨设,,,
则由余弦定理可得,
故选:D
【点睛】本题考查由正弦定理处理边角关系,考查利用余弦定理解三角形
5. 已知平行四边形，满足，则四边形一定为（ ）．
A. 正方形
B. 矩形
C. 菱形
D. 等腰梯形
【答案】B 【解析】
【分析】根据数量积的运算律得到，从而得到，即可判断.
m β αβ⊥m α⊥m β m α⊥αβ
⊥m α m α⊂m α m α⊂m αm β '
m β⊂'m m m α⊥'m α⊥'m β⊂αβ⊥ABC sin :sin :sin 2:3:4A B C =cos C 1
3
16
-
112-
14
-
::2:3:4a b c =2a k =3b k =4(0)c k k =>::sin :sin :sin 2:3:4a b c A B C ==2a k =3b k =4(0)c k k =>22222249161
cos 22234
a b c k k k C ab k k +-+-===-⨯⨯ABCD AB AD AB AD +=-
ABCD 0AB AD ⋅=u u u r u u u r
AB AD ⊥
【详解】因为，所以，
即，
所以，即，即，
所以平行四边形为矩形.故选：B
6. 各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
【分析】利用正四面体的结构特征及其内切球、外接球半径关系、空间几何体的体积公式计算即可.【详解】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，
设正四面体的内切球半径为r ，外接球半径为R ，四面体各面面积为S ，
则由四面体的体积得，所以四面体的内切球和外接球的体积之比为，
故选:A.
7. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】结合正方体的结构特征找到直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.【详解】连接，在正方体中，平面，
棱的中点为，则平面，而平面，故
，
AB AD AB AD +=
-
22
AB AD
AB AD +=- 222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+
0AB AD ⋅=u u u r u u u r
AB AD ⊥ AB AD ⊥ABCD 1:271:9
1:3
9:1
()11
4333
V Sr S R r R r =⨯=+⇒=33
44π:π1:2733
R r =1111ABCD A B C D -11,BC A B E F EF 11ABB A EF 11ABB A FB 1111ABCD A B C D -BC ⊥11ABB A BC E BE ⊥11ABB A BF ⊂11ABB A BE BF ⊥
则即为直线与平面所成角，设正方体棱长为2，则，
则
故，故选：C
8. 在中，角，，的对边分别为，，，
若，，则是（
）A. 钝角三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B 【解析】
【分析】由和正弦定理可得，即，又
，即可判断是等边三角形
【详解】由及正弦定理可得，得
，
故（舍去）或，即，又，所以，因
，得，故，故是等边三角形，故选：B
9. 如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
EFB ∠EF 11ABB A 1BE ,BF ====EF =
=sin BE EFB EF ∠===
ABC A B C a b c cos cos b b C c B =⋅+⋅tan A =ABC cos cos b b C B =+2πB C +=A B =tan A =π
3
A =ABC cos cos b b C c
B =+sin sin cos sin cos B B
C C B =+()sin sin B B C =+B B C =+πB B C ++=2πB C +=πA B C ++=A B =tan A =()0,πA ∈π
3A =π3
A B C ===ABC ABCD APD ⊥ABCD P AD P BCD -P BC D --
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解.【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比，故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.
点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方
向，建立空间直角坐标系.
平面显然有法向量，
，
设为平面的法向量，
则该向量与和均垂直，
所以，从而令，解得，
故符合条件，
显然二面角
为锐角，
.
P BCD -P BCP BCD P BCD -P BCD P BCD -P P AD O ,,AB AD OP
,,x y z BCD ()0,0,1m =
()()()0,0,1,2,1,0,2,1,0P B C -(),,n x y z =
PBC ()2,1,1PB =-- ()2,1,1PC =-
0n PB n PC ⋅=⋅=
220x y z x y z --=+-=1x =0,2y z ==()(),,1,0,2n x y z == P BC D --
因此所求余弦值为.故选：D.
二､填空题（共24分）
10. 设是虚数单位，复数
，则______.【答案】5【解析】
【分析】根据复数乘法运算及共轭复数的概念，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】因为，所以，所以.
故答案为：.
11.
如图，空间四边形的所有棱长为1，D 、E 分别是棱的中点，则与所成角为__________
【答案】【解析】
【分析】借助等角定理作的平行线可得等于与所成角，再结合边长，借助余弦定理计算即可得.
【详解】取中点，连接、、、，则且，，有
，则，由，故与所成角等于，
的cos ,n m n m n m ⋅===⋅
i ()i 34i z =-z =43i z =-()i 34i 43i z =-=+43i z =-5z ==5OABC OA BC 、OC DE 45︒OC FDE ∠OC DE AC F EF DF BD CD //DF OC 11
22DF OC =
=1122
EF AB ==BD CD ==DE BC ⊥DE ==//DF OC OC DE FDE ∠
又
即，即与所成角为.故答案为：.
