2010届高三数学总复习专题突破训练1

2010届高三数学总复习专题突破训练：概率
一、选择题
1、（2009揭阳）已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12
(2)4
f f ≤⎧⎨
-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ）C
A ．
14 B ． 58 C ． 12 D ． 38
2、（2009广东五校）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2
y x =和曲线y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一
点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）B
（A ）
12 （B ）13 （C ）14 （D ）16
3、（2009番禺）设,(0,1)a b ∈，则关于x 的方程2
20x ax b ++=在(,)-∞+∞上有两个零点的概率为（ ）B A.
14
B.
13 C. 12 D. 23
4、（2009惠州）若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y += 内的概率为（ ）B A ．
736
B ． 2
9
C ．
1
6
D ．
14
二、解答题
1、（2009广州海珠）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高
150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是2
1
,请问:商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
2、（2009广州（一）某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落
在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭
机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm 、20cm 、
10cm ，飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量x ，求x 的分布列及数学期望. 3、（2009广东揭阳）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，
面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是1
3
，且面试是否合格互不影响．求：
（1）至少有1人面试合格的概率; （2）签约人数 的分布列和数学期望．
4、（2009珠海期末）某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。

求： （1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； （2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a 的值。

5、（2009广东六校一）在某次乒乓球比赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两个比赛一场），共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中，甲胜乙的概率为3
1
，甲胜丙的概率为
41，乙胜丙的概率为3
1. （Ⅰ）求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率；
（Ⅱ）若每场比赛胜者得1分，负者得0分，设在此次比赛中甲得分数为X ，求EX .
6、（2009朝阳一中）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，
使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
1098
（1）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
（2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机
变量ξ的变分布列和数学期望。

7、（2009中山一中）交5元钱，可以参加一次抽奖。

一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元，
2个标有5元，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球标的钱数之和ξ。

（I ）求ξ的概率分布列； （II ）求抽奖人获利的数学期望。

8、（2009广东深圳）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望.
祥细答案
1、解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有3
7C 种选法,.选
出的3种商品中没有日用商品的选法有3
4C 种, ……1分.
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为35
31
1373
4=-=C C P .……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, m ,2m ,3m .……6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以(),81212103
03
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪
⎭
⎫
⎝⎛==C X P ……7分
同理可得(),8321212
1
13=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪
⎭
⎫
⎝⎛==C m X P ……8分
(),83
212121
2
23
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P ……9分
().81212130
3
33=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P ……10分 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
m m m m EX 5.18
1
383283810=⨯+⨯+⨯+⨯=.……12分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有
1505.1≤m ,所以100≤m ,……13分.
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分
2、解： 由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质量和形状无关。

由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3：2：1，面积比为9：4：1
所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5：3：1 ………3分 则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k ，3k ，k 根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1
解得k=0.1 ………6分
………9分
Ex=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7 ………12分 3、解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，
且11
(),()()23
P A P B P C =
==.------------------------------------------------------2分 （1）至少有1人面试合格的概率是
1227
1()1()()()1.2339
P ABC P A P B P C -=-=-⨯⨯=----------------------4分
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3.----------------------------------------------------------5分 ∵ (0)()()()P P ABC P AB C P ABC ξ==++
＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝
1121211224
.2332332339
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=---------------------------6分 (1)()()()P P A B C P A B C P A
B C ξ==++
=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++
=1211121224
.2332332339
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=--------------------------------7分 1111
(2)()()()().23318P P A B C P A P B P C ξ====⨯⨯=---------------------8分 1111
(3)()()()().23318
P P A B C P A P B P C ξ====⨯⨯=----------------------9分 ∴ξ的分布列是
--------10分
ξ的期望441113
0123.99181818
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=----------------------------------------12分
4、解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x ，y ），其中1,6x y ≤≤， 则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：
111
6636
⨯=； …………2分 获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：536
； …………5分 设事件A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：
P （A ）=1
231525
()363615552
C ⨯
⨯=； …………6分 （2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30a -,70-,0,30,…7分
其分布列为：
则：E ξ=1517310(30)(70)030363641236
a a --⨯
+-⨯+⨯+⨯=； …………11分 由E ξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。

…………12分
5、解：（Ⅰ）设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件A ，
则;18
1
324131)(=⨯⨯=
A P ·············································································· 6分 （Ⅱ）X 可能的取值为.2,1,0
231(0)342
P X ==
⨯=， 13125
(1)344312P X ==⨯+⨯=，
111
(2)P X ==⨯=， ·············································································· 12分
0122121212EX =⨯+⨯+⨯= ·································································· 14分
6、解：（1）从50名教师随机选出2名的方法数为.12252
50=C
选出2人使用版本相同的方法数为.3502
1025215220=+++C C C C
故2人使用版本相同的概率为：
.7
2
1225350==
P …………………………5分 （2）∵173C C )0(235215===ξP ， 11960C C )1(2
35
115
220===C P ξ 119
38
C C )2(2
35220===ξP ∴ξ的分布列为
………………10分
∴7
81191362119381119600173==⨯+⨯+⨯=
ξE ……………………12分 7、解（I ）2,6,10ξ= ……………………………………………………2分
2821028(2)45C p C ξ===，118221016(6)45C C p C ξ===，222
101
(10)45
C p C ξ=== ……8分
所以ξ的概率分布列为：
………………………10分
（II ）由（I ）知，281611826104545455
E ξ=⨯
+⨯+⨯= ………………………12分 所以抽奖人获利的数学期望为：5 1.4E ξ-=-元。

………………………14分 8、解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P(A)=310361426C C C C +=321202060=+，P(B)=1514
12056563
10
3
81228=+=+C C C C . ………3分 因为事件A 、B 相互独立，
∴甲、乙两人考试均合格的概率为 ()21428
31545
P A B ⋅=⨯= ……………………5分 答：甲、乙两人考试均合格的概率为
28
45
． …………………………6分
（Ⅱ）依题意，ξ=0，1，2，3，………………7分
3
43101(0)30C p C ξ===， 12643103
(1)10
C C P C ξ===，
21643101(2)2C C P C ξ===， 363101
(3)6
C P C ξ=== ……………………………9分
E ξ=5
9
61321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯
. ……………………12分。