重庆市万州2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题含答案

万州2023-2024学年高一下学期三月月考
数学试题（答案在最后）
出题人：
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.3.已知向量()()
==-
,1,1,2a m b ，//a b
，则m =（
）
A.
12
B.12
-
C.2
D.-2
【答案】B 【解析】
【分析】根据平行关系得到方程，求出1
2m =-.
【详解】由题意可知21m -=，则1
2
m =-.
故选：B
2.如图，在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，E 是CD 边上一点，且2DE EC =，则AE =
（
）
A.13
a b
+ B.23a b
+ C.13a b + D.23
a b + 【答案】D 【解析】
【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.
【详解】由题意2233
DE DC AB ==
，
所以2323
23AE AD DE AD DC AD AB a b +=+=+=+= .
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
3.在ABC 中，角,A B 所对的边分别为,a b .sin 2sin A B =，则=a （
）
A.
5
B.
2
C.
5
D.
5
【答案】A 【解析】
【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理可知，sin 2a A R =，sin 2b B R
=，
222a b R R ⋅
=⋅，得5
a =.故选：A
4.已知5a = ，4b = ，与b 同向的单位向量为e ，若a 在b 上的投影向量为52
e - ，则a 与b 的夹角θ=
（）
A.60°
B.120°
C.135°
D.150°
【答案】B 【解析】
【分析】根据向量在向量上投影向量的定义计算即可得解.
【详解】因为a 在b
上的投影向量为52a b b a b b b e b
e ⋅⋅⋅=⋅=- ，
所以52a b b ⋅=- ，即
54cos 5
42
θ⨯⨯=-，解得1cos 2θ=-，由0180θ︒≤≤︒知，120θ=°.故选：B
5.冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30,45,60,90,120,150 等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了ABD △（如图乙），测得
3,4,2AB BD AC AD ====，若点C 恰好在边BD 上，请帮忙计算cos ACD ∠的值（
）
A.
12
B.
1114
C.
31516
D.
1116
【答案】D 【解析】
【分析】在ABD △中，由余弦定理求出cos ADB ∠，再在ACD 中，由2AC AD ==得出
cos cos ACD ADB ∠∠=，即可.
【详解】由题意，在ABD △中，由余弦定理可得，222416911
cos 222416
AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===
⋅⨯⨯，在ACD 中，由2AC AD ==得11cos cos 16
ACD ADB ∠∠==，故选：D.
6.如图，正六边形的边长为22，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅
的取值范围为（
）
A.
[]
4,5 B.
[]
5,7 C.
[]
4,6 D.
[]
5,8【答案】B 【解析】
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得2
1M MO A MB -⋅= ，再由MO 的范围，即可
得到结果.
【详解】由题意可得，()()()()
MA MB MO OA MO OB MO OA MO OA
⋅=+⋅+=+⋅-
222
1MO OA MO =-=- ，
当OM
与正六边形的边垂直时，min
MO =
当点M
运动到正六边形的顶点时，max
MO =
，
所以MO ∈ ，则[]2
6,8MO ∈ ，即()
[]25,71M MA MB O ⋅-=∈ .
故选：B
7.在三角形ABC 中，点D 是在AB 边上且3,AD DB AC = 边上存在点E 满足(0)EA CE λλ=>
，直线CD 和直线BE 交于点F ，若(0)FC DF μμ=>
，则λμ的值为（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C 【解析】
【分析】将BE 和BF
都用BA 和BC 表示出来，然后利用BF mBE = 列式计算即可.
【详解】由题意，(0)EA CE λλ=>
，
则()
1111111BE BC CE BC CA BC BA BC BA BC λλλλλ
=+=+
=+-=+++++
，同理可得：()
1111141BF BC BD BC BA μμμμμμ=
+=+++++ ，因为直线CD 和直线BE 交于点F ,
所以存在m 使11m m BF mBE BA BC λλλ
==
+++
，即()
111141m m λ
λμμλμ⎧=⎪++⎪
⎨⎪=
⎪++⎩，两式作商得
()411111m m μλλλμμ++⨯=⨯++解得4λμ=.故选：C.