12. 在中，，则______________.【答案】
【解析】
【分析】先由确定，再根据三角形的面积公式求出结果即可.【详解】因为，所以，
又因为，
所以，
故答案为：.13. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为______．
2
221122cos FDE ⎛⎫⎛⎫
+-∠==45FD E ∠=︒OC DE 45︒45︒ABC 150||3||54
ABC AB AC S AB AC ⋅<===
，，，BAC ∠=5π
6
0AB AC ⋅<
π2BAC ∠>
in 1
2
s S ab C =0AB AC ⋅< π
2
BAC ∠>1115
sin 35sin 224ABC S AB AC BAC BAC =×Ð=´´Ð= 15π
sin 26BAC BAC Ð=ÞÐ=5π6
2cm 3cm
【解析】
【分析】先判断出公共部分是两个底面重叠的正四棱锥，再计算体积即可.
【详解】公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，底面是为边长的正方形，底面积为
，
则这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为．
14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且
，则解放碑的高度__________米．
【答案】##【解析】
【分析】设，由直角三角形三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解.【详解】设，则，
在中：，则得到米.故答案为：
15. 如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则
________________
(2
28cm S ==31823V =⨯=
A P 45
B P 30 55AB =60OAB ∠= OP =27.5552
OP h =,OA OB OAB OP h =,,55,60OA h OB AB OAB ∠==
== OAB 2225531
cos602552h h h +-==⋅⋅
22255550
h h +-=55
2h =
55
2
ABCD 323BC BE AB =+
BE CD F (
)
1243CA BF CA BF ⎛⎫
+⋅-= ⎪⎝⎭
【答案】【解析】
【分析】建系，根据平面向量的线性运算的坐标表示求的坐标，进而结合数量积的坐标运算求解.【详解】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，
，
设，可得，
因为，则，可得，
即，解得，即的坐标为，
设，则，，
由可得，解得
，则，，可得所以．
故答案为：.
三､解答题（共40分）
16. 已知向量，若，69-,E F B BC x BA y ()3,0C ()0,3A (),E x y ()(),3,3,AE x y EC x y =-=--
23BC BE AB =+ ()
2BE AB BE BC +=- 2AE EC =
()2332x x y y ⎧=-⎨-=-⎩21x y =⎧⎨=⎩E ()2,1()3,F m ()2,1BE = ()3,BF m =
//BE BF
23m =3
2
m =
33,2BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()3,3CA =- ()()
123,6,413,53CA BF CA BF +=-=--
()
()()12431365693CA BF CA BF ⎛⎫
+⋅-=-+⨯-=- ⎪⎝⎭
69-,a b 22a b == 1
a b ⋅=-
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？【答案】（1） （2
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；（2
）根据结合数量积的运算律计算即可；
（3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可.
【小问1详解】
解：因为，，
所以，
又因，所以；【小问2详解】解：
【小问3详解】
解：当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得.17. 如图，在三棱锥中，底面，，，，分别是，的中点．
a b
2a b -
a b λ+ 3a b -
120︒4
7
2a b -=
r r
()()
30a b a b λ+⋅-=
22a b == 1a b ⋅=- 1
cos 2a b a b
θ⋅==- 0180θ︒≤≤︒120θ=°2a b -====
a b λ+
3a b - ()()
30a b a b λ+⋅-=
()223130a b a b λλ-+-⋅=
()43130λλ---=47
λ=
S ABC -SC ⊥ABC AB BC ⊥222SC AB BC ===D E AB SB
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3
）
.【解析】
【分析】（1）通过线线平行证明线面平行即可
（2）通过线面垂直证明线线垂直，所以先证明平面，推出（3）四面体的底面和高是确定的，用体积公式直接求解即可
【详解】（1）证：∵，分别是，的中点，
∴，
∴平面，平面，
∴平面．
（2）证：∵平面，平面 ∴，
∵且于点，平面∴平面，又∵平面．
故．
（3）解：∵，
∴．18. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，
．（1）求的值；
（2）若，
（i ）求a 的值；
（ii ）求的值．//DE SAC AB SB ⊥S ABC -13AB ⊥SBC AB SB
⊥D E AB SB //DE SA DE ⊄SAC SA ⊂SAC //DE SAC SC ⊥ABC AB ⊂ABC AB SC ⊥AB BC ⊥SC BC ⋂C ,SC BC ⊂SBC
AB ⊥SBC SB ⊂SBC AB SB ⊥222SC AB BC ===111V 112323
S ABC -=⨯⨯⨯⨯=ABC 4a =
3cos 5
C =sin A 11b =()sin 2A C +
【答案】（1
（2）（i ）；（ii ）
【解析】【分析】（1）利用同角基本关系式与正弦定理的边角变换即可得解；
（2）
（i ）利用余弦定理运算即可得解；（ⅱ）根据三角恒等变换运算即可得解
【小问1详解】
由，且C 是三角形的内角，则，因为，由正弦定理得，
所以
【小问2详解】
（i ）因为，所以，又，由余弦定理得，即，解得或（舍去），
所以；
（ⅱ
）由（1）知，由知A 为锐角，得，所以，，
所以
.19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.