8.在PAB 中，π3APB ∠=
，若点C 为AB 的中点，则PC
AC
的取值范围为（）
A.1,22⎛ ⎝⎦
B.1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
C.2⎢⎣
D.(
【答案】D 【解析】
【分析】利用向量加法运算及数量积模的公式求
得PC =
，利用余弦定理求
得AB =，再根据基本不等式求解即可.
【详解】因为π
,3
APB C ∠=为AB 的中点，所以()
12PC PA PB =+ ，
可得PC PC ====
由余弦定理可得AB ==
AC =，
所以PC AC ==，
因为2a b b a +≥=，所以
2
021a b b a
<≤+-，当且仅当a b b a =即a b =时取等号，
所以1PC AC <≤
，即(
PC
AC
∈.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下面给出的关系式中，正确的是（
）
A.2
()a b a b a b ⊥⇒⋅=⋅ B.a b a c b c
⋅=⋅⇒=
C.()()
a b c a b c
⋅⋅=⋅⋅ D.a b a b
⋅≥⋅ 【答案】AD 【解析】
【分析】由向量数量积的概念、性质及运算律即可得出答案.
【详解】对A ：由a b ⊥ 可得0a b ⋅= ，而22()00a b ⋅== ，故A 说法正确；
对B ：取0a =，则a b a c ⋅=⋅ 成立，但b c = 不一定成立，故B 说法错误；
对C ：()a b c ⋅⋅ 表示与c 共线的向量，而()a b c ⋅⋅ 表示与a
共线的向量，所以()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定
成立，故C 说法错误；
对D ：因为|||||||cos ,|,||||cos ,a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉⋅=⋅〈〉
，故a b a b ⋅≥⋅ ，故D 说法正确.
故选：AD.
10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（
）
A.若0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪
⎝
⎭
，且12
AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为直角三角形B.
若a =，4b =，A θ=，要使满足条件的三角形有且只有两个，则π0,3θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
C.若ABC 平面内有一点O 满足：0OA OB OC ++=
，且OA OB OC == ，则ABC 为等边三角形
D.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 为钝角三角形【答案】BC 【解析】
【分析】A ：由已知确定A ∠的角平分线与BC 垂直，所以AB AC =，所以B C ∠=∠，再利用向量夹角的余弦得出π
3
A ∠=
，最后得出ABC 是等边三角形，判断A 错；由正弦函数值确定角的范围判断B 正确；由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C 正确；D 利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D 错误.
【详解】对于选项A ，因为0AB AC BC AB AC
⎛
⎫
⎪+⋅= ⎪⎝
⎭
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量，所以A ∠的角平分
线与BC 垂直，所以AB AC =，所以B C ∠=∠.又因为12
||||AB AC AB AC ⋅=
，即1
cos 2A =
，因为0πA <<，所以π3A ∠=，所以π3
B C A ∠=∠=∠=，所以ABC 为等边三角形，故选项A 错误；
对于选项B ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<
，因为a =，4b =
，所以
4sin A <
πsin 0,22A A ⎛⎫
<
∈ ⎪⎝⎭
，所以π03A <<，故选项B 正确；
对于C ，因为0OA OB OC ++=
，故22||||OA OB OC +=- ，即222||||2||OA OB OA OB OC ++= ，又
||||||OA OB OC == ，所以2||2||||OA OA OB +⋅ cos 0
AOB ⋅∠=，故1
cos 2
AOB ∠=-，由于
[]0,πAOB ∠∈，故2π
3AOB ∠=，同理可得2π3
AOC BOC =∠=∠，结合||||||OA OB OC == ，故
AOB AOC COB △≌△≌△，可得||||||AB AC BC ==
，故ABC 为等边三角形，C 正确；
对于
D.tan tan tan A B C
++sin cos cos sin sin sin()sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B C A B C C C
C A B C A B C A B C
++=
+=+=+=⋅
cos cos cos cos cos cos()sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos C A B A B A B A B C C A B C A B C A B C +-+⎛⎫
=⋅= ⎪
⎝⎭
tan tan tan 0A B C =>，而,,(0,π)A B C ∈，所以A ，B ，C 都为锐角，D 错误；故选：BC.