.5a =2425
3cos 5C =
4sin 5==C 4a =4sin A C =4sin 5A C =
==4a =c =11b =222221612135cos 2225
a a a
b
c C ab a +-+-===26550a a +-=5a =11a =-5a =sin A =a b <cos A ==sin cos 4sin 2225
A A A ===223cos 212sin 125A A =-=-⨯=()433424sin 2sin 2cos cos 2sin 555525
A C A C A C +=+=⨯+⨯=P ABCD -//,,AD BC AD DC ⊥122BC CD AD ==
=E AD PA ⊥ABCD
（1）证明：平面（2）求证：平面平面（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3
【解析】
【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；
（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．
【小问1详解】
∵且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
∵平面，平面，∴，
连接，∵且，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴平行四边形为正方形，∴，
又，∴，
又，面，∴面，
∵面，∴平面平面.
//AB PCE
PAB ⊥PBD
P CD A --45︒AD PBD //BC AE BC AE =BCEA //AB EC PA BD ⊥BD AB ⊥BD ⊥PAB CD ⊥PAD 45PDA ∠=︒AM PB ⊥M AM ⊥PDB ADM ∠AD PBD AMD //BC AE BC AE =BCEA //AB EC AB ⊄PCE EC ⊂PCE AB //PCE PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥BE //BC DE BC DE =BCDE DE CD ⊥2BC CD ==BCDE BD EC ⊥//AB EC BD AB ⊥PA AB A = ,PA AB ⊂PAB BD ⊥PAB BD ⊂PBD PAB ⊥PBD
【小问3详解】
∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
因为平面，∴∴为二面角的平面角，从而，所以，
作于，连接，
∵平面平面，平面，平面平面，
∴面，所以为直线与平面所成角，
在直角中，，，，∴，因为面，面，所以，
在直角中，，，∴，则直线与平面
.20. 中，满足．
（1）求；
（2）若，边BC 上的中线，设点为的外接圆圆心．
①求的周长和面积：②求的值．
【答案】（1）；
在PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA
CD ⊥CD AD ⊥PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD ⊥,
PD PDA ∠P CD A --45PDA ∠=︒4PA AD ==AM PB ⊥M MD PAB ⊥PBD AM ⊂PAB PAB ⋂PBD PB =AM ⊥PBD ADM ∠AD PBD PAB AB CE ==4PA =PB =PA AB AM PB ⋅=
==AM ⊥PBD DM ⊂PBD AM DM ⊥AMD 4,AD AM ==DM ==tan ADM ∠=AD PBD ABC sin cos 0c B b a B --=A a =AD =
O ABC ABC AO AD ⋅ 2π3
A =
（2）①周长为
13.
【解析】
【分析】（1）由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得.
（2）①由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得；②边的中点分别为，利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得
.【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得
，
而，则，显然，因此，，
则，得，解得
，所以.【小问2详解】
①由边BC 上的中线，得，两边平方得，则，即，在中，由余弦定理
，得，解得，因此，所以的周长为
，面积为.②令边的中点分别为，由点为
的外接圆圆心，得，，，所以. 10+,AB AC ,M N ABC sin cos 0c B b a B --=sin sin sin sin cos 0C A B B A B +--=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos sin sin sin 0A B A B B -=sin 0B >1cos A A -=222(1cos )3sin 3(1cos )A A A -==-0πA <<1cos 1A -<<1cos 2A =-
2π3
A =AD =
2AB AC AD += 22224AB AC AB AC AD ++⋅= 222π2cos 283
b c bc ++=2228b c bc +-=ABC 2222cos a b c bc A =+-2276b c bc ++=225224b c bc ⎧+=⎨=⎩
10,24b c bc +==ABC 10+12πsin 23
bc =,AB AC ,M N O ABC ,OM AB ON AC ⊥⊥2211()22AO AB AM MO AB AM AB AB c ⋅=+⋅=⋅== 2211()22AO AC AN NO AC AN AC AC b ⋅=+⋅=⋅== ()()
221111132224AO AD AO AB AC AO AB AO AC c b ⋅=⋅+=⋅+⋅=+=。