11.已知ABC 的内角,,A B C 的对边为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）
A.若22cos cos A B >，则a b <.
B.若满足30,6B b == 的ABC 恰有一个，则a 的取值范围是06a <≤.
C.若sin cos 1sin
2B B B +=-，则cos 4
B =-.
D.若(cos cos ),1c A B a b c +=+=，则该三角形内切圆面积的最大值是3π4
-.【答案】ACD 【解析】
【分析】对于A ，根据同角公式化为sin sin A B <，再根据正弦定理可得a b <，故A 正确；对于B ，根据三角形解的个数的结论可得B 不正确；对于C ，根据二倍角的正余弦公式求解可知C 正确；对于D ，由正弦定理边化角，根据两角和的正弦公式变形可得π
2
C =，再求出内切圆半径r 的最大值，可得内切圆面积的最大值，可知
D 正确；
【详解】对于A ，若22cos cos A B >，则221sin 1sin A B ->-，则22sin sin A B <，因为,A B 为三角形的内角，所以sin 0A >，sin 0B >，所以sin sin A B <，根据正弦定理得a b <，故A 正确；
对于B ，若满足30,6B b == 的ABC 恰有一个，则sin a B b =或b a ≥，
即6
12sin 30a =
=
或06a <≤，故B 不正确；
对于C ，若sin cos 1sin 2
B B B +=-，则22sin cos 12sin
1sin 2222B B B B +-=-，则22sin
cos 2sin sin 2222B B B B -=-，因为0πB <<，所以π022
B <<，sin 02B
>，
所以2cos 2sin 122B B -=-，所以1cos sin 222B B -=-，所以2
1cos sin 224B B ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以112sin cos 224
B B -=，3
2sin cos 224B B =，
因为π022
B <
<，sin 02B
>，cos 02B >，
所以sin cos 22B B +=
72==
，所以2
2cos cos
sin cos sin cos sin 222222B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫
=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭
1224
=-⨯=-
，故C 正确；对于D ，若(cos cos )c A B a b +=+，由正弦定理得sin (cos cos )sin sin C A B A B +=+，得sin cos sin cos sin()sin()C A C B B C A C +=+++，
得sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin C A C B B C B C A C A C +=+++，得sin cos sin cos 0B C A C +=，得(sin sin )cos 0B A C +=，
因为,A B 为三角形的内角，sin 0A >，sin 0B >，所以sin sin 0A B +>，所以cos 0C =，因为0πC <<，所以π
2
C =，设该三角形内切圆半径为r ，则11
()22
ABC S ab r a b c =
=++!，又1c =，所以2221a b c +==，所以(1)1(1)(1)ab ab a b r a b a b a b +-=
=+++++-2(1)()1ab a b a b +-=+-22(1)
21
ab a b a b ab +-=
++-(1)2ab a b ab +-=
1
(1)2
a b =+-，
因为
1sin sin sin a b c
A B C
===，所以sin a A =，sin b B =，
所以1(sin sin 1)2r A B =
+-1(sin cos 1)2A A =+-π1sin(242
A =+-，
因为π02A <<
，所以ππ3π444A <+<，所以π
sin()124
A <+≤，
所以1
02r -<≤，所以该三角形内切圆面积的最大值为2
13ππ24⎛⎫--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
.故D 正确；故选：ACD
【点睛】关键点点睛：熟练运用三角恒等变换公式、正弦定理进行变形化简是本题解题关键.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知单位向量,a b
满足22a b a b +=- ，则34a b + =______.
【答案】5【解析】
【分析】根据22a b a b +=- 得到0a b ⋅=
，然后求34a b + 即可.【详解】因为单位向量a ，b
满足22a b a b +=- ，
所以2222a b a b +=- ，即22224242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，即0a b ⋅=
，222
349241625a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，
所以345a b +=r r .
故答案为：5.
13.在ABC 中，BC =22
ABC S AB AC =⋅
△，则ABC 外接圆半径为______.【答案】3【解析】
【分析】根据面积公式和数量积的定义可求tan A =，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求
外接圆的半径.
【详解】因为2
ABC S AB AC
=
⋅
△，故1sin cos 2AB AC A AC A = ,
故tan A=，故A
为锐角，故sin3
A=，
13
2
3
=
，
故答案为：3.
14.设点()()
1
2,0,,0,0,1
2
A B C
⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
，若动点P满足2
PA PB
=，且AP AB AC
λμ
=+
，则2
λμ
+的最大值为______．
【答案】
4
3
+
【解析】
【分析】设(,)
P x y，根据向量的坐标表示和模的概念可得221
x y+=，由题意和相等向量可得
3
22
2
x
y
λμ
μ
⎧
-=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
，进而
2
2(2)
3
x y
λμ
+=+-，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】设(,)
P x y，则1
(2,),(,)
2
PA x y PB x y
=---=---
，
由2
PA PB
=
整理，得221
x y+=，
又
3
(2,),(,0),(2,1)
2
AP x y AB AC
=+==
，
代入
3
22
2
x
AP AB AC
y
λμ
λμ
μ
⎧
+=+
⎪
=+⇒⎨
⎪=
⎩
，
有
33
23(2)
22
x yλμλμ
++=+=+，所以2
2(2)
3
x y
λμ
+=++，
由22
12
x y xy
=+≥，得
1
2
xy≤，当且仅当2
2
x y
==时等号成立，
所以222
()2112
x y x xy y
+=++≤+=
，得x y+≤
所以
224
2(2)2)
333
x y
λμ
+=++≤=.
即2λμ+的最大值为
224
3
+.故答案为：
2243
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.已知向量(2,0)a →
=
，b →
=．（1）求2a b →→
-的值；
（2）若向量+
ta b 与向量a tb +
的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【答案】（1
）（2
）(21)(1,2-----+ 【解析】
【分析】（1
）求出(23,a b →→
-=，然后利用向量求模公式即可；
（2）向量+
ta b 与向量a tb +
的夹角为钝角可得数量积小于0，且两个向量不能共线，列式计算可得取值范围
【小问1详解】
因为(2,0)a →
=
，b →
=，
所以(23,a b →
→
-=
，所以2a b →→
-==【小问2详解】
由于(2,0)(2ta b t t +=+=+
，(2,0)(2)a tb t t +=+=+ ，向量+ ta b 与向量a tb + 的夹
角为钝角，
所以()()0ta b a tb +⋅+< ，且向量+ ta b 与向量a tb + 不能共线，
即(
))
2
(21)(2)2820212t t t t t t ⎧+++=++<⎪⎨+≠+⎪⎩
所以22t -<<-1t ≠±，
故实数t
的取值范围为：(21)(1,2-----+
16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin 0a C C b c +--=.（1）求A ；
（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）π
3
（2【解析】
【分析】（1cos 1A A -=，即可利用辅助角公式求解，
（2）根据余弦定理可得224b c bc =+-，利用不等式即可求解4bc ≤，由面积公式即可求解.【小问1详解】
由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
sin sin cos sin 0A C C A C --=.
0π,sin 0C C <<>
，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，
ππ0π,66
A A <<∴-= .π
3
A ∴=
.【小问2详解】
由余弦定理有2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，
222b c bc +≥ ，4bc ∴≥，当且仅当b c =时取等号.1
sin 24
ABC S bc A ==≤ .
17.如图，在平面四边形ABCD 中，3
ABC π∠=
，2ADC π
∠=，2BC =.
（1）若ABC 的面积为33
2
，求AC 的长；（2）若3AD =
，4
ACB ACD π
∠=∠+
.求ACD ∠的大小.【答案】（1）7AC =；
（2）524
π
.【解析】
【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求AB ，然后在ABC 中，利用余弦定理求解；（2）设ACD α∠=，易知3
sin AC α
=，再由4ACB ACD π∠=∠+，512BAC πα∠=
-，然后在ABC 中，利用正弦定理求解.
【详解】（1）在ABC 中，因为2BC =，3
ABC π
∠=
，ABC 的面积为
331
sin 22
AB BC ABC =⋅⋅∠，所以
1333
2222
AB ⨯⨯⨯=
，解得3AB =，在ABC 中，由余弦定理的2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，所以7AC =
.
（2）设ACD α∠=，则44
ACB ACD ππ
α∠=∠+=+，在Rt ACD 中，因为3AD =，
所以3
sin sin AD AC αα
=
=
，
在ABC 中，512
BAC ACB ABC π
πα∠=-∠-∠=
-，由正弦定理，可得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠
，即25sin 12πα=
⎛⎫- ⎪
⎝⎭所以5sin sin 12παα⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，因为α为锐角，
所以
512
π
αα-=，解得524πα=，即ACD ∠的值为524
π
.
18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知2b =，
3cos 3
a C C
b =+．（1）求角B ；
（2）若M 是△ABC 内的一动点，且满足BM MA MC =+
，则BM 是否存在最大值？若存在，请求出最
大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若D 是△ABC 中AC 上的一点，且满足BA BD BD BC
BA BC
⋅⋅= ，求:AD DC 的取值范围．【答案】（1）π
3
B =
（2）当且仅当2a c ==
时等号成立，max
MB
=
（3）
1,22AD DC ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解，
或者先利用余弦定理可得sin cos b C B =，再利用正弦定理边化角即可求解；
（2）先利用向量的线性运算将MB
用△ABC 的边长表示出来，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；
（3）由BA BD BD BC
BA BC ⋅⋅= 可知BD 平分∠ABC ，利用三角形面积公式可得AD AB DC BC
=，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解.
【小问1详解】法1：∵
3sin cos 3a C C b =+，∴3sin cos 3
a b C b C =+，由正弦定理得3
sin sin sin cos 3
A B C B C =
+,
即()sin sin sin sin cos 3
B C B C B C +=
+，
∴sin cos cos sin sin sin 3
B C B C B C +=
+sin cos B C ，
∴cos sin sin sin 3
B C B C =
，
又∵0πC <<，∴sin 0C ≠，∴tan B =，又∵0πB <<，∴π3
B =；法2：
∵3sin cos 3a b C b C =+，∴222
3sin 32a b c a b C b
ab
+-=+，∴22223
sin 3
b a
c ab C =+-
①，在△ABC 中，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-⋅②，
由①②得
23
sin 2cos 3
ab C ac B =，即sin cos b C B =
∴由正弦定理得sin sin cos B C C B =，
又∵0πC <<，∴sin 0C ≠，∴tan B =，又∵0πB <<，∴π
3
B =；【小问2详解】
点M 是△ABC 内一动点，，
∴BM MA MC BA BM BC BM =+=-+- 2BA BC BM +-=
，
∴()
13
MB BA BC =
+ ，∴()
()2222211
299MB BA BC BA BC c a ac =++⋅=++ ，由余弦定理知22222222cos 44b a c ac B a c ac a c ac =+-⋅⇒=+-⇒+=+,由基本不等式可得222ac a c ≤+，即24ac ac +≤，4ac ≤，
∴()()2114
4248993
MB ac =+⨯+=≤ ，当且仅当2a c ==时等号成立，
∴max
23
3
MB
=
；【小问3详解】
∵BA BD BD BC
BA BC ⋅⋅=
，∴cos cos BA BD ABD BD BC DBC BA BC
⋅∠⋅∠= ，∴cos cos ABD CBD ∠=∠，
又∵余弦函数在()0,π上单调，∴ABD DBC ∠=∠，即BD 平分∠ABC ，又∵1sin 2ADB
S AD DB ADB =⋅∠ ，1
sin 2BDC S BD DC BDC =⋅∠ ，∴ADB BDC S AD S DC = ①，又∵1sin 2ADB S AB DB ABD =
⋅∠ ，1
sin 2BDC S BD BC DBC =⋅∠ ，∴ADB BDC
S AB S BC = ②，由①②可得
AD AB
DC BC
=，所以
sin sin AD AB c C
DC BC a A
==
=
2π1sin sin 11322sin sin 2tan 2
A A A
A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===，又∵π
3B =
，且△ABC 为锐角三角形，∴2π2ππ0,332A C C A ⎛⎫+=
⇒=-∈ ⎪⎝⎭
，∴ππ
62A <<，∴3tan ,3A ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
，∴
1,22AD DC ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
19.将所有平面向量组成的集合记作2
R ，f 是从2
R 到2
R 的映射，记作()y f x =
或()()1212,,y y f x x =，
其中()12,x x x = ，()12,y y y = ，1x ，2x ，1y ，2y ，都是实数.定义映射f
的模为：在1
x == 的条件下y
的最大值，记作f .若存在非零向量2
x R = ，及实数λ使得()
f x x λ= ，则称λ为f 的一个
特征值.
（1）若12121
(,)(,)3
f x x x x =
，求f ；
（2）如果121212(,)(2,)f x x x x x x =+-，计算f 的特征值，并求相应的x
；
（3）若()()1211221122,,f x x a x a x b x b x =++，要使f 有唯一的特征值，实数1a ，2a ，1b ，2b 应满足什么条件？试找出一个映射f ，满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ
；②f λ=，并验证f 满足这两个条件.
【答案】（1
）1f =（2）答案见解析（3）()
2
122140a b a b -+=，()
f x x λ=
，验证答案见解析
【解析】
【分析】（1）由新定义可得2
2
22121219
y y x x +=
+，利用22
12
1x x +=，可得22212118
1199
x x x +=-≤，从而得出结论；（2）由特征值的定义可得121
12
22x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩，由此可知f 的特征值，以及相应的x ；
（3）解方程组11221
11222
a x a x x
b x b x x λλ+=⎧⎨
+=⎩，可得()()111222,,0x a b x a b λλ-+-=，
从而可得1a 、2a 、1b 、2b 应满足的条件，当()
f x x λ=
时，f
有唯一的特征值，且f λ=，
再进行证明即可.【小问1详解】
由于此时2
2
22121219y y x x +=
+，又因为是在22
12
1x x +=的条件下，有2222
212121181199
y y x x x +=+=-≤（10x =时取最大值）
，所以此时有1f =.
【小问2详解】
由()()()12121212,2,,f x x x x x x x x λ=+-=，
可得：1211222x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩，即()()12
12
121x x x x λλ⎧-=-⎪⎨
=+⎪⎩两式相比可得：()()112λλ-+=
，从而λ=
当λ=
121
122
2x x x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为)
1,1x m =+
（写出一个即可），其中m R ∈且0m ≠，
当λ=
()
1x m =-
（写出一个即可），其中m R ∈且0m ≠.
【小问3详解】
解方程组1122111222
a x a x x
b x b x x λλ+=⎧⎨+=⎩，即()()111222,,0x a b x a b λλ-+-=，
从而向量()11,a b λ-与()22,a b λ-平行，
则有1a ，2a ，1b ，2b 应满足：()2
122140a b a b -+=，
当()
f x x λ=
时，f
有唯一的特征值，且f λ=.具体证明为：
由f 的定义可知：对任意的()12,x x x =
有：()()()121212,,,f x x x x x x λλλ==，
所以λ为特征值.此时1a λ=，20a =，10b =，2b λ=，满足：()2
122140a b a b -+=，所以有唯一的特征值.
在22
121x x +=的条件下()()22
212x x λλλ+=
，从而有f λ=.